книги из ГПНТБ / Френкс, Л. Теория сигналов

функцией автокорреляции сигнала х (/)*'. Функция автокорреляции будет определена в гл. 7, а в гл. 8 даны некоторые соотношения между функциями автокорреляции случайных процессов и сечениями функ­ ции неопределенности вдоль оси времени. Для вещественных сигналов легко найти преобразование Фурье от (2.40):

Мы видим, что сигналы с одной и той же функцией автокорреля­ ции имеют преобразования Фурье, которые могут отличаться произ­ вольным фазовым множителем (см. упражнение 1.5).

Упражнение 2.13. Показать, что функция автокорреляции произвольно­ го сигнала с ограниченной энергией есть непрерывная функция т. Для действи­

Представление элементов векторного пространства со скалярным произведением

Наиболее важное свойство пространства сигналов, в котором оп­ ределено скалярное произведение, состоит в том, что имеется прямая связь между сигналом и его представлением. Предположим, что М — произвольное n-мерное пространство, натянутое на базис {иг; i = = 1, 2, ..., п}, тогда для х £ М^имеем

*> Сечением функции неопределенности вдоль оси времени (автокорреля­ ционной функцией сигнала) часто называют комплексную функцию

ОО

г*(т)= J х (t) х* (/ + т) dx,

а не ее вещественную часть, как в (2.40). Тогда соотношение (2.41) справедливо для любых сигналов, не только вещественных. —Прим. ред.

41

Умножим скалярно левую и правую части на иу

П

Мы получили систему линейных скалярных уравнений, и их решение относительно вектор-строки а = {а^аа, а„) дает представление х в пространстве Сп относительно базиса {и,}. Для удобства введем но­ вые базисные векторы { v j, попарно ортогональные к {иД, так что

для любого х 6 М и любой пары взаимных базисов для М.

Другой удобный способ состоит в использовании в качестве ба­ зиса вМ ортонормальной системы. Система векторов {иг; г = 1,2, ... п} называется ортонормальной, если взаимным базисом для нее является она сама, т. е. если векторы взаимно ортогональны, и норма их равна единице:

Используя ортонормальный базис, мы не только получаем взаимно­ однозначное соответствие между векторами в М и их представлением

вСп, но и равенство скалярных произведений в обоих пространствах.

пп

Для х =- 2 а гиг и У = 2 P /Ui имеем i~ 1 i= 1

Представляют интерес способы построения ортонормальных ба­ зисов. Одним из них, наиболее предпочтительным с точки зрения вы­ числений, является способ ортогонализации Грама — Шмидта,

удобный в силу своего итеративного характера. Если задана система п

42

линейно независимых векторов в М, {v;; i — 1, 2, п), то система ортонормальных векторов {иг} получается путем нормализации век­ торов {w;}, определяемых следующей схемой:

w1 = v1>

Упражнение 2.15. Показать, что процедура Грама—Шмидта (2.50) при­ водит к получению ортонормальной системы.

Указание. Доказать по индукции, что если на г'-м шаге система {щ, и2, ...

Uj> — ортонормальна, то вектор Wj-i-! ортогонален каждому из этих векторов. Кроме того, доказать соотношение

1—1

W; •== ViP- ■2 1(уь “*> I2 *=i

Упражнение 2.16. Переход от одного базиса к другому.

Показать, что строка Р получается из строки а умножением на матрицу перехода Г:

/= 1

где элементы квадратной матрицы Г порядка я 7г;-=(иу-, z;), a {z;; 1=1, 2,..., и}— взаимный базис для {w;-; / = 1, 2, ..., я).

п

Упражнение 2.17. Найти представление Р£СЛ вектора х = 2 a i ui в базисе

/= 1

{wf; 1 = 1, 2, .... я}, где

w1 = u1; w2= u 2+ u 1;

w;= 2 ur

/ = i

для i 2.

43

2.6. ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ

Мы ввели различные виды линейных пространств' сигналов. Те­ перь рассмотрим отображение этих пространств в числовые величины. Такие отображения представляют большой практический интерес в силу их соответствия физически измеряемым параметрам сигналов. Для представления и идентификации сигналов особенно важны линей­ ные измерения. По сути дела главной для нас причиной введения линейных пространств сигналов и наделения их определенными гео­ метрическими свойствами было то, что при этом достигается замечатель­ ное соответствие между результатами различных линейных измерений, проводимых над сигналами, и самими сигналами. Ниже обсуждаются различные аспекты этого вопроса.

Отображение комплексного линейного пространства ЗС в множе­

для любых а, |3 в С и любых х и у 6 «2?, называется линейным функцио­

есть линейный функционал*’. Кроме того, если норма || уЦ ограничена, т. е. || ф || < К, то /ф — непрерывный линейный функционал. Это прямо следует из неравенства Шварца: для любого х„ 6.3С

1М Х)—/ф(х0)| = |(х —х0, 9) | < | | х —х01|||ср||</С|]х—х0||. (2.53)

Тот же результат был получен в примере (2.7) для более общего случая. Важно, что для полного, т. е. гильбертова пространства ЗС любой непрерывный линейный функционал можно трактовать как скалярное произведение (2.52), причем каждому непрерывному линейному функ­

лиза [3, 4]. Существенным моментом доказательства является установ­ ление того факта, что множество векторов, которые отображаются в нуль линейным функционалом, есть линейное подпространство про­

44

Рис. 2.5. Линейный функционал f в R2.

ционалов в линейном пространстве S0 само образует линейное про­ странство. Векторное сложение и умножение на скаляр определяются для функционалов условием:

/ = a/i + 13/2 => / (х) = oc/i(x) + Р/2 (х) Для всех х £30. (2.57)

Это пространство можно нормировать, если ввести следующие опре­ деления нормы:

или, что эквивалентно,

Функционал с конечной нормой называется ограниченным. (Заметим, что при этом |/ (х) | не обязательно ограничено.) Ограниченный линей­ ный функционал непрерывен, так как |/ (х) — f (х0) | = / (х — х0) <

^ 11/11 IIх — хо II Для любого х0 б SO. Непрерывность в точке х0 означает непрерывность функционала, так как ||/|| от х0 не зависит. Обратно, непрерывный линейный функционал ограничен, так как из непрерыв­ ности в начале координат следует

1|хЦ <6=Н /(х)|<е=Н /(у)| < - у

45

при j( у || < 2 . Следовательно, ограниченность и непрерывность линей­ ных функционалов — эквивалентные понятия.

Если к линейному функционалу, записанному в форме скалярного произведения, применить неравенство Шварца и учесть, что равенство достигается, когда х пропорционален ср, мы получим

Покажем, что пространство всех непрерывных линейных функционалов, определенных на гильбертовом пространстве ЗС (это подпростран­ ство пространства всех линейных функционалов на ЗС), само является гильбертовым пространством, связанным очень простым образом с ЗС.

Умножитель Интегратор Усилитель

Рис. 2.6. Схема отсчетного устройства (квантователя по времени).

Такое пространство называется сопряженным пространством ЗС*• Мы уже видели, что существует взаимно-однозначное соответствие меж­ ду э л е м е н т а м и 6 ЗС* и 6 ЗС. Более того, соответствующие скаля­ ры просто являются комплексно-сопряженными, т. е. fa(p = a*fq,.

Отсюда следует, что

Легко видеть, что (2.61) можно принять за определение скалярного

произведения в пространстве 2С*. Норма, порождаемая этим скаi_

лярным произведением ||/Ф||= (fq>, /ф)2 = ||ф||, согласуется с общим определением (2.60). И, наконец, если { u j есть базис для ЗС, то {f^} есть базис для ЗС*, где {v;} — взаимный базис [(иь \ }) = Ьц]. Следо­ вательно, произвольный линейный непрерывный функционал f может быть представлен линейной комбинацией

В некоторых пространствах сигналов, скажем в L2 (Г), мы будем пользоваться не непрерывными (неограниченными) линейными функ­ ционалами. Важный пример такого функционала в L2 (Г) это представ­ ление временной функции ее отсчетами — временное квантование. Ясно, что f (х) = х {t0) есть линейный функционал; ясно также, что

46

существуют функции с интегрируемым квадратом, которые не являются

1

ограниченными для всех t £ Т. Рассмотрим, например, х (t) = \t\ 2; х (t) принадлежит L2 (—1,1), но не ограничена при t = 0. В этом слу­ чае мы можем сохранить представление функционала в виде скалярного произведения, если определим 6-функцию (не в L2) следующим обра­ зом:

Практически, физическая реализация операции временного кванто­ вания непрерывна, поскольку нельзя реализовать бесконечно узкий стробирующий импульс. Типичная схема квантователя приведена на рис. 2.6, где сигнал умножается на прямоугольную стробирующую

Линейная, инвариантная Квантователь рис. 2.6

во времени цепь

Рис. 2.8. Другая реализация / ф(х) = (х, ф).

функцию, достаточно узкую по сравнению с временем изменения кван­ туемого сигнала. Стробирующий сигнал обычно реализуется с помощью ключа, замыкаемого в течение времени t0—т/2 ^ t ^ t0 + т/2 и разомк­ нутого в остальное время. Интеграл от близкого к прямоугольному сиг­ налу на выходе ключа приблизительно пропорционален x: (t0).

Аналогично реализуется произвольный линейный функционал над действительными сигналами. Для этого используется перемно­ жающее устройство и интегратор, как показано на рис. 2.7. Конечно, предполагается, что или сигнал, или весовая функция достаточно малы за пределами некоторого конечного интервала времени, так что на вы­ ходе интегратора получается значение функционала.

47

Возможна также другая реализация линейного функционала, при которой порядок квантования и умножения изменен на обратный, как показано на рис. 2.8. Поскольку сигнал на выходе стационарной линейной цепи в момент t0 определяется интегралом свертки

нужное скалярное произведение получится, если импульсная реакция цепи имеет вид

Это означает инверсию во времени и задержку весовой функции, по­ казанной на рис. 2.7.

Из-за того, что в физически реализуемых цепях h (t) отлична от нуля только для положительных t, может потребоваться дополнитель­ ная задержка за счет увеличения длительности стробирующего им­ пульса.

Упражнение 2.18. Мы показали, что сопряженное пространство 3d* явля­ ется пространством, в котором определено скалярное произведение. Если это гильбертово пространство, оно должно быть полным. Рассмотреть произволь­ ную последовательность Коши в ЕС* и показать, что она сходится к точке в ЕС*.

Сказания: 1) для f n, ||/„ —f m \\ < е=> | /„ (х)—f m (х) | < е ц х||

2) предположим, что последовательность чисел {fn (х)} сходится к числу, назовем его (х), для каждого х. Показать, что для этого необходимо, чтобы ото­ бражение I было линейным и непрерывным;

3.S i m m о n s G. F. Introduction to topology and modern analysis. McGrawHill, 1963.

4. А х и е з е р H. И. и Г л а з м а н И. M. Теория линейных операторов

в гильбертовом пространстве. М., Гостехиздат, 1950.

5.В у д в о р д Ф. М. Теория вероятностей и теория информации с примене­ ниями в радиолокации. М., «Сов. радио», 1955.

3

ДИСКРЕТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ

3.1. ПОДПРОСТРАНСТВА ИЗ L2 (Г)

Используя понятия, введенные в предыдущих главах, рассмотрим теперь задачу сопоставления произвольному сигналу с ограниченной энергией, т. е. временной функции (возможно, комплексной)

х 6 L2 (Т) ее численного представления.

48

Задача сводится к нахождению подходящего отображения прост­ ранства L2 (Т) в пространство Сп, причем я обычно выбирается ком­ промиссно, с учетом точности и экономичности представления. По­ скольку число измерений пространства L2 (Т) бесконечно, а Сп ко­ нечно, отображение должно быть типа «много в одно»; это подразуме­ вает такую степень приближения, при которой произвольный сигнал из L2 (Т) не может иметь представления в Сп, отличного от представ­ ления всех других сигналов. К таким отображениям естественно под­ ходить с позиций отношения эквивалентности. Мы разбиваем прост­

выполняется почти всюду в том и только в том случае, если at = О при всех i. Обозначим через М п линейное подпространство, натянутое на эти функции. Если рассматриваемый сигнал принадлежит М п, то он может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации {фг}:

то согласно (2.43) отношение между х и а может быть выражено в мат­ ричной форме:

где р = {(х, фг); i = l , 2,..., я}.

Применяя другую запись, введем в Мп взаимные базисные функции {0г; i = 1, 2,..., я}, которые могут быть представлены в виде линейной комбинации {фг};

49

В обоих случаях, однако, необходимо вычислять обратные матрицы.

Упражнение 3.1. Показать, что представление х £ М п, определяемое согласно (3.2) и (3.4), единственно вследствие линейной независимости безисных функций.

Сигналы, расположенные вне Мп (теорема проектирования)

Остается невыясненным, как находить представление сигналов, не принадлежащих Мп. Поскольку L2 (Т) — метрическое простран­ ство, представляется разумным поставить в соответствие произволь­

ному вектору х принадлежащий М п вектор х, наиболее близкий к х. В этом случае каждый вектор из Мп порождает множество эквивалент­ ности

при этом все векторы из S j имеют одно и тоже представление в виде набора п чисел, совпадающее с представлением вектора х. Оказывается,

50