книги из ГПНТБ / Френкс, Л. Теория сигналов

Отображение задается следующим образом:

со

Строго говоря, это отображение не взаимно-однозначное. Могут су­ ществовать две или более функций времени, таких, как показано на рис. 1.10, для которых преобразование Фурье одинаково.

Рис. 1.10. Две функции времени, имеющие одно и то же преобразование Фурье.

Ясно, что f — это отображение «многих в одно». Множество эк­ вивалентности, определяемое преобразованием f , содержит функции времени, отличающиеся лишь на конечном множестве точек в любом интервале времени. Такие разрывные сигналы не имеют практического значения, и мы вправе рассматривать каждое множество эквивалент­ ности как один сигнал. Зца эквивалентность означает равенство почти всюду, и мы не будем различать сигналы и соответствующие им мно­ жества эквивалентности, определяемые равенством «почти всюду».

Упражнение 1.4. Показать, что для любого отображения f, соотношение (1.27) действительно описывает отношение эквивалентности, причем множества эквивалентности задаются в виде

S* = W, f,(y) = I Ml-

Упражнение 1.5. Рассмотреть множества эквивалентности, соответствую­ щие отображению F, задаваемому как F (х) = | X (/)|2. Показать на частных примерах, что в противоположность отображению FF (1.28) элементы множества эквивалентности могут быть существенно различными.

21

Указание: X (/) и X (/)e,0<f> — это преобразования Фурье элементов из одного множества эквивалентности, причем 0 (/) — произвольная фаза.

j X*(f)dt= J \X(f)\*df.

Функционалы

Преобразование достаточно общих множеств сигналов в числовые значения особенно важно потому, что физические измерения сигналов дают некоторые их числовые характеристики. Отображение произ­ вольного множества в множество чисел часто называют функцией*'’.

Интерполирующий импульс

Приближенное представление произвольного сигнала суммой

интерполирующих импульсов

Рис. 1.11, Разложение сигнала по смещенным во времени базисным функ­ циям.

Но в наших приложениях’ исходными элементами часто являются функции в обычном смысле (т. е. отображения одного множества чисел в другое множество чисел, например: функции времени, функции ча­ стоты и т. д.). Во избежание недоразумений мы будем, как принято, называть отображения множества обычных функций в числовые зна­ чения функционалами. Таким образом, под функционалом понимают «функцию от функции».

Здесь нужно уточнить, что мы понимаем под числами. Разумно было бы использовать только множество действительных чисел R\ однако для удобства анализа мы расширяем это множество, включив в него множество комплексных чисел С, хотя это не имеет прямой связи с физическими измерениями. Мы возвратимся к «реальному», заметив, что каждому комплексному числу могут быть сопоставлены два вещественных числа. Имея это в виду, приведем несколько типич­ ных функционалов:

*> Некоторые авторы используют термины «отображение» и «функция» как синонимы, но общепринято называть функциями только отображения, опи­ санные выше,

гг

статочно мало), то при подходящем интерполирующем импульсе ошиб­ ка интерполяции рядом на участках между отсчетами получается до­ пустимой.

Значительно более сильное утверждение справедливо для сигналов с ограниченной полосой, т. е. принадлежащих множеству S^IE) (1.7). Согласно известной теореме отсчетов*' [1.2] для любого х 6 SB (W) и любого t мы имеем

с частотой Найквиста. В этом случае сигнал имеет единственное и точ­ ное представление рядом с интерполирующим импульсом, указанным в (1.34).

Другим хорошо известным способом представления сигналов ря­ дом, пригодным для периодических сигналов и сигналов_конечной дли­ тельности, является разложение в ряд Фурье. Еслих£ So (Т) см. (1.6), то мы имеем**'

где коэффициенты разложения определяются функционалами

Т_. 2 я mt

fm(x) = cm = -~^ jx ( / ) e 1 т dt; m = 0, ± 1 , ± 2 , . . . (1.36)

—т

Дуальность времени и частоты

В качестве последнего замечания об отображениях и функционалах напомним о взаимно-однозначном соответствии множества функций с интегрируемым квадратом и их преобразований Фурье; отметим так­ же существенно симметричную природу прямого и обратного преобра­ зования Фурье. Вследствие этого, каждому отношению временных функций соответствует дуальное отношение для их Фурье-преобразо-

*> В советской литературе она обычно называется теоремой Котельникова.—

Прим. ред.

24

ваний. Это свойство частотно-временной дуальности [5], проявляемое функциями времени и их преобразованиями Фурье, часто используется в теории сигналов; в последующих главах будут даны примеры. При решении любой задачи из теории сигналов мы всегда получаем также

решение дуальной задачи, которая может иметь или не иметь практи­ ческого значения.

Простой пример результатов, получаемых таким образом, дает рассмотрение разложения сигнала во временной ряд и ряд Фурье. Из (1.35) и (1.36) мы получаем дуальное соотношение

Упражнение 1.7. Рассмотреть различные возможности интерпретации выражения «приблизительно равно» (s;) как отношения эквивалентности. Ис­ пользовано ли очевидное отношение эквивалентности в (1.31)? Если да, то опи­ шите соответствующее множество эквивалентности.

Упражнение 1.8. Найти преобразоване Фурье от

/

Упражнение 1.9. Используя теорему отсчетов (1.34), показать, что сигна­ лы из множества периодических сигналов с ограниченной полосой можно точно представить конечным множеством функционалов. В частности, если Т — период х (t), и х (t) не содержит частот выше W = N/T, то

где

sin (2N + 1) (nt/T)

(2Л/ + 1) sin (nt/T)

Указание. Рассматривая разложение х (t) во временной ряд и в ряд Фурье, мы имеем:

25

ные сигналы в бесконечную последовательность вещественных чисел согласно правилу:

f(x) = x (In); k = 0, ±1, ±2, ....

Известно полезное соотношение, содержащее преобразование Фурье пары элементов из множества эквивалентности, получаемого с помощью этого отобра­ жения. Показать, что если х и у — элементы одного множества эквивалентно­ сти, т. е. если у них равны отсчетные значения, то

, \ т / т = — оо \ т /

2

ПР®СТРАНСТВА СИГНАЛОВ

2.1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

Объединив сигналы, обладающие некоторым общим свойством, в одно множество, мы, естественно, начинаем интересоваться отличи­ тельными свойствами отдельных элементов этого множества. Конкрет­ ные сигналы представляют интерес лишь в их отношении с другими сиг­ налами множества. Например, мы можем интересоваться энергией, дли­ тельностью, частотой изменения, числом пересечений нулевого уровня,

26

максимальной амплитудой, и т. д. данного сигнала по сравнению с другими.

Общий подход, который и интуитивно кажется подходящим, для обозначения различия между двумя элементами множества состоит в том, что каждой паре элементов ставится в соответствие действитель­ ное положительное число, которое трактуется как расстояние между элементами, при этом само множество приобретает геометрические свойства. Множество с подходящим образом определенным расстоя­ нием представляет собой пространство сигналов.

Для определения расстояния необходим функционал, который ото­ бражает все пары элементов множества на действительную ось. Такой функционал d: (х, у} -> R называется метрикой, если он обладает

Эти требования являются просто формализацией свойств, инту­ итивно связываемых с расстоянием: а) расстояние — это неотрицатель­ ная величина, б) расстояние от х до у равно расстоянию от у до х, в) длина одной стороны треугольника не может превосходить сумму длин двух других (здесь мы геометрически представляем элементы х, у и z как вершины треугольника).

Множество ЗС с метрикой d называется метрическим. пространст­ вом {ЗС, d). Следует заметить, что две разные метрики, определенные на одном и том же множестве элементов, образуют разные метрические пространства.

Пример 2.1. Действительная ось R, включающая множество всех действительных чисел, есть метрическое пространство с метрикой

Это обычная метрика на R. Полезно представлять себе другие метри­ ческие пространства как обобщение этого знакомого примера.

Пример 2.2. На базе множества Rn упорядоченных последователь­ ностей п действительных чисел (вектор-строк из п чисел) можно обра­

Эти метрики могут быть использованы и на множестве Сп после­ довательностей комплексных п чисел; при этом модуль комплексного числа выражается как корень квадратный из суммы квадратов дей-

27

ствительной и мнимой частей, т. е. если а = а + jb, то |а | = (а2 + + Ь2)'1к Все определения также могут быть распространены на беско­ нечные последовательности; тогда задаются метрики на R°° и С°°. В этом случае в метрике (2.3 в) maximum заменяется на supremum —

Метрика (2.36) соответствует обычному пониманию расстояния в трех­ мерном пространстве и называется евклидовой метрикой.

Пример 2.3. В системах связи, в которых информация передается в виде двоичных символов (0 или 1), сообщение обычно является не­ которой последовательностью кодовых слов фиксированной длины, скажем, n-значных. Кодовые слова—это наборы п чисел, принимающих значение 0 или 1. Из множества 2п различных слов может быть обра­ зовано метрическое пространство путем задания расстояния между любой парой слов, равного числу несовпадающих символов. Это эк­ вивалентно суммированию по модулю 2 символов во всех позициях

и употребляется для изучения кодов с обнаружением ошибок и коррек­ тирующих кодов [1, 2]. Пример кода с обнаружением ошибок показан на рис. 2.1, где даны восемь кодовых слов, выбранных из шестнадцати возможных таким образом, чтобы минимальное расстояние между лю-

28

бой парой слов было равно 2. Это достигается путем добавления к трем информационным разрядам разряда проверки на четность, так чтобы каждое слово содержало четное число единиц. Поскольку минимальное расстояние между словами равно 2, появление ошибки в одном раз­ ряде может быть обнаружено.

Добавив еще разряды проверки на четность, получим множество кодовых слов с минимальным расстоянием, равным 3. В этом случае получается корректирующий код, так как появление одной ошибки при передаче приводит к получению кода, который ближе к правиль­ ному коду, чем ко всем остальным. Пример семиразрядного кода, име­ ющего четыре информационных разряда и три разряда проверки на четность, приведен на рис. 2.2.

Пример 2.4. Для произвольного множества действительных или комплексных функций времени, заданных на определенном интервале

Для метрик d-L и d2 характерна известная трудность. Если х и у отличаются только в одной точке, например в точке t0, то х (t0) Ф Ф у (to), to 6 Т, но d (х, у) = 0 (см. рис. 1.10). Мы преодолеем эту труд­ ность, если будем трактовать функции, отличающиеся лишь на счетном множестве точек интервала Т, как одну точку метрического простран­ ства. В этом случае мы говорим, что х н у равны почти всюду.

Пример 2.5. Для произвольного множества SC метрика может быть определена с помощью функции d, такой, что

Хотя эта метрика тривиальна, она иногда полезна для доказательства общих теорем и для построения противоречащих примеров (поскольку она применима к любому множеству).

метрикой [3]. Псевдометрика отличается от метрики только тем, что расстояние может быть равно нулю для х ф у . Показать, что в ЗС имет место отношение эквивалентности, обусловленное равенством нулю псевдометрики:

X ~ у ==>- d (х, у) = 0.

Показать, что множество множеств эквивалентности, порождаемых этим отно­ шением эквивалентности, можно преобразовать в метрическое пространство. Объяснить смысл отношения «равны почти всюду».

29

Упражнение 2.2. Пусть f, : х -> R — произвольный функционал, опреде­ ленный на 90. Показать, что

2.2.СХОДИМОСТЬ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ

Взадачах анализа мы часто имеем дело с бесконечными последо­ вательностями элементов {хг, х2, х 3, ...}, выбранными из некоторого множества 30. Понятие расстояния в метрическом пространстве поз­ воляет анализировать важное свойство последовательностей, назы­ ваемое сходимостью.

Интуитивно ясно, что соседние точки в сходящейся последователь­ ности в конце концов становятся все ближе и ближе друг к другу с уве­ личением п. Любая последовательность, обладающая этим свойством,

=>- d (хт, хп) < е, то последовательность называется последователь­ ностью Коши. Из неравенства треугольника

d (*п. х т) < d {хп, х) + d {х, хт)

следует, что сходящаяся последовательность является последователь­ ностью Коши. С другой стороны, последовательность Коши может не быть сходящейся просто потому, что элемент х, к которому в пределе стремится последовательность, может не принадлежать множеству 30. Пример последовательности, имеющей предел, лежащий за пределами множества, приведен ниже. Некоторые метрические пространства об­ ладают удобным свойством, состоящим в том, что в них все последова­ тельности Коши являются сходящимися. Такие метрические простран­ ства называются полными.

Пример 2.6. Пусть С [Т] — множество непрерывных действитель­ ных функций времени, определенных на интервале Т = {/; ^ Ь), и пусть на этом множестве определена метрика вида (2.5 б).

Можно показать путем построения несходящейся последовательности Коши (рис. 2.3), что такое метрическое пространство — не полное.

30