книги из ГПНТБ / Френкс, Л. Теория сигналов

Положив а — — 1, b — + 1, имеем согласно рис. 2.3

1/2

4 (* т , хп) = \ \ \ x m{t)— xn{t)\2dt

Следовательно, последовательность функций {хх (/), х2 (/), ...} есть последовательность Коши, но в пределе она стремится к разрывной функции sign t = tl \t\. Этот противоречащий пример показывает, что пространство (С [Т], d2) — не полное.

Рис. 2.3. Последовательность Коши непрерывных функций.

Если на множестве С [Т] определена метрика (2.5 в), то последо­ вательность функций, показанная на рис. 2.3, не является последова­ тельностью Коши, так как

d3 (xm, хп) = sup {| xm(t)—xn (t) | ;

полное. Мы можем убедиться, что пространство (С [71, d3) полное,

для достаточно больших it и m. Но это означает, что \xm (t) — хп (t) | ■< < е для любого t £ Т. Следовательно, {хп (/)} — это последователь­ ность Коши в R для любого t и она сходится к пределу, который мы назовем х (/). Мы можем сказать, что \ хп (t) —х (/) | < е /3 , для доста­

31

состоит в том, что понятие непрерывности, обсуждавшееся выше, мо­ жет быть обобщено применительно к произвольному отображению

прерывности рассмотрим отображение пространства действительных функций времени в R, т. е. функционал. Для пространства функций

32

при

d2(x, х0) < 6 = ~ .

К

Таким образом, /ф есть непрерывный функционал.

Упражнение 2.4. Для иллюстрации того факта, что непрерывность нахо­ дится в прямой зависимости от вида метрического пространства, показать, что любое отображение пространства с метрикой примера 2.5 в любое другое метри­ ческое пространство — непрерывно.

Метрические пространства обладают двумя дополнительными свой­ ствами, полезными при анализе — сепарабельностью и компактно­ стью. Грубо говоря, эти свойства дают более глубокое понимание слож­ ности метрического пространства, содержащего бесконечное число элементов. Метрическое пространство {SO, d) сепарабельно, если для любого е > 0 можно найти счетную последовательность элементов множества SO, {хъ х2, ...}, таких, что d (х, х;) < е для некоторого i и любого х 6 SO. Метрическое пространство компактно, если можно най­

«больше» компактного, однако оно может быть покрыто счетным мно­ жеством сфер.

2.3. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Следующая ступень в усовершенствовании структуры пространства сигналов достигается при внесении достаточно простых алгебраических взаимосвязей между рассматриваемыми сигналами. Такие взаимо­ связи имеют место в линейных пространствах, определяемых следу­ ющим образом.

Линейное пространство — это множество элементов (называемых

х+ (—х) = 0.

Б. Имеется множество элементов (называемых скалярами), ко­ торые образуют поле, а также операция (называемая умножением

Читатель, знакомый с современной алгеброй, заметит, что свойства (2.15 а) являются определениями коммутативной группы относительно операции, обозначенной (+). Во второй части определения вводится другая операция, а связанные с ней отношения выражаются с помощью первой операции.

Полем является любое множество элементов, которые образуют коммутативную группу и по сложению, и по умножению; исключение составляет один элемент — нуль, не имеющий обратного по умноже­ нию [3].

Скалярное поле содержит, таким образом, два элемента, при ис­ пользовании которых в соответствующих операциях результат не из­ меняется. Это 0 — в операции сложения и 1 — в операции умножения.

Мы видим, что линейное пространство содержит два различных «нуля» для сложения: один для векторов (нулевой элемент) и другой для скаляров; оба называются «нулями». Символически эти «нули» отличаются тем, что нулевой вектор обозначается жирным шрифтом, а скалярный нуль — обычным.

Для простоты понимания можно отождествить поле скаляров или с множеством действительных чисел R или с множеством комплексных чисел С.

Однако обычно в приложениях теории сигналов (особенно в тео­ рии кодирования) рассматриваются линейные пространства с конеч­ ными полями скаляров. Например, бинарное множество {0, 1} с обыч­ ными двоичными арифметическими операциями образует конечное поле; линейные пространства над этим полем широко применяются в теории связи.

Если в качестве скаляров взять действительные числа, то линей­ ное пространство называется действительным линейным пространст­ вом. Если же взять комплексные числа, мы получаем комплексное ли­ нейное пространство.

Вектор, образованный суммированием нескольких векторов со скалярными коэффициентами, называется линейной комбинацией

Легко видеть, что множество всех линейных комбинаций векторов {х1; х2, ..., хп} образует линейное пространство. Далее, если взять подмножество (х1; х2, ..., хт } множества {х1( х2, ..., х„}, где т < п, то множество линейных комбинаций векторов подмножества образует линейное пространство, являющееся подпространством исходного ли­ нейного пространства, образованного линейными комбинациями пер-

34

справедливо только при всех а г, равных нулю. Другими словами,

влинейно независимом множестве вектор не может быть представлен

ввиде линейной комбинации других векторов множества. Пусть М — это пространство линейных комбинаций п линейно независимых век­ торов (х;; г ~ 1,2 ...... п}. Каждый вектор в М соответствует един­ ственной линейной комбинации векторов {х,} — единственному мно­ жеству скалярных коэффициентов. М называется п-мерным линейным пространством. Множество {хг} называется базисом для М; говорят, что М натянуто на этом базисе. Любое множество п линейно незави­

симых векторов в М может служить его базисом; таким образом, ли­ нейное пространство имеет не один базис.

Воспользуемся двумя примерами, чтобы уточнить представление о линейных пространствах, применяемых в теории сигналов.

Пример 2.8. Множество упорядоченных последовательностей из п чисел (n-мерных вектор-строк) в Rn или Сп образует n-мерное линейное

где п линейно независимых векторов {ег,} задаются следующим образом:

Представление конечномерных векторов

Пусть М — произвольное n-мерное линейное пространство с бази­

имеется взаимно-однозначное соответствие между произвольными век­ торами в пространстве М и пространством «-мерных вектор-строк, а пространства Rn или Сп могут служить моделями любого действи­

представление не имеет смысла само по себе, оно обязательно должно быть отнесено к конкретному базису. Различные наборы из п чисел могут представлять один и тот же вектор х по отношению к различным базисам.

Пример 2.9. Множество действительных или комплексных функций

и умножения на скаляр определены в каждой точке следующим об­ разом:

бесконечномерны. Этот факт нетрудно установить, если построить бес­ конечную последовательность функций в данном пространстве, любое конечное число которых линейно независимо. Задача отображения сигналов, заданных в обычном, естественном виде, в наиболее удобные конечномерные функциональные пространства рассмотрена в гл. 3.

Упражнение 2.5. Показать, что подпространство функционального прост­ ранства, определенное как {х; х (0) = 0}, само является линейным простран­ ством.

Упражнение 2.6. Показать, что С [Т], рассмотренное в примере 2.6, яв­ ляется линейным пространством.

2.4. НОРМИРОВАННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Теперь объединим геометрические свойства, характерные для мет­ рических пространств, и алгебраические свойства, выявленные в ли­ нейных пространствах. Это достигается путем определения действи­ тельного числа, характеризующего «размер» элемента в линейном про­ странстве. Такое число называется нормой вектора (обозначается [[ х ||) и может быть определено с помощью любого отображения линейного пространства в действительную ось, удовлетворяющего следующим требованиям:

36

в) IахI= | а 11 х|].

С учетом этих свойств легко показать, что

есть метрика, удовлетворяющая условиям (2.1); такая метрика исполь­ зуется в нормированном линейном пространстве, если мы хотим, чтобы оно было метрическим. Заметим, что норма вектора равна расстоянию точки от начала координат. Нормированное линейное пространство, являющееся полным метрическим пространством, называется банахо­ вым пространством.

Во всех примерах § 2.1, за исключением примера 2.5, можно счи­ тать, что метрики получены через нормы. Например, мы можем опре­ делить норму для Rn или Сп соотношением

а для действительных или комплексных функций времени, определен­ ных на Т, — соотношением

Именно такое определение нормы мы выбрали для представления сигналов в силу простоты физической интерпретации квадрата нормы как энергии сигнала (1.5), а также потому, что эта норма естественным образом возникает в более сложных линейных пространствах, ис­ пользуемых в последующих параграфах. Множество функций, для ко­ торых норма (2.27) ограничена, называется пространством L2, обозна­ чаемым L2 (Т)*). Началом координат в этом пространстве является функция, равная нулю почти всюду на интервале Т.

Упражнение 2.7. Показать, что отображение f : SC -> R, определяемое выражением ^ (х) = || х |[ , является непрерывным.

2.5. ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ

Последним шагом в усовершенствовании структуры пространства сигналов является введение дополнительной геометрической харак­ теристики — скалярного произведения двух векторов. Мы рассмотрим здесь комплексные линейные пространства; действительные простран­ ства являются их частными случаями. Скалярное произведение —

*> Здесь мы вводим более удобное обозначение для временных интервалов. Удобно записывать их так:

Соответственно, различные виды функциональных пространств L2 будем обозна­ чать: L2 (—оо, ос), L2 [0, со], L2 [—1, +1] и т. д.

37

это отображение упорядоченных пар векторов линейного пространства в комплексную плоскость С. Это отображение обозначается (х, у) и удовлетворяет следующим условиям*);

иногда также внутренним произведением. Важным следствием из ука­ занного определения скалярного произведения является то, что ве­ личина

есть норма в линейном пространстве. Действительно, легко видеть, что условия а) и в) в (2.24) удовлетворяются. Условие б),т. е. неравен­ ство треугольника, требует доказательства. Сначала докажем очень важное соотношение, известное как неравенство Шварца:

из которого следует (2.30). Заметим, что (2.30) обращается в равенство, если х = ау для некоторого а. Теперь, используя равенство ||х ||2 — = (х, х), докажем неравенство треугольника;

|x + y f = (x + y, х + у) = (х, х) + (х, у) +

и определение (2.29) удовлетворяет условиям для нормы.

Таким образом, скалярное произведение порождает норму, ко­ торая в свою очередь согласно (2.25) порождает метрику. Следователь­ но, пространство со скалярным произведением становится метрическим пространством, если ввести указанную частную метрику. Пространство со скалярным произведением, если оно является также полным (как метрическое), называется гильбертовым пространством.

> Звездочка обозначает комплексно-сопряженную величину.

38

Иногда полезно трактовать скалярное произведение как некую меру угла между векторами. Поскольку неравенство Шварца можно переписать в виде

мы можем определить угол 0 между векторами х и у соотношением

Но в теоретических исследованиях мы будем пользоваться только понятием ортогональности векторов. Два вектора х и у ортогональны тогда и только тогда, когда (х, у) — 0. При попытке применить опре­ деление (2.35) к комплексным пространствам возникают некоторые

Re (х, у) на | (х, у )|, мы не сможем получить углов во втором и третьем квадрантах.

Для рассмотренных ранее пространств, в которых задано скаляр­

II х + У ll2 + II х —у ||2 = 2 1 х |Р+ 2 1| у ||2.

Упражнение 2.10 Показать, что скалярное произведение в комплексном пространстве удовлетворяет поляризационному тождеству:

4 (х, у)Н | х+ уIP—II х — у ||2 + / 1| х + /у ||2 —/1 х —/у I2.

Упражнение 2.11. Пусть 37 — банахово пространство, в котором норма удовлетворяет равенству параллелограмма. Определить скалярное произведе­ ние согласно поляризационному тождеству. Показать, что это действительно скалярное произведение, и, следовательно, 37 ■— гильбертово пространство.

Упражнение 2.12. Привести пример нормированного линейного простран­ ства, в котором норма не удовлетворяет равенству параллелограмма.

Пример 2.10. Сечение функции неопределенности вдоль оси вре­ мени. Важный пример применения скалярного произведения связан со свойствами сигналов ограниченной энергии. Если сигнал быстро из­ меняется во времени, можно ожидать, что сравнительно малые временнйе сдвиги должны приводить к значительным смещениям изо­ бражающей точки в подходящем пространстве сигналов, скажем в L2 ( — с», сю). С другой стороны, для медленно меняющихся сигналов

39

малые смещения во времени не приводят к существенным изменениям, и изображающая точка в пространстве сдвигается незначительно. Обозначим через хх сдвинутый на время т сигнал х, т. е. хх (t)=x (Д|-т). Тогда имеем:

d2(х, хх) = ||х —xTf = (x—хх, х —хт) =

= (х, х) + (хтхх)—(хт, х)—(х, xx) = | x f + ||хх||2 —2Re(x, хт). (2.38)

Энергия сигнала не зависит от сдвига во времени ЦхЦ2 = ||хх||2, сле­ довательно

Рис. 2.4. Два сигнала, имеющие почти одинаковую временную функцию неопределенности.

где обозначено

Таким образом, каждомушигналу х соответствует действительная функ­ ция от временного сдвига, которая характеризует смещение изобра­ жающей точки в пространстве сигналов, обусловленное таким сдвигом. Для быстро изменяющихся сигналов следует ожидать, что гх (т) резко уменьшается с увеличением т. В случае короткого импульса гх (т), очевидно, узкая, но, как ясно из рис. 2.4, и сигналу большой длитель­ ности может соответствовать узкая гх (т). Во многих случаях, например в радиолокации, желательно использовать сигналы с узкой гх (т), поскольку это позволяет измерить время прихода сигнала с высокой точностью [5]. Соответственно, будем называть гх (т) сечением функции неопределенности вдоль оси времени. Малой неопределенности соответ­ ствует большое расстояние (2.39). По аналогии с подобной характе­ ристикой случайных процессов функцию гх (т) часто называют также

40