Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Волновые и флуктуационные процессы в лазерах

..pdf
Скачиваний:
25
Добавлен:
22.10.2023
Размер:
14.41 Mб
Скачать

170

УРАВНЕНИЯ МНОГОМОДОВОЙ ГЕНЕРАЦИИ

[ГЛ. XI

центральная частота перехода оаъ и релаксационные константы Yа, Yь, Уаь)- В этом случае ширина линии излучения ансамбля совпадает с шириной линии отдельного атома уаь■При однород­ ном уширении коэффициенты взаимодействия, входящие в выра­ жение для поляризации (11.59), даются формулами (11.60), в которых нужно положить равной нулю скорость v излучающего атома (так как движение атома за время жизни возбужденного состояния много меньше длины волны uy~J <С Я). Выражения

(11.60) при v = 0 могут быть получены также из общих выра­ жений (11.65) предельным переходом с использованием асимп­ тотики плазменной функции [19]

Z(x) Х~>оо

(2k- 1)11

2&д.2&+1

■' " -У

 

Поляризация газовой среды с неоднородно уширенным контуром усиления. Просуммируем вклады в поляризацию атомов со всеми скоростями. Мы будем предполагать, что атомы, возбуждаемые накачкой на уровни а и Ь, имеют одно и то же распределение по скоростям W(v), т. е. что

Р2> (») =

(v),

р®> (v) =

рflW(v),

(11.61)

где р®, р ^ — константы,

не

зависящие

от скорости

атома.

В этом случае разность заселенностей Nq(v) имеет то же рас­ пределение по скоростям:

N0(v) = N0W(v),

N0 = p(0)(l _-^)_р<о>,

(Ц .62)

и поляризация всей среды имеет вид

 

 

оо

 

Р (z, t) =

| Р(г, t, v)W(v)dv,

 

TReP(z,t,v) определяется формулой (11.57). Соответственно поляризация всей среды на п-м типе колебаний есть

Pn(t)= Jоо Pn(t, v)W(v)dv,

(11.63)

—'О

 

тд.е Pn(t,v) определяется формулой (11.59).

W(v)

В газовом лазере распределение атомов по скоростям

можно считать максвелловским:

 

у п ц

ПОЛЯРИЗАЦИЯ г а зо в о й а к т и в н о й с р е д ы

171

где и/У2 характеризует среднюю квадратичную скорость тепло­ вого движения атомов.

Интеграл (11.63), выражающий поляризацию газовой актив­ ной среды на п-и типе колебаний, можно представить в сле­ дующем виде:

Здесь индексы s, /, р относятся к волнам, бегущим в ту же сто­ рону, что и волна п, а т, g — в противоположную. Fns и WSjP— коэффициенты взаимодействия волн, бегущих в одном направ­ лении. Они отличаются от коэффициентов взаимодействия волн, бегущих в противоположных направлениях З ’тп, Hamg. Причи­ ной этому является различие доплеровских сдвигов частот knv. В случае волн п, s, бегущих в одном направлении, доплеровские сдвиги одинаковы (knv « ksv) ; в случае волн, бегущих в про­ тивоположных направлениях, доплеровские сдвиги отличаются знаком.

Приведем результаты интегрирования (11.63) при произволь­ ных соотношениях между релаксационными константами атома уа, уь, Yаь и доплеровской шириной ku (k = 2лД — волновой вектор волны; в оптической области частот можно считать все волновые векторы kn генерируемых волн равными по абсолют­

ной величине: \kn\ — k, так как ^kn\~k \km ^^ *) •

При вычислении Pn(t) встречаются интегралы типов:

оо

00

 

 

оо

 

оо

00

 

—оо

где Z(x)s=2/

Jix

е_(<г+л:а>dt — плазменная функция.

—оо

172

УРАВНЕНИЯ МНОГОМОДОВОЙ ГЕНЕРАЦИИ

[ГЛ. XI

В результате коэффициенты М, R, 3S, F, Н, W при произ­ вольных уа, уь, Уаъ> Ya> Ьи имеют следующий вид:

Mn= ■ Z (ivU)

I m Z ( iv ) ’

*Н ‘-тДг)

пт I va• 4 I m Z (iv ) Уаь L\Z

L »rt/n*nm

1nm +

+

f r(a)

 

 

2xa

Aa)

+

 

 

(Aa)\2

2£„

 

I nm>nm

 

\bnmj

bntn

 

U(lvC)

x« \ ,

4xa (2 - x a)

^fiv

>Д|(Я)

 

?<a)*

I

I [(a) 12 Aa)

л

2

fen

 

® n m /

 

 

I =я>л I ® n /n

 

\ ■*

 

( l ------ *

)

 

 

 

 

 

 

\

Ve + v j

К1~ 4v^ ) Z K . ) + Z P O

*»- Л 41пГЫ

 

2 i x av

. +

~TW~

 

oftrn

 

+

{a

6} *),

+

4/v],

 

Z7/!, =

\

 

Чь-Ча)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

*УаъУа I m Z № )

Z

(Z V ?n) [

f% +

2 Vn +

2 ? * (a) U

4 ^ п )

 

 

 

+

i

_

.......... z O O f l

1

+

2 i v

+

{a •

b},

 

4 - Z (ivQ +

2S*

V'

+

a (av

Ц (а).

 

 

fsn ~'"™'

'

 

 

 

 

WslP =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ( i +

^

)

+

z (*VC)

 

+

[/ *-+ S1(1

b/s)j | +

{a

b},

 

 

Щ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Hsmg

 

 

 

 

 

iK aZ

( i v i s )

Z (Zv?m)

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£<a)fm

 

2S«(a)?.

 

 

 

 

 

*УаУаЬ Im Z ( , v )

 

®ggsig'j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

+

1

 

 

iv-a

+

ixa

 

f

L(5r]Z (/VSD +

 

 

 

оtS Wr

 

ГftnAa)ма,

 

■ .

иа,

 

 

 

 

®smg

le*smgI b

 

’ms^smg

 

1ms*m

J

 

 

 

 

 

x a

,

1

1

,

 

.

,

 

4xa(2 - « fl) z ( | y Xaegw)

+

 

f ~

z №

 

+

 

 

Ha)

If(a) 12

 

 

 

? (a)*

1

j-g (a)

 

 

 

 

 

 

 

 

Ь /n

J

'fms

 

 

 

 

 

 

 

| *gs \

 

{a-*-* b\,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

*) Для краткости мы здесь и далее обозначаем {/ <— *■з} предыдущее вы­ ражение в таких же скобках с заменой индекса j на s, а на /,

§ п

 

ПОЛЯРИЗАЦИЯ ГАЗОВОЙ АКТИВНОЙ СРЕДЫ

173

где

Уд

ЧдЬ

 

 

 

 

 

Иа

 

r l s ^ l - l f l s

f!s — ю/ -

 

Уab

k u

£р

/р . /р

Ya6

 

 

 

 

 

 

 

£(“)

= 2 _ Y « _

 

t t ^ e 2 - T T - W

(п -65)

 

®лга

УдЬ - * / « ,

Остальные обозначения даны в (11.68).

В случае бесконечно широкого доплеровского контура ku vS> уаь при вычислении коэффициентов нелинейного взаимодей­ ствия У?, F, Н, W можно заменить экспоненту в распределе­ нии Максвелла единицей. Тогда получим интегралы от выра­ жений (11.60), легко вычисляющиеся по вычетам. Однако при исследовании конкуренции встречных волн такая аппроксима­ ция оказывается недостаточной (см. гл. IV) и коэффициенты R,

& нужно вычислять точнее, учитывая,

что

уаь/{ки)ф 0. По­

этому, пользуясь общими

формулами

(11.65)

и асимптотикой

плазменной функции [19]

 

 

 

 

Z (х) -> i Y n — — i Yn х2, х -> 0,

 

получим коэффициенты М,

R, SB, F, Н,

W в предельном случае

бесконечно широкого доплеровского контура

ku

уаъ, ku ^

con — соаь с точностью до членов второго порядка по Уаь/ {ku)

в коэффициентах М, R, S

и нулевого порядка в F,

Н, W (для

удобства разделим вещественные и мнимые части и положим

Ye = 0):

M n =

-

on — i ( * +

 

- ) .

R n

 

t a n

 

 

 

 

 

3

nm =r

t nm “b lfinm>

F ns ~

~

 

 

kismg

^ Stng ”f~ i^Stngi

W S I P

=

 

 

Здесь

 

 

. \2

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2К ~

Юа»)

1

 

(

ab \

nop

~

 

ku /

N 0

»

y l T

k u

 

 

 

 

 

 

 

1

Vab^n

I2*)

 

К ~ aab) УаЬ

 

 

( l

ku

| / ’

Pn — -

{ k u ) 2

 

 

 

V

 

 

 

р „ „ - е +

( е .

к , = -

 

 

 

I Sfi

 

 

 

 

ft(2)

 

{ k u ) 2

 

 

 

 

 

 

r’nm.

2

 

 

 

tnrn 4 |

|‘

 

 

 

 

 

 

174

УРАВНЕНИЯ

МНОГОМОДОВОЙ

ГЕНЕРАЦИИ

[ГЛ. XI

 

=

+ e

=

*(>) + *<?),

 

% S]p

где

 

1

 

Л/is

 

 

 

 

 

s*s(a) 12

 

+

 

[a *->•&],

у ( 1 )

------------------------

у(2> =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

"

2 |^ |2

 

 

 

 

 

 

4VaYe6|E X

 

 

 

 

 

 

 

3,(1)

fs

 

5L(2 )

__

 

 

(2Ya6 + Ya)Y2/n

'

 

 

 

 

In

 

 

 

+

 

[a<->6],

Л-П5

 

 

hns

L®YaYab| »

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a)|2J

 

 

 

 

 

Yab

Л . J _

fP fS

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

2

h i p

[/•*->■ s](l—6/s) l[ + {«-<->■&),

 

 

 

K

 

 

 

 

+

« f M - *

 

 

a)\2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- f s -|----- 12~ {R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

’P ~ 2

 

v

.

 

'/«

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4Y2 I ?/i |2

 

 

 

 

Yab

+

[/4->,s](f—6/i)

+ {a++b),

 

| #

eT

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ fmf

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•ft

=

 

Yab ^'e'smg

 

+ [a<-+b],

 

 

usmg

 

Y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ft

I г

 

 

?’m

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v2 | bsmgbg

I

 

 

 

 

 

 

 

 

(11.67)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

XU

 

y2(2/- +

 

v l fsmg

 

 

+

[a <-> 6],

 

 

* sma

L

eYI|C “ <e>E.smg I*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ar

 

fikue

 

 

?•

 

 

1

it

 

 

f

— ю” ~ юдЬ

____"ге“°

 

 

 

 

 

 

Nnop~ 4 n « ' V V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Yab

,

о 2VaVbYab

 

 

 

 

 

6

*

 

1

J

1’

i =

s,

 

Ya +

Y6

 

 

 

 

 

>2

c

CO

 

О

 

i ^

s>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f =

C0„ —CDc

 

 

 

 

 

 

fs

 

 

 

(a)

 

 

1

 

l'Yab

-

 

 

 

 

 

 

 

1tl

 

 

 

 

 

 

/П

Yab

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

V

In9

 

юа + ат-2ЮаЬ

i

 

 

 

 

=1-

 

ram

 

 

 

_ ,

^

 

Yab

 

 

£nm —

 

 

2

 

 

»/■S— 1

2~,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

(a/ +

(0s -2(0p

 

 

f

 

 

cos +

2ит -

 

юй - 2иай

fl

 

Yab

- > Tsmg

 

 

 

 

Yab

 

 

 

 

 

 

 

 

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zsmg =

 

^“* ~2 fsmg‘

 

 

 

 

 

 

( 11.68)

§8]

СРАВНЕНИЕ С ЭКСПЕРИМЕНТОМ

175

§ 8. Анализ поляризации газовой среды. Сравнение с экспериментом

Рассмотрим полученные выражения для поляризации среды

(11.65) — (11.67). Эти выражения комплексны; мнимая часть

j р

поляризации %'h = -----j - 2- определяет коэффициент усиления

ц-го типа колебаний, вещественная — диэлектрическую прони­ цаемость. Полученные выражения для поляризации среды мо­ гут быть применены не только к лазеру, но и к усилителю (или к поглощающей среде, если Nо < 0). Экспериментальное иссле­ дование усиления при наличии нескольких полей позволяет вы­ явить особенности взаимодействия мод, а именно зависимость усиления от частот мод.

Рассмотрим коэффициент усиления среды при наличии двух волн. В случае волн, бегущих в противоположных направле­

ниях, из (11.65) — (11.67)

получим

 

 

е A®plVo

(дп

 

®аЬ

 

 

 

Кп'- 4лапА/ПОр

 

ku

 

 

 

~ Т * ' Е2т

. ,

/ tOn + СОт —2(йаь \2

(11.69)

 

 

 

 

I

2Yfl6

/

 

(здесь а '= а (1 —| (уаь/ки)^п\2)— коэффициент насыщения с уче­ том того, что \аь1{ки)Ф 0)- В случае волн, бегущих в одном на­ правлении, получим

е ДсорД^о 4жопЛ/пор

2 а'Е^

 

0п ( О т У

 

 

X

2VaVab

{а •*—►Ь}

(11.69а)

 

Для расчета коэффициента усиления слабой волны на частоте юп в присутствии сильной в выражениях для коэффициента уси­

ления %п положим El = 0, Е-т ф 0. Зафиксируем частоту силь­ ной волны (Отп и рассмотрим зависимость коэффициента усиления

176

УРАВНЕНИЯ МНОГОМОДОВОЙ ГЕНЕРАЦИИ

[ГЛ. XI

 

#

fab

Рис. П.З. Коэффициент усиления

слабой волны в

присутствии сильной, / —при

отсутствии сильного поля; 2—в присутствии сильной встречной волны; Я—в присутствии сильной волны в том же направлении. Кривые рассчитаны для параметров

Ve6/(ft«)=°.05; Ya/Yes=0.2;

( ^ - « ab)/Yab= 2 (а) и

W).j

5 8)

СРАВНЕНИЕ С ЭКСПЕРИМЕНТОМ

177

слабой волны от частоты (рис. 11.3). Первый член в выра­ жениях для хп характеризует коэффициент усиления в отсут­ ствие поля (аппроксимация доплеровского контура при

((On — (Hab)!{ku) <с 1). При наличии поля Ет Ф 0 коэффициент усиления уменьшается, однако это уменьшение неоднородно. Оно имеет вид провала в контуре усиления (беннетовский про­ вал). Появляется этот провал на той частоте слабого поля оо„, вклад в усиление которого дают те же атомы, что усиливают сильную волну. Скорости атомов, усиливающих обе волны, оп­ ределяются из условия резонанса для волн (см. гл. X)

___Юл СОgfj __ (Qm ® ab

kn km

Отсюда в случае однонаправленных волн провал имеет место

при равных

частотах волн шп = сот .

В случае встречных волн

(kn km)

провал имеет место на

симметричных частотах.

Характерно различие не только в месте положения провала, но и в ширине и глубине провала. Для сравнения параметров про­

вала пренебрежем в

всеми членами порядка (y/ku)2. Срав­

ним глубины провала. Для встречных волн

глубина провала

равна ‘/га'Д^ (со„ +

шт —2уа&= 0). Для

однонаправленных

волн глубина провала есть а'Ет2 (ап — ют). Таким образом, для

однонаправленных волн провал в два раза глубже, чем для встречных.

Сравним ширины провалов (за ширину провала принимает­ ся разность частот между точками, в которых глубина провала равна половине максимальной). Для встречных волн полуши­ рина провала определяется из соотношения (см. 11.69))

 

1

1

1+

(Оп — ®пров

2 ’

 

2Va*

J

где Юпров = 2(оаь — (От— частота, на которой глубина провала максимальна. Отсюда полуширина провала в случае встречных волн равна 2уоьИногда в экспериментах со встречными вол­ нами частоту сильной волны берут меняющейся и равной чатоте встречной волны мп = <лт (встречную волну получают от­ ражением сильной волны при малом коэффициенте отражения

г1). В этом случае полуширина провала определяется из

условия

(Дп

юаЬ

1 и равна уаьПри этом способе изме­

 

YаЬ

 

 

 

рения ширина провала в два раза меньше, чем при первом способе.

178

 

УРАВНЕНИЯ

МНОГОМОДОВОЙ ГЕНЕРАЦИИ

[ГЛ. XI

Для

волн,

бегущих

в одном

направлении, из

(11.69а)

получим уравнение для

определения" ширины провала

 

 

1

х

 

 

 

 

 

1+

—^пров

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2Y,ab

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1- ((Оп

и пров)2

 

 

X

1 +

2VаЬ

 

2УдУаЬ

4- [а-*г+Ь)

 

1+

^ (Оп

®пров ^2

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда мы видим, что полуширина провала при взаимодейст­ вии однонаправленных волн зависит не только от ширины ли­

нии атома уаь, но и от ширин

уровней уа, уь• В случае

уа =

=

уЬ = Уаь полуширина I (On — (Опров ] = I (Оп— (ОтI равна У а ь -

В

случае

уа = уь уаъ

полуширина

|юп — (от |

равна

]/\$УаУаЪ'

Таким образом, мы видим,

что ширина провала,

выжигаемого бегущей волной Ет в контуре усиления волны, рас­ пространяющейся в том же направлении, уже (при уа <ЗСуаь — гораздо уже — в «(1,24уа/уаь)'/2 раз), чем ширина провала в контуре встречной волны.

Различие в глубине, ширине и форме провалов в случае од­ нонаправленных и встречных волн определяется вкладом мо­ дуляционного члена — вторым слагаемым в выражениях для коэффициентов Xns, PnmПервое слагаемое в коэффициентах взаимодействия %ns, Pnm (11.66) характеризует провал в усиле­ нии из-за стационарного уменьшения заселенности. Полуширина этого провала (ю„ — (опров) одинакова для однонаправленных и встречных волн и равна 2уаъ- Второе слагаемое в %ns, p„m опре­ деляется вкладом модуляции заселенностей. В случае встреч­ ных волн этот вклад почти нуль (р<2>= Угу2/(&м)2)■ Если бы контур был бесконечно широк, то модуляция заселенностей для встречных волн вообще не давала бы вклада (р<2>= 0 при y/(ku) = 0), что легко проверить, интегрируя выражение для Р<2>(и) (11.60) по вычетам. Это связано с тем, что разность час­ тот встречных волн в системе атома зависит от скорости атома:

(Оп

<о'т =

(Оп

(От 2 k nV. А Т О М Ы , Д Л Я

К О Т О р Ы Х р а З Н О С Т Ь ЧЭ -

стот

волн

мала

( | о ' — (о'т| < V2yayab )>

уменьшают коэффи­

циент усиления, поскольку для этих атомов там, где поле ве­ лико, заселенность мала, и вынужденное излучение из-за такой модуляции уменьшается (см. гл . X). Атомы, для которых

| а п — шт | > У^УсУаъ вследствие появляющегося с ростом | (о' — юЦ сдвига фаз модуляции заселенностей и поля (см.

§ 8] СРАВНЕНИЕ с э к с п е р и м е н т о м 179

(11.54)), увеличивают коэффициент усиления. При широком кон­ туре усиления {ku уаб) число атомов второй группы гораздо больше, чем атомов первой группы. Однако с ростом разности

частот | ю '— (D^j взаимодействие атомов с полем уменьшается. Вследствие этого при бесконечно широкой доплеровской ши­

рине ku ^

уаь суммарный вклад атомов первой группы

(|со'— мт | <

2ууа6) равен по величине и противоположен по

знаку суммарному вкладу атомов второй группы, так что в це­ лом ^ 0. Когда контур не является бесконечно широким (yab/(ku) Ф 0), то уменьшается число атомов с большими ско­

ростями v ~ и. Для таких атомов разность частот coh — а'т ве­ лика:!©^— <о«|Н (оп—сот2ku \^2ku » 2уай,так что эти ато­

мы принадлежат ко второй (увеличивающих усиление) группе атомов. Дефицит таких атомов приводит к уменьшению коэффи­ циента усиления кп’, или, что то же самое, к росту конкуренции:

К2)т> °-

В случае волн, бегущих в одном направлении, разность ча­ стот волн в системе атома постоянна: <а'п— ©т = ©л —com— (kn—

— km) v <в„ При малых разностях частот |со„ — мт | мо­ дуляция заселенности уменьшает усиление к", т. е. увеличивает

%пт, так как %®т> 0 (см. (11.69), (11.69а)). При со„ = юто моду­

ляционный член вносит такой же

вклад, что и стационарное

уменьшение заселенности %^т =

так что в целом глубина

провала вдвое больше, чем при

отсутствии модуляции, т. е.

чем в случае встречных волн. Однако с ростом разности частот

модуляционный член

меняет свой знак, так

что

%&>т< 0

при

I (£>п— ®rn I > У^УаУаЬ

При этом

коэффициент

усиления

Кп

для волн в одном направлении

становится

больше, чем

для

встречных волн при том же перекрытии провалов

] со » ш Пр о в |.

На рис. 11.3 приведен совмещенный коэффициент усиления для однонаправленных и встречных волн как функция удаления от центра провала |и„ — соПр о в |- Провал для встречных волн опи­ сывается лоренцевским контуром с полушириной 2уоЬ. Провал для однонаправленных волн уже и в два раза глубже, чем про­ вал для встречных волн, форма его сложнее.

Коэффициент усиления слабой волны в присутствии сильной

взависимости от частоты со„ измерялся экспериментально [18]

ибыло обнаружено различие в глубинах и ширинах провалов. Из измерения ширины провала для встречных волн можно по­

лучить уаь• Анализ формы провала для однонаправленных волн позволяет определить ширины уровней (уа, уь, если они сильно различаются, либо среднее значение (уа+.Уь)/2, если они близки),