2. Получить то же самое дифференциальное уравнение движения системы, используя теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме.

На систему действуют следующие внешние силы: силы тяжести – катка 1, – блока 2, – блока 3 и – цилиндра 4, – нормальная реакция груза 1, сила натяжения троса и вращающий момент .

Применим теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме: , где – сумма работ внутренних сил на элементарном перемещении (для этой системы, состоящей из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями: - сумма работ внешних сил на этом же перемещении, то есть .

Кинетическая энергия системы равна: , где – кинетическая энергия катка 1, движущегося плоско-параллельно; – кинетическая энергия цилиндра 2, вращающегося вокруг неподвижной оси; – кинетическая энергия цилиндра 3, вращающегося вокруг неподвижной оси; - кинетическая энергия цилиндра 4, движущегося плоско-параллельно.

Таким образом, получаем.

Выразим скорости центров масс и угловые скорости тел системы через линейную скорость катка 1 (составим уравнения связей). Мгновенный центр скоростей катка 1 находится в точке , а мгновенный центр скоростей цилиндра 4 – в точке . Находим

, но

, ,

но ,

.

Учитывая исходные данные, имеем

,

,

Подставляя все в выражение для кинетической энергии, получаем:

Найдем сумма элементарных работ внешних сил:

,

где , так как точки приложения сил тяжести цилиндров 2 и 3 – неподвижны; , так как эти силы приложены в мгновенных центрах скоростей соответствующих тел; ;

Так как соотношения между перемещениями, такие же как и между скоростями, то .

В результате получаем .

В итоге имеем следующее уравнение:

.

Получили дифференциальное уравнение второго порядка относительно S.

3. Получить дифференциальное уравнение движения механической системы на основании общего уравнения динамики.

Так как система приходит в движение из состояния покоя, то направления ускорений тел соответствуют направлениям их движения.

Будем считать, что движение системы таково, что каток 1 поднимается.

Покажем внешние силы: силы тяжести – катка 1, – блока 2, – блока 3 и – цилиндра 4, – нормальная реакция груза 1, сила натяжения троса и вращающий момент .

Приложим силы инерции. Сила инерции катка 1, совершающего плоско-параллельное движение, приводятся к вектору , где – ускорение центра масс катка 1 (точка А), и к паре сил, момент которой , где – угловое ускорение катка 1.

Силы инерции цилиндра 2, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловым ускорением , приводятся к паре, момент которой .

Силы инерции цилиндра 3, вращающегося вокруг неподвижной оси с угловым ускорением , приводятся к паре, момент которой .

Сила инерции цилиндра 4, совершающего плоско-параллельное движение, приводятся к вектору , где – ускорение центра масс цилиндра 4 (точка В), и к паре сил, момент которой , где – угловое ускорение цилиндра 4.

Сообщим системе возможное перемещение в направлении ее действительного движения.

Составим общее уравнение динамики:

где – линейные перемещения центров тяжести цилиндров 1 и 4, и – углы поворотов цилиндров 1, 2, 3, 4.

Зависимости между возможными перемещениями такие же, как и между соответствующими скоростями. Поэтому выразим скорости центров масс и угловые скорости тел системы через линейную скорость катка 1 (составим уравнения связей).

Мгновенный центр скоростей катка 1 находится в точке , а мгновенный центр скоростей цилиндра 4 – в точке .

Находим

, но

, ,

но ,

.

Такие же зависимости и между возможными перемещениями

,,

и между ускорениями ,, .

Таким образом, общее уравнение динамики принимает вид:

Учитывая исходные данные, имеем

, ,

, ,

,

, ,

В результате общее уравнение динамики приобретает следующий вид:

или

Получили дифференциальное уравнение второго порядка относительно s.

4. Получить то же самое дифференциальное уравнение движения системы, составив для неё уравнения Лагранжа 2-го рода.

Данная механическая система имеет одну степень свободы, поэтому в качестве обобщенной координаты выберем перемещение центра масс катка 1, то есть , тогда . Уравнение Лагранжа 2 рода имеет вид: , где – кинетическая энергия системы, – обобщенная сила.

Таким образом, получаем , ,

Получили дифференциальное уравнение второго порядка относительно s.

5. Убедившись в совпадении результатов, полученных четырьмя независимыми способами, проинтегрировать дифференциальное уравнение движения системы, получив зависимость координаты точки от времени.

.

Так как система начинает двигаться из состояния покоя, то при

То есть

Так как при

.

Таким образом, получили следующую зависимость координаты точки от времени

6. Построить графики зависимостей и .

Построим график зависимости :

Построим график зависимости .

Данный график будет разным в зависимости от отношения .

Если , то график имеет вид

Если , то график имеет вид

Причем чем ближе отношение к 70, тем ближе вершина параболы к оси y и оси х, и тем больше график напоминаете предыдущий, а чем ближе отношение к 140, тем больше график напоминает тот, что расположен ниже.

Если , то график имеет вид

7. Определить натяжения тросов в начальный момент времени (при ).

При натяжения тросов найдем по формулам: