Расчётно-графическая работа № 1 на тему:

«Кинематическое исследование движения точки»

Исходные данные:

c.

Решение:

1. По заданным уравнениям движения точки определить траекторию и изобразить её на чертеже.

Для определения траектории точки выразим и , после чего возведем выражения в квадрат и затем их сложим:

,

Таким образом, получили, что траектория точки – это эллипс с центром в точке и полуосями м, м.

2. Определить проекции вектора скорости на координатные оси и модуль вектора скорости.

;

.

3. Определить проекции вектора ускорения на координатные оси и модуль вектора ускорения.

4. Вычислить и изобразить на чертеже начальное положение точки, вектор начальной скорости и вектор начального ускорения.

Найдем начальное положение точки в момент времени c:

рад;

м;

м;

Проекции и модуль вектора скорости в начальный момент времени c:

м/с;

м/с;

м/с.

Проекции и модуль вектора ускорения в начальный момент времени c:

м/с²

м/с²;

м/с².

5. Выбрать начало и направление отсчёта дуговой координаты и получить закон изменения дуговой координаты со временем.

В качестве начала отсчёта дуговой координаты возьмем точку , направление отсчёта – против хода часовой стрелки.

Изменение дуговой координаты по времени можно найти следующим образом: .

Так как начало отчета мы совместили с точкой , то при c: .

Таким образом, или , где .

6. Вычислить касательное и нормальное ускорения точки.

Касательное ускорение точки:

Нормальное ускорение точки:

где - радиус кривизны траектории движения точки выводится из уравнения эллипса

,

.

7. Построить графики зависимости от времени дуговой координаты, проекции вектора скорости на касательную, касательного ускорения и пройденного пути.

График зависимости от времени дуговой координаты

:

График зависимости от времени проекции вектора скорости на касательную :

График зависимости от времени касательного ускорения :

График зависимости от времени пройденного пути

8. Для заданного момента времени определить декартовы и дуговую координаты точки, вектор скорости, вектор ускорения и все его проекции. Полученные результаты изобразить на чертеже.

Найдем положение точки в заданный момент времени c:

рад;

м;

м;

м.

Проекции и модуль вектора скорости в заданный момент времени c:

м/с;

м/с;

м/с.

Найдем направляющий косинус вектора скорости (угол, который образует вектор скорости с положительным направлением оси х)

Проекции и модуль вектора ускорения в заданный момент времени c:

м/с²

м/с²;

м/с².

Найдем направляющий косинус вектора ускорения (угол, который образует вектор ускорения с положительным направлением оси х):

.

Касательное и нормальное ускорения в заданный момент времени c:

м/с²;

м

м/с².

Расчётно-графическая работа № 3 на тему: «Сложное движение точки»

По ободу диска радиуса движется точка . Уравнение движения задано в таблице; там же указано начало отсчёта дуговой координаты . Положительное направление отсчёта – по ходу часовой стрелки, если смотреть навстречу оси . Уравнение вращения диска задано в таблице. Положительным направлением вращения считается направление против хода часовой стрелки, если смотреть с положительного конца оси вращения . Для момента времени с определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки .

Исходные данные: , , c.

Найти: абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М для момента времени c.

Решение:

Будем считать, что в заданный момент времени плоскость чертежа совпадает с плоскостью диска. Положение точки М на диске определяется расстоянием .

При с: . Найдем угол, на который повернулся радиус при движении точки М по окружности: рад.

Абсолютную скорость точки М найдем как геометрическую сумму относительной и переносной скоростей: .

Модуль относительной скорости , где

При с: ; .

Положительный знак у показывает, что вектор направлен в сторону положительных значений , перпендикулярно радиусу окружности, то есть вертикально вниз.

Модуль переносной скорости , где – радиус окружности, описываемой той точкой тела, с которой в данный момент совпадает точка М, ; - модуль угловой скорости тела: .

При с: ; .

Положительный знак у величины показывает, что вращение диска происходит вокруг оси в сторону отсчета угла . Поэтому вектор направлен по оси , перпендикулярно плоскости рисунка на нас (параллельно оси z).

Таким образом, модуль переносной скорости при с равен

.

Вектор направлен перпендикулярно радиусу в сторону вращения.

Модуль абсолютной скорости точки М находим способом проекций:

или .

Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений: , или в развернутом виде .

Модуль относительного касательного ускорения , где

.

При с: ; .

Отрицательный знак показывает, что вектор направлен в сторону отрицательных значений , перпендикулярно радиусу окружности, то есть вертикально вверх. Знаки и не одинаковы; следовательно, относительное движение точки М замедленное.

Относительное нормальное ускорение , то есть при с:

.

Вектор направлен к центру диска, то есть горизонтально влево.

Модуль переносного вращательного ускорения , где – модуль углового ускорения диска: .

При с: ; .

Таким образом, получаем .

Модуль переносного центростремительного ускорения или

.

Вектор направлен к центру вращения .

Кориолисово ускорение . Модуль кориолисова ускорения , где .

С учетом найденных выше значений и получаем при с: .

Вектор направлен согласно правилу векторного произведения, то есть перпендикулярно одновременно векторам , в ту сторону, откуда поворот от к виден против хода часовой стрелки, то есть вдоль оси x вправо.

Модуль абсолютного ускорения точки М находим способом проекций:

;

;

;

.

Ответ: , .

Расчётно-графическая работа на тему:

«Динамическое исследование движения механической системы»

Механическая система состоит из четырёх цилиндров, связанных между собой нерастяжимыми тросами. Каток 1 массы радиуса катится без скольжения по неподвижной плоскости, наклонённой под углом к горизонту. Блоки 2 и 3 – одинаковые сплошные однородные сдвоенные цилиндры массы с внутренним радиусом и наружным радиусом . Даны моменты инерции цилиндров:

Система приводится в движение из состояния покоя моментом , приложенным к катку 1.

Исходные данные:

При выполнении задания необходимо:

1. Используя общие теоремы динамики, составить систему уравнений, описывающих движение заданной механической системы. Исключая из этой системы уравнений внутренние силы, получить дифференциальное уравнение, служащее для определения зависимости координаты точки от времени – дифференциальное уравнение движения системы.

Рассмотрим каток 1 и составим для него два уравнения, воспользовавшись двумя теоремами – теоремой о движении центра масс в проекции на ось

и теоремой об изменении кинетического момента: , где , , то есть второе уравнение имеет вид .

Рассмотрим цилиндр 2 и составим для него одно уравнение, используя теорему об изменении кинетического момента: , где , то есть .

Рассмотрим цилиндр 3 и составим для него одно уравнение, используя теорему об изменении кинетического момента – , где , то есть .

Рассмотрим цилиндр 4 и составим для него два уравнения, воспользовавшись двумя теоремами – теоремой о движении центра масс в проекции на ось

и теоремой об изменении кинетического момента: , где , , то есть второе уравнение имеет вид .

Таким образом, получили систему из 6 уравнений:

Исключим из этой системы уравнений внутренние силы и выразим все кинетические характеристики через ускорение центра масс катка 1 - , воспользовавшись равенствами: ,, (подробнее о кинематических зависимостях написано в п.2 и п.3). При выводе уравнения использовали, что , , . В каждом уравнении выразили силы натяжения, а затем все уравнения сложили, в результате получили

.

Получили дифференциальное уравнение второго порядка относительно S.