книги из ГПНТБ / Волновые и флуктуационные процессы в лазерах

100 РЕЖИМЫ СИНХРОНИЗАЦИИ И БИЕНИИ [ГЛ. VI

Во втором приближении по связи полоса синхронизации при

Для лазера на чистом изотопе активного газа при достаточно больших расстройках ц, ко­ гда |6| ~ 1, из условия сла­ бой связи вытекает неравен­ ство т (а + Р) <С 1ЬI Acop-ri.

При этом выражение (6.75) принимает вид

тельно центра линии усиления и не очень больших превышениях,

Следовательно, в этом случае полоса синхронизации убывает с ростом превышения над порогом почти по гиперболическому за­ кону. Именно такая зависимость наблюдалась в работе Ароно­ вича и Коллинза [2].

При малых превышениях над порогом, когда связь сильная, полоса синхронизации в зависимости от расстройки может быть либо больше либо меньше, чем Q0 при слабой связи.

При сравнении формул (6.73) и (6.74) видно, что при усло­ вии | b | > (а — $)IV2 с ростом превышения над порогом полоса синхронизации будет увеличиваться. Если же| b |<(а — (5)/1/2,

§ 4] СИНХРОНИЗАЦИЯ и БИЕНИЯ ПРИ СИЛЬНОЙ СВЯЗИ 101

то при увеличении превышения полоса синхронизации будет

второе. Для лазера же, работающего на смеси изотопов, обыч­ но цыполняется второе условие.

Примерный график зависимости ширины области синхрони­

РИС. 6.4 при боЛЬШИХ Т].

Оценим величину ширины полосы синхронизации, восполь­ зовавшись экспериментальным значением коэффициентов связи,

Для измерения меньших скоростей вращения требуется при­ менять специальные методы, один из которых будет изложен в следующей главе.

Г Л А В А VII

ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОЛЬЦЕВОГО ЛАЗЕРА ПРИ МОДУЛЯЦИИ РАЗНОСТИ ЧАСТОТ РЕЗОНАТОРА

Наличие области синхронизации частот встречных волн при малых скоростях вращения существенно затрудняет использова­ ние кольцевых лазеров в качестве измерителей угловых скоро­ стей. Для того чтобы измерить малые скорости вращения, в коль­ цевой резонатор помещают невзаимный элемент (см. гл. VIII), создающий разность частот между встречными волнами. В этом случае режим биений будет существовать и в покоящемся коль­ цевом лазере. Вращение лазера приводит к изменению частоты биений. Чтобы зафиксировать это изменение, необходимо с большой точностью измерять частоту биений, а также поддер­ живать постоянными как расстройку частоты, создаваемую невзаимным элементом, так и все параметры лазера, опреде­ ляющие ход частотной характеристики вне полосы синхрониза­ ции: расстройку относительно центра линии усиления, фазы коэффициентов отражения, разность добротностей для встреч­ ных волн и др. (см. гл. VI).

В этой главе проводится исследование другой возможности измерения малых угловых скоростей вращения при помощи мо­ дуляции разности частот резонатора для встречных волн.

Если, например, кольцевой лазер поместить на колеблю­ щееся основание (подставку), то возникнет периодически изме­ няющаяся разность собственных частот резонатора для встреч­ ных волн. Эта разность частот будет пропорциональна произ­ водной угла поворота подставки. Если максимальное значение возникшей разности частот значительно больше ширины полосы синхронизации, то большую часть времени лазер будет работать в режиме биений. При этом в первый полупериод колебания подставки разность фаз между встречными волнами будет на­ растать, а в другой — убывать. В отсутствие постоянной со­ ставляющей угловой скорости суммарное изменение разности фаз за период колебаний подставки будет равно нулю. Если же постоянная составляющая имеется, то суммарное изменение разности фаз за период колебаний м о ж е т быть отлично от нуля,

ГЛ. VII] ЛАЗЕР ПРИ МОДУЛЯЦИИ РАЗНОСТИ ЧАСТОТ 103

В этом случае, регистрируя значения разности фаз через интер­ валы времени, равные периоду колебаний подставки, можно выделить эту постоянную составляющую скорости вращения. При малых скоростях вращения синхронизация имеет место и при таком способе измерения. Однако ширина полосы синхро­ низации уменьшается с ростом амплитуды колебаний подстав­ ки. Особый интерес представляет то обстоятельство, что зависи­ мость ширины области синхронизации от амплитуды колебаний подставки не является монотонной. Существует целая последова­ тельность значений амплитуды колебаний, при которых ширина области синхронизации обращается в нуль.

Модуляция разности частот резонатора может осущест­ вляться на практике различными способами (например, при на­ ложении переменного магнитного поля в частотном фарадеевском элементе). В дальнейшем мы не будем конкретизировать способ модуляции разности частот и будем формально считать модуляцию Й(/) обусловленной колебаниями подставки.

Режим синхронизации лазера на колеблющейся подставке будем рассматривать в приближении слабой связи, когда урав­ нение (6.6) для разности фаз Ф встречных волн можно пред­

ствие колебаний подставки, определяемая формулой (6.7); tg ф определяется формулой (6.8); Й (/)— зависящая от времени расстройка частот кольцевого резонатора, вызываемая враще­ нием лазера и колебаниями подставки.

Уравнение (7.1) справедливо, если максимальное значение

При условии (7.2) амплитуды встречных волн можно считать установившимися. Исключая их из системы уравнений (6.1), мы и приходим к уравнению (7.1) для разности фаз. Заметим, что условие (7.2) используется нами лишь для упрощения расчетов. Если неравенство (7.2) не выполняется, то необходимо решать полную систему уравнений (6.1). Такое решение проведено ме­ тодом электронного моделирования (см. § 3).

Обозначим измеряемую постоянную разность частот, вызван­ ную вращением лазера, через йь а разность частот, обусловлен­ ную колебаниями подставки, — й 2(0- Тогда Q(t) = Qi -+- й 2(/).

Исследуем решения уравнения (7.1) в частных случаях, ко­ гда колебания подставки задаются в достаточно простой форме.

104 ЛАЗЕР ПРИ МОДУЛЯЦИИ РАЗНОСТИ ЧАСТОТ [ГЛ. VI1

§ 1. Область синхронизации при пилообразных колебаниях подставки

Обозначим угол поворота подставки 0(/). Если 0 изменяется

Здесь Т — период колебаний.

Чтобы лучше понять явления, происходящие в лазере на колеблющейся подставке, рассмотрим вначале случай, когда вы­ полняется неравенство

Q2 О0, Oi- (7.4)

При этом уравнение (7.1) можно решать методом последова­ тельных приближений. В нулевом приближении по малым пара­ метрам из (7.1) следует, что

Постоянная To равна значению T при t — 0.

Набег разности фаз за время, равное периоду колебаний под­ ставки, в соответствии с уравнением (7.1) в первом приближении по Qi и Qo равен

т

AT = Q ,f — Й0 J sin Т<°> (/) dt =

= Q,7 - Q0 sin ( т 0 + П2 x ) — а 2гГ/'4)'- ' <7-6)

В выражении для AT первый член определяет изменение разно­ сти фаз, вызванное измеряемой угловой скоростью, а второй член — изменение разности фаз за счет связи волн через рас­ сеяние.

Из (7.6) следует, что при условии

т. е. для некоторой последовательности амплитуд колебаний угла поворота подставки, связь через рассеяние не влияет на изменение разности фаз встречных волн за время, равное пе-

В случае, когда время измерения значительно меньше вре­ мени корреляции случайного процесса £(Q, формула (7.26) дает выражение для ширины полосы синхронизации, обусловленной неточностью задания амплитуды колебаний подставки. Частота биений вне полосы синхронизации при этом равна

Если же время измерения значительно больше времени кор­ реляции случайных отклонений, то имеет смысл говорить об усредненной за время измерения полосе синхронизации. В при­ ближении вторых моментов получаем

Частоту биений вычислим при условии Qi » (Пю). Тогда

На основании полученных соотношений (7.26) —(7.29) можно оценить влияние медленных технических флуктуаций на частот­ ные характеристики лазера на колеблющейся подставке.

§ 3. Моделирование частотных характеристик

Поскольку в случае синусоидальных колебаний подставки мы можем получить лишь приближенное решение фазового уравне­ ния (7.1), справедливое при условии П0 <С Й2, то для исследо­ вания влияния параметра Q0/^2 на решение уравнения (7.1) нами был использован метод электронного моделирования. Ис­ следование проводилось при помощи электронной модели, опи­ санной в работе [6]. Расстройка частоты встречных волн задава­ лась в виде периодического сигнала. Форма этого сигнала могла быть выбрана как синусоидальной, так и прямоугольной.

Как отмечалось ранее, для выделения постоянной составляю­ щей расстройки частоты, обусловленной измеряемой угловой скоростью, необходимо сравнивать значения разности фаз встречных волн через интервалы времени, равные периоду коле­ баний подставки. Оказалось удобным фиксировать значения раз­ ности фаз в моменты скачков величины расстройки частоты при прямоугольной модуляции угловой скорости и в моменты про­ хождения синусоидой нулевых значений при синусоидальной модуляции.

При моделировании исследовалась полная система уравне­ ний (6.1), а не одно уравнение (7.1). Тем самым при сравнении известных решений, например, для случая прямоугольной моду­ ляции угловой скорости подставки можно было установить пра­ вомерность сведения системы амплитудно-фазовых уравнений к одному уравнению для разности фаз. Оказалось, что в этом случае зависимости ширины полосы синхронизации от амплитуды

Рис. 7.1. Зависимость ширины области синхронизации от амплитуды коле­ баний подставки.

и частоты колебаний подставки, полученные аналитически и из­ меренные на модели, в пределах точности измерения совпали при всех исследованных значениях параметров. Это подтверди­

ширины области синхронизации от параметра х при некоторых фиксированных значениях е.

Результаты измерений на аналоговой машине ради краткости изложения в дальнейшем будем называть экспериментальными.

На рис. 7.1 изображены экспериментальные зависимости ши­ рины области синхронизации от параметра х при двух значениях параметра е (е = 0,175, кривая 1'\ е = 0,4, кривая 2') для слу­ чая синусоидальных колебаний подставки. Кривые /, 2 на том же рисунке соответствуют аналитической зависимости (7.22).

Из рисунка видно, что при малом е экспериментальная кри­ вая достаточно близка к теоретической (кривые 1, Г). При