книги из ГПНТБ / Френкс, Л. Теория сигналов

3.4. ОПЕРАТОР РАЗЛОЖЕНИЯ СИГНАЛА В АППАРАТУРНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ

Чтобы завершить процесс отыскания приближенного численного представления для произвольного сигнала конечной энергии, выберем некоторую систему базисных функций {<рг} (и взаимный базис {0*}), и установим эквивалентность

Компонента!

Рис. 3.6. Обобщенный анализатор спектра.

По аналогии с обычным преобразованием Фурье будем рассматри­ вать (3.48) как пару преобразований. В (3.48 а) сигнал представлен определенной линейной комбинацией {<р;}, а формула (3.48 б) дает линейное правило для отыскания разложения сигнала на выбранные компоненты. Последнюю операцию можно рассматривать как обрат­ ную по отношению к разложению, и именно ее мы хотим реализовать с помощью соответствующих физических устройств. Используя метод реализации линейных функционалов, показанный на рис. 2.7, получаем устройство, которое является обобщением лабораторного прибора — анализатора спектра (рис. 3.6). Эту схему можно выполнить иначе, заменив ячейки «перемножитель — интегратор» на ячейки «квантова­ тель — фильтр», что соответствует рис. 2.8.

Во многих случаях, генерируя в приборе «подходящие» колебания, не удается точно сформировать нужную систему функций {0г}. На­ пример, в некоторых системах обработки оптических сигналов опера-

63

ция умножения выполняется путем освещения через материал с раз­ ной степенью прозрачности.

В таких условиях желательно, чтобы функции, на которые умно­ жается сигнал, были неотрицательными, в частности может использо­ ваться система вещественных экспоненциальных функций. В качестве другого примера приведем случай, когда «эталонные» функции должны быть порогового типа («да» — «нет»), чтобы умножение могло произ­ водиться с помощью соответствующего ключа. Может случиться, что у проектировщика системы обработки нет никакого выбора и нужно использовать заданные функции. Это приводит к следующей задаче.

ства, чтобы получить произвольный функционал /д? Для ответа на этот вопрос воспользуемся обсуждавшимся в § 2.6 соответствием между сигналами и линейными функционалами.

Задача состоит в том, чтобы найти наилучшее (в смысле минимума расстояния в сопряженном пространстве) приближение искомого функ­

стемой параллельных цепей, рассмотренных в § 2.6; на выходе каждой из цепей имеется звено, регулирующее коэффициент усиления, как показано на рис. 3.7. Коэффициенты усиления устанавливаются так,

При этом {vft; k = 1, 2, ..., m) есть взаимный базис в подпространстве Nm, натянутом на {ufe; k = 1,2, ..., m}. Нетрудно показать, что такая аппроксимация для /0 в точности соответствует минимуму расстояния до 0, получаемому при проектировании на Nm■Учитывая соответствие

Можно сказать также, что 100 г есть наибольшая ошибка отображения в процентах по отношению к |[ х ||. Отсюда прямо вытекает схема реали­ зации представления сигнала с помощью имеющихся конкретных устройств. Мы хотим представить сигнал х точкой в пространствеМ п, натянутом на {<рг; г = 1, 2, ..., п}\ можем же мы вычислять только

64

Разумеется, если Мп есть подмножество из Nm, обе проекции сов­ падают, и полученный анализатор в точности соответствует желаемому. Если М п и N m совпадают, то матрица А неособенная, и предыдущие соотношения просто указывают на замену базиса в Мп (упражнение

2.16).

Пример 3.3. Проиллюстрируем изложенное на примере, с которым часто имеют дело в теории сигналов. Пусть х — сигнал, ограниченный по длительности в интервале [О, Т) и имеется переключатель, с помощью которого снимаются^значения|сигнала в m отдельных моментов вре­ мени на указанном интервидение. 3.10). Предположим также, что мы

Схема весового суммирования

a =(v. в.)

г* <'

Рис. 3.8. Модификация заданного анализатора для получения желаемого разложения сигнала.

хотим измерить коэффициенты разложения сигнала с периодом Т в ряд Фурье. Следовательно,

П

~. 2nit

‘= - T

есть искомое разложение. Базисные функции имеют вид

Полагая, что ползунок переключателя касается в каждый данный мо­ мент только одного полюса, и что время между касаниями равно нулю, примем в качестве базисной ортогональную систему прямоугольных функций

66

в коэффициенты Фурье а г = (х, 0*) осуществляется с помощью мат­ рицы А, соответствующей (3.51):

Рис. 3.9. Иллюстрация приближенного пред­ ставления сигнала с помощью заданного анализатора.

( k - l) T

Поскольку комплексные весовые коэффициенты физически не реализуемы, мы вместо них определяем действительную и мнимую

части отдельно: at = pt + jq^ Этому соответствует представление х (t) (в случае вещественных сигналов) тригонометрическим рядом:

Тем не менее удобнее рассуждать, пользуясь комплексной формой ряда Фурье, поскольку вывод соотношения (3.58) в этом случае зна­

чительно проще. Измерение коэффициентов ряда (3.59) производится

спомощью схем весового суммирования, соответствующих матрицам В

иG размером (я/2) X т (рис. 3.10). Эти матрицы получены из дейст­ вительной и мнимой частей матрицы А:

тт

Отсчетные

Рис. 3.10. Анализатор гармоник.

где

Упражнение 3.6. Реализуя гармонический анализ, как описано в примере 3.3, мы, естественно, интересуемся точностью, с которой отдельные коэффициенты Фурье могут быть найдены при идеальных переключателе, интеграторе и весовом сумматоре. Рассмотрев все сигналы единичной энергии из Z.2 (Т), показать, что верхняя грань ошибки в определении г-го коэффициента Фурье составляет

68

У к а з а н и е :

4

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ

4.1. НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

Представления сигналов, рассмотренные в предыдущих главах, называются дискретными потому, что каждый сигнал представляется счетной последовательностью величин. Основное преимущество ди­ скретных представлений в том, что от них просто перейти к приближен­ ным конечным представлениям, нужным для численных расчетов и при физических измерениях сигналов. Но в теоретических исследованиях, таких, например, как обсуждаемые в гл. 5 вопросы линейных преоб­ разований, желательно иметь точное представление сигнала, с кото­ рым можно оперировать, не заботясь о допускаемой ошибке. Для ши-

69

роких классов сигналов, таких, как L2 (— оо, оо), точные дискретные представления получаются достаточно громоздкими и с трудом подда­ ются простым физическим истолкованиям из-за того, что применяемые полные ортонормальные системы сложны по|своей'природе; в большей или меньшей мере все они «надуманы». Подходящее, казалось бы, раз­ ложение по смещенным во времени функциям {ф; (t) = ф ( t — гТ); i = 0 ,± 1, ± 2, ...} не является полным в L2 (Т) при любой исходной функции ф (0- Однако для практических сигналов ошибку приближе­ ния можно произвольно уменьшить, если выбрать Т достаточно малым. Мы приходим, естественно, к такому представлению сигнала, при ко­ тором параметр iT распределен непрерывно вдоль оси времени, а не в изолированных, равномерно расставленных точках.

Обобщение этой идеи непрерывного представления приводит к раз­ личным интегральным преобразованиям, формирующим соответствую­ щие интегральные представления сигнала [1]. Термин «непрерывный» не обозначает в данном случае обычного понятия непрерывности ото­ бражения, а указывает на то, что множество параметров, характери­ зующих используемый в представлении базис, плотно.

Данная глава посвящена некоторым общим вопросам интегральных представлений, рассматриваемых на основе аналогии или обобщения дискретных представлений. Стремясь сделать такую аналогию полной, мы сталкиваемся с рядом математических трудностей. Но несмотря на эти трудности, такой подход дает глубокое понимание сущности проблемы на физическом уровне. В части математической строгости следует полагаться на специальные исследования применительно к кон­ кретным интегральным преобразованиям [2]. Преобразования Фурье и Гильберта, широко используемые в теории сигналов, можно легко интерпретировать с рассматриваемой точки зрения. Действительно, вводные рассуждения по интегралам Фурье обычно базируются на ря­ дах Фурье. Мысль о том, что многие интегральные преобразования можно просто исследовать путем непосредственного обобщения ди­ скретных преобразований, оказывается весьма продуктивной и при­ водит к очень интересным результатам, которые обычно вполне приме­ нимы в практических приложениях.

4.2. БАЗИСНЫЕ И СОПРЯЖЕННЫЕ БАЗИСНЫЕ ЯДРА*’

Непрерывный аналог рассматриваемого в гл. 3 конечномерного представления получается, если заменить в (3.2) дискретный индекс i — номер базисной функции — континуальной переменной s ( S. Множество S обычно представляет собой некоторый интервал дейст­ вительной оси. Базис теперь выражается функцией ф (t, s), зависящей от двух переменных, и формула (3.2) принимает вид

*> Сопряженные ядра называют также обратными или взаимными. —

Прим. ред.

70