книги из ГПНТБ / Волновые и флуктуационные процессы в лазерах

связаны соотношением z —zni = T]tgai, где za\ — средняя про­ дольная координата пылинки. Интегрируя (11.17) и полагая комплексные амплитуды Еа(г), Еь(г) постоянными на пылинке в силу малости ее размеров, получим

мого пучка в направлении оси ц, лежащей в плоскости падения. Таким образом, взаимодействие встречных волн при рассеянии на пылинке носит дифракционный характер. Отношение связи встречных волн к связи волн, распространяющихся в одном на­

правлениях, возникающая при отражении на пылинке, несим­ метрична, т. е т аЬФ — т'Ьа. В то же время неидеальность зер­

кала при вещественном коэффициенте отражения приводит к симметричной связи т^- — т'ьа (см- § 3, 4 гл. XI) вследствие

того, что угол падения на зеркало одинаков для встречных волн. Пылинка же ориентирована к встречным волнам разными от­

падения на первую и вторую грани пылинки определяется двумя факторами: во-первых, различием дифракционной связи отра­ женной волны со встречной волной (см. (11.176)), во-вторых, различием амплитуд отраженных волн, так как коэффициенты отражения г^ и гп зависят от углов. Второй фактор мы здесь не рассматриваем, так как обычно он играет гораздо меньшую роль, чем дифракционный фактор.

Рассмотрим пример. Пусть одна из граней пылинки (первая) расположена перпендикулярно оси Oz (a1= 0), а вторая грань — под углом аг> 7 ,/(2 лЕ>) (X— длина волны). Тогда первая волна испытывает на пылинке лобовое отражение и отраженная волна идет в направлении, противоположном оси Oz. Конечно, в этом случае отраженная волна будет сильно взаимодейство-

вать с волной, идущей в отрицательном направлении оси. Вто­ рая волна отражается на второй грани пылинки, расположен­ ной под углом к оси Oz, и отраженная волна уходит из резона­ тора. Влияние ее на встречную волну носит дифракционный ха­ рактер ( | fri\21 гораздо меньше, чем |/n2i|, см. (11.176)):

так и по фазе. Различие фаз вызвано тем, что отражения первой и второй волн происходят в разных местах zni Ф zn2, вследствие этого разность фаз между т 12 и — т'2Х равна 2kl (/— расстоя­

ние между отражающими гранями пылинки).

В добротности встречных волн отражение на пылинке (так же как и отражение на зеркале) несимметрии не вносит (по­ тери при отражении вообще не зависят от угла падения на пылинку, а только зависят от сечения пучка и от плотности энер­ гии поля волны).

Вычислим значение подынтегрального выражения интеграла Па (11.12). Поскольку собственные функции Еа удовлетворяют

Значение тангенциальных компонент магнитного поля идеаль­

где а — угол падения волны на зеркало. Подставив разложение поля падающей волны по собственным функциям резонатора

(11.9), (11.10), получим

А а — 2 cos a - f a 2 АаьЕ'а (г ) Еь (г) 8 Ь (/) ----- г ------ , (11.18)

Суммирование в (11.18) ведется по всем волнам Ь, распростра­ няющимся в обоих направлениях. Выражения для Ааъ, А'аЬ (11.19), (11.20) справедливы для любых поляризаций волн. По­ ляризация падающей на зеркало волны b определяется отно­ шением еьу/еьх■ Если фаза отношения еьу/еьх равна 0, я, то по­ ляризация линейная; если отличается от 0, я, то эллиптическая.

что волны, поляризованные во взаимно перпендикулярных на­ правлениях, не связаны (Ааь = 0) лишь в том случае, если либо 1) направления их поляризаций совпадают с направлениями главных осей лазера, т. е. лежат в плоскости падения и пер­ пендикулярно плоскости падения на зеркало (при этом еах = 0 или еЬзс = 0), либо 2) коэффициенты отражения зеркала в пло­ скости падения и перпендикулярно плоскости падения равны

§4] ДИФРАКЦИОННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ СВЯЗИ 153

Тот факт, что волны, поляризованные во взаимно перпен­ дикулярных направлениях, в общем случае являются связан­ ными, объясняется тем, что при отражении волны, электриче­ ский вектор которой не лежит в плоскости падения и не перпендикулярен к ней, происходит поворот плоскости поля­

при отражении направление поляризации волны поворачивается на угол

6 0 ~ l) = exey (j!- — l) (при | 6 0 | < | 0 | ) .

Поэтому, если падающая 6-волна ортогональна a-волне, то от­ раженная от зеркала 6-волна будет содержать примесь поля­ ризации a-волны, пропорциональную углу поворота 60.

§ 4. Дифракционные коэффициенты связи волн различных поперечных мод

Найдем величину интеграла (11.12), обусловленную неидеальностью зеркал. Интегрирование в Па происходит по полной граничной поверхности идеального резонатора, в качестве кото­

рой нужно взять поверхность S = 2 (от + сгг)> охватывающую

поверхность зеркал реального резонатора Oj и продолжение по­

Для простоты мы рассматриваем связь волн на одном зер­ кале. Легко провести обобщение формул для нескольких не­ идеальных зеркал.

При вычислении интеграла (11.24) надо учесть, что фаза поля меняется вдоль зеркал вследствие того, что координата

§ 4] ДИФРАКЦИОННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ СВЯЗИ 155

Здесь 2b — размер зеркала в направлении х, перпендикулярном плоскости падения, 2d— размер зеркал в плоскости резонатора. Величина Маь определяет связь волн вследствие того, что ко­ эффициент отражения зеркала отличен от единицы, М'аь опре­ деляет связь волн из-за ограниченности апертуры зеркала.

Связь волн, бегущих в одном направлении. Оценим вели­ чину интегралов Маь, М'аЬ в простейших случаях. Для волн, распространяющихся в одном направлении, волновые векторы близки: kb — ka ~ 2n/L. Так как масштабы поперечного рас­ пределения поля рх, Ру значительно меньше длины резонатора L, то в той области, где поле отлично от нуля, показатель

заны друг с другом вследствие ортонормированности собствен­ ных функций:

щий направление распространения волн. Индексами а, b будем нумеровать разные моды, без учета направления распростра­ нения волны, т. е. a = (|<7a|, та, па), причем в каждой моде имеются две встречные волны (s = 1, 2).

При вещественных коэффициентах отражения гх, гу вели­

ходящими за апертуру зеркала. При этом из (11.26) получим МаЬ= 1. Подставив теперь в (11.28) выражение Ааь (11.19), получим

К ь = К х е Ьх О ~ г х) + е ауе Ьу{1 - Гу)] i2 v 0 е Х {*Р ( k b ~ К ) *з] ■

(11.29)

Таким образом, неидеальность отражения зеркал (отличие ко­ эффициентов отражения от единицы) приводит к связи разных

§ 41 ДИФРАКЦИОННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ СВЯЗИ 157

Характер четности собственных функций определяется попереч­ ными индексами. Поэтому из (11.32) следует, что

т. е. за счет дифракции связаны только моды одинаковой чет­

рх (г), ру(г) — масштабы поля на зеркале.

Как видно из формул (11.32) и (11.33), величина интеграла перекрытия МаЬ мод с разными поперечными распределениями мала (стремится к нулю при увеличении апертуры зеркала). Моды с разными поперечными распределениями оказываются связанными в генераторе вследствие того, что отражение про­ исходит не на всей границе идеального резонатора, а только на апертуре зеркала. Поэтому поперечное распределение отражен­ ной волны обрезано по сравнению с собственной функцией иде­ ального резонатора. Отраженная волна представляет собой су­ перпозицию собственных функций резонатора с разными по­ перечными распределениями.

Связь встречных волн. Рассмотрим связь волн, распростра­ няющихся в потивоположных направлениях (1га « —kb). В этом случае экспонента, стоящая под знаком интегралов Маь, М'аь, быстро осциллирует. Поэтому значение интегралов Маь, М'аЬ мало как для разных поперечных мод, так и для одинаковых. Коэффициент обратного рассеяния на сферическом зеркале волны моды Ь, бегущей в направлении s', во встречную волну моды a (s' ф s) на основании формул (11.25) и (11.26) имеет вид

ihnSb — i2voe 1^ь+ а)2э [(Aab— А'аь) M^Lal +

158 УРАВНЕНИЯ МНОГОМОДОВОЙ ГЕНЕРАЦИИ [ГЛ. XI

где

Lai = (d cos а)/р Je - l«*-VHa {t)H b{l)dl,

ву= (ft* + (23) tg a; M<£> определяется формулой (11.32).

Определим коэффициенты связи встречных волн основной моды

(см. (14.2), (14.3)). В этом случае

В оптической области | ш|^>| й| . Так как ру « ]/$/&, то это не­

равенство эквивалентно условию квазиоптики s~^>d, где s — расстояние между зеркалами резонатора. В этом случае

( М » И )