книги из ГПНТБ / Волновые и флуктуационные процессы в лазерах

В гл. II было рассмотрено обратное рассеяние плоских волн на безграничном зеркале и получено т^' = 0. Полученный здесь

результат объясняется учетом того факта, что поле, падающее на зеркало, не является плоской волной, амплитуда поля па­ дает при удалении от оси. Однако параметр, определяющий скорость спада поля ру, гораздо больше периода интерференции на зеркале полей падающей и рассеянной волн длины X. В силу этого коэффициент связи хотя и отличен от нуля, но очень мал:

Выражение для коэффициента обратного рассеяния /лоо со­ держит фазовый множитель ехр(—i4nz3/X), который осцилли­ рует при дрожании зеркала, т. е. стабильность фазы коэффи­ циента обратного рассеяния обеспечивается при закреплении зеркала с точностью Az3 Х/8. Отметим, однако, что соотноше­ ние между коэффициентами связи встречных волн

(11.41)

которое выполняется для вещественных коэффициентов отра­ жения гх и гу, не зависит от дрожания зеркала.

Связь встречных волн разных поперечных мод можно оце­ нить на основании формул (11.34), (11.35) и (11.32). Приведем выражения для коэффициента связи встречных волн основной моды (т а — па = 0) и моды Ь с более высокими поперечными индексами:

(s, s' = 1, 2, s=j£s'),

где при | w | > | d |

а

-а

(k = 0, 1,2, ...).

Интеграл Atfom отличен от нуля при т = 2k и определен фор­ мулой (11.33). Сравнение формул (11.42) и (11.39) показывает, что коэффициент связи встречных волн с разными поперечными распределениями оказывается больше, чем связь встречных волн основной моды. Это объясняется тем, что угол расходимо­ сти поперечной моды высшего порядка больше, чем основной моды, и соответственно доля излучения, рассеянного на зеркале, возрастает.

§ 5. Временные уравнения поля

Подставив выражение для Па (11.23) в уравнение поля (11.11), получим систему уравнений для коэффициентов разло­ жения поля по модам S as

обусловленная уходом излучения из резонатора через зеркала

тs$ (I)

Дсо^3): и объемными потерями от. При выводе (11.43)

I

ПОЛОЖИЛИ }а — 0 ( £ а.

В (11.43) суммирование производится по всем модам иде­ ального резонатора, причем в сумму входят как волны, бегущие

модействие с встречной волной той же моды.

Из уравнения (11.43) следует, что если имеется поле в не­ котором типе колебаний b на частоте соь, то на этой же ча­ стоте имеется вынуждающая сила для всех типов колебаний, для которых thgl' ¥= 0. В результате этого поле в резонаторе

с не полностью отражающими зеркалами деформировано по сравнению с полем идеального резонатора — амплитуда и фаза волны на частоте соь меняются в зависимости от координат. Вы­ числим величину этой деформации — найдем поле в волне a, s на частоте соь, на которой имеется генерация ffbsi- Положив в

(11.43) Ра = 0, получим

6 Под ред. Ю. Л. Климонтовича

уравнениям (в системе, связанной с атомом)

= - YftPw + YaPaa + VbPbb + i V (0 (Pba ~ Pв»)

(P&a Pab)

где (йаЬ — частота перехода; Y0Pi°i» Y6pj$ — накачка атомов, дви­ жущихся со скоростью v, на уровни а, b в единицу времени в единицу объема; уа и уь— обратные времена жизни генерирую­ щих уровней а, Ь\ уаь— полуширина линии спонтанного излуче­ ния отдельного атома. По сравнению с аналогичными уравне­ ниями (2.10)— (2.13), использованными в первой части, здесь в уравнении для функции раь добавлен член YaPaa. учитываю­ щий спонтанный переход с уровня а на уровень Ь.

ный элемент дипольного момента между состояниями а (верх­ ний уровень) и b (нижний).

В уравнение (11.46) включена накачка. Это значит, что p(z,.to, t,v) описывает совокупность всех движущихся со ско­ ростью v атомов, которые были возбуждены в момент времени V <. t0 и приходят в точку z в момент времени to. Матрица плотности атома, движущегося со скоростью и, в зависимости от времени t и момента возбуждения t' вычислялась в работах [6, 8]. Возможность такой постановки задачи, в которой не фик­ сируется момент возбуждения атома t', была доказана Лэмбом

мент включения накачки. Легко показать, что при таких t ре­ шение уравнений (11.46) не зависит от начальных условий

(рнач) •

Предполагая поле слабым [6—9], т. е.

будем решать систему (11.46) по теории возмущений, прене­ брегая при интегрировании зависимостью амплитуд Еп и фаз <рп от времени, т. е. считая, что время релаксации поля Грел боль­ ше, чем наибольшее из времен у"1, у^"1,

^рел > v r1. Уь1, Уаь-

Положим, что в генераторе имеются типы колебаний с од­ ним и тем же поперечным распределением*). Рассмотрим ге­ нератор бегущей волны. В приближении плоских волн поле в нем является суммой бегущих волн

kn = 2nqn/L, где qn— большое целое число, знак которого опре­ деляет направление распространения волны.

Приведем результаты интегрирования системы (11.46). В ну­ левом порядке по полю отличны от нуля только диагональные элементы матрицы плотности

Они характеризуют заселенности уровней а, b в отсутствие поля. В первом порядке по полю заселенности не меняются, однако появляются отличные от нуля недиагональные элементы матрицы плотности раЬ = р*Ьа, которые характеризуют наличие

вынужденного излучения атомов в поле (11.47) при заданных заселенностях уровней:

a, b, создаваемая накачкой в отсутствие поля.

Вынужденное излучение приводит к тому, что заселенности уровней стремятся к выравниванию. Во втором порядке по полю

*) Взаимодействие мод с различными поперечными распределениями бу­ дет рассмотрено ниже.

166 УРАВНЕНИЯ МНОГОМОДОВОЙ ГЕНЕРАЦИИ [ГЛ. XI

действием поля состоит из двух членов: первый член постоянен в пространстве и во времени, а второй член зависит от разности фаз волн фпт, которая меняется в пространстве и во времени. Этот член, который мы будем обозначать р Мод, описывает моду­

ЧдУдЬ