книги из ГПНТБ / Френкс, Л. Теория сигналов

Заметим, что издавна существует двусмысленность в трактовке символа х (t). Строго говоря, х (t) — это просто величина, равная значению функции в момент времени t. Однако обычно мы обозна­ чаем через х (t) также саму функцию, т. е. правило, по которому каж­ дому значению t ставится в соответствие величина х. Когда это не может привести к недоразумениям, мы будём применять обозначения х или х (t) для функции в обоих смыслах. Некоторые авторы пред­

почитают употреблять обозначение х (•) для функции, чтобы отличать ее от значения л; (t).

Люди привыкли к графическому представлению сигналов и соз­ дали для такого их изображения разнообразные осциллографические приборы. Имея достаточный навык, человек может успешно из­

влекать информацию из радиолокационной картинки, сейсмограммы, кардиограммы и т. д. Но способ анализа сигналов человеком — это область, достаточно «таинственная», не алгоритмируемая и не подда­ ющаяся ни количественному анализу, ни автоматизации. Для проек­ тировщика автоматической системы обработки графическое пред­ ставление сигнала непригодно просто потому, что оно состоит из слиш­ ком большого числа точек. Представление же сигнала в виде отдель­ ных точек графика, т. е. набора значений л: в равноотстоящие моменты времени—это лишь один из простых способов представления сигналов, которые будут обсуждаться ниже.

1.2. МНОЖЕСТВА СИГНАЛОВ

При графическом представлении сигналы изображаются сложной совокупностью точек, кривой, в простой области —в двумерном про­ странстве. В отличие от этого мы введем далее более сложные прост­ ранства — пространства сигналов, в которых каждый сигнал изо­ бражается простейшим элементом—точкой [1]. В качестве первого шага в этом направлении рассмотрим сигнал как элемент множества S. Само множество определяется некоторым свойством Р, которое есть утверж­ дение, справедливое для любого элемента множества. Условно это изображается так: S = {х; Р}, т. е. 5 есть множество всех х, для которых справедливо Р. Вводя дополнительное обозначение, можно записать Р =ф- х £ S, что означает: «Р верно для х, принадлежащего S». Определив своцстро Р, мы задаем тем самым множество сигналов.

11

Обычно проще иметь дело со сравнительно «узким» множеством, ограниченным жестким условием. Конечно, когда ограничение слиш­ ком жестко, множество содержит мало полезных сигналов. Выбор свойства Р — это сложная задача. Приведем несколько примеров, с которыми часто имеют дело в теории сигналов..

Утверждение а, 0, / £ R в (1.1) означает, что эти параметры могут произвольно выбираться из множества всех действительных чисел R. Поэтому S c содержит гармонические колебания со всевозможными амплитудами, фазами и частотами.

Часто свойство Р для конкретного множества можно указать в другой форме, например

Периодические сигналы. Мы будем обозначать через Sr (Т) мно­ жество периодических сигналов с периодом Т, т. е.

Sr (Т) = {х; x(t + Т) = х (/), — оо < t < оо}.

(1.3)

Ограниченные сигналы. Множество сигналов, мгновенные значе­ ния которых ограничены по величине некоторым вещественным поло­

говорят, что их энергия ограничена величиной К, где К — положи­ тельное вещественное число. Интеграл в (1.5) физически трактуют как энергию, подразумевая, что х (t) есть напряжение на нагрузоч­ ном сопротивлении 1 ом. Интеграл по времени от квадрата этого на­ пряжения есть полная энергия, выделяющаяся на нагрузке.

Сигналы ограниченной длительности. Пусть Sd(T )— это мно­ жество сигналов, которые равны нулю за пределами интервала вре­ мени — Т <C t ^ T \

12

Сигналы с ограниченной полосой. Пусть Sb (W) — это множество сигналов с полосой, ограниченной некоторой частотой W, т. е.

X(f) = J x(t)e~i2nf‘ dt = 0 для всех | / | > 1 Й , (1.7) где X(j) есть преобразование Фурье** от функции времени x(t).

Операции над множествами

Имея дело с множествами сигналов, полезно применять две эле­ ментарные операции теории множеств: объединение, определяемое как

Рис. 1.3. Графическое представление объединения и пересечения двух множеств.

не может быть одновременно ограничен и по времени, и по полосе. Это ясно из того, что интеграл

т

j x (t)z - i2slUdt

—т

может равняться нулю только в отдельных точках / (кроме случая, когда х (0 = 0 для всех |^| ^ Т). Следовательно,

Это может показаться тривиальным, но важно отличать множество {0} от пустого множества Q, которое не содержит каких-либо эле­ ментов, в то время как множество {0} содержит один нулевой элемент.

Упражнение 1.1. Рассмотреть счетное множество сигналов

5Л = {*п (0; п~1, 2, 3,...),

*> Мы будем, как часто делают, обозначать большой буквой преобразование Фурье от функции времени, обозначаемой соответствующей малой буквой.

13

где

( ne~nt для t^> О,

*п ^ [ О для t < О,

и указать сигналы из 5^, принадлежащие множеству 5, такому, что

s = s ^ n s M(io )n s £ (4).

Упражнение 1.2. Описать множество сигналов, которое является пересе­ чением SR (Т) и SE (К).

Разбиение и отношение эквивалентности

ности, и часто это наиболее подхо­ дящий способ получения разбие­ ния. Мы говорим,1"что два элемен­ та эквивалентны, х ~ у, если от­

ношение эквивалентности ~ определено для всех пар элементов и удовлетворяет следующим свойствам:

Каждое отношение эквивалентности естественным образом по­ рождает разбиение множества на ряд подножеств S x, называемых

множествами эквивалентности, причем S x включает все элементы,

эквивалентные х:

шение эквивалентности, так что эти две концепции приводят к одному

итому же объединению в непересекающиеся подмножества элементов,

внекотором смысле эквивалентных друг другу.

14

Упражнение 1.3. Показать, что произвольное разбиение (1.11) порождает отношение эквивалентности; т. е. х ~ у в том и только в том случае, если х и у содержатся в одном подмножестве, удовлетворяющем (1.12), так что отношение эквивалентности в нем имеет место. Обратно, показать, что произвольное отноше­ ние эквивалентности (1.12) порождает разбиение, т. е. различные непересекающиеся подмножества, определяемые как Sx = {у, у ~ х}, причем их объеди­ нение есть исходное множество согласно (1.11).

Пример 1.2. Равенство — это отношение эквивалентности, но мно­ жества эквивалентности в этом случае содержат только отдельные элементы.

Пример 1.3. Взяв пример, известный из теории чисел, рассмотрим разбиение множества всех целых чисел {п; п = 0, ± 1 , ± 2 , ...} на ко­ нечное число т множеств эквивалентности:

где р — любое число. Соответствующее отношение эквивалентности*!

% ~ п 2 => пг — п2 = pm => n1= n 2(1^od т)

называется конгруентностью (сравнимостью) по модулю т. Так, на­ пример, разбиение множества всех целых чисел на подмножества, конгруентные по модулю 2, приводит к разбиению на четные и нечетные числа.

задает разбиение всех относительных сигналов на два подмножества эквивалентности

>(5= может быть прочитано как «порождается»,

15

Это разбиение широко используется в двоичных системах передачи сигналов, причем одно значение двоичной величины соответствует всем сигналам из S+, а другое — всем сигналам из S_.

На рис. 1.5 приведен типичный пример. Хотя передаваемые сигна­ лы могут быть только двух типов, в множество принимаемых сигналов входят сигналы, разнообразные по форме из-за шума и других помех, вносимых в канал передачи. Наблюдатель судит о том, какой сигнал из разбиения (1.15) был передан по сигналу на выходе ограничителя. Не имеет значения, к какому из множеств S+ или отнести сигналы из подмножества 5ft, так как вероятность их появления при приеме ничтожна.

Приемник

Умножитель

Рис. 1.6. Двоичная система передачи сигналов, использующая опорный сиг­ нал при приеме.

Пример 1.5. Другой тип устройства для приема двоичных сигналов, обладающий большей помехоустойчивостью, использует опорный сиг­ нал ср для разбиения принятых сигналов на два подмножества. Разби­ ение на подмножества Sx и S 2, соответствующее принятию решения о том, какой из сигналов, хг или х2, был передан, выполняется на при­ нятых сигналах у по условию

где г — наперед заданный порог. Приемное устройство в этом случае содержит: умножитель, интегратор, прерыватель и пороговое устрой­ ство, как показано на рис. 1.6. Вопросы оптимизации опорного сигна­ ла и величины порога подробно обсуждаются в гл. 10.

Пример1.6. Еще одна возможность различения сигналов состоит в подсчете числа пересечений нулевого уровня за определенный проме­ жуток времени. Мы задаем разбиение

16

Теперь М есть множество функций, определяемых условием

оо

Каждое из полученных таким образом множеств эквивалентности мо­

жет быть задано через свой представительный элемент х, в том смысле, что

ным условиям, мы получаем взаимно-однозначное соответствие между

купность множеств эквивалентности получает представление через множество «-мерных вектор-строк, относящихся, как мы увидим далее, к «-мерному векторному пространству. Этот пример имеет фундамен­ тальное значение для дальнейшего. Он приводит к часто исполь­ зуемому способу представления сигналов, имеющему простую матема­ тическую форму. Будучи весьма важным, этот способ требует глубо­ кого понимания метрических и линейных пространств, которые мы изучим в последующих главах.

1.3.ОТОБРАЖЕНИЯ И ФУНКЦИОНАЛЫ

Впредыдущем параграфе мы ввели с помощью отношений экви­ валентности непересекающиеся множества для описания свойств сигна­ лов. Другой возможный и существенно более общий способ установле­ ния отношения между элементами состоит в отображении элементов

одного множества на элементы другого множества. Отображение — это правило, по которому элементам одного множества, скажем ставятся в соответствие элементы другого множества, скажем S2. Символически отображение обозначается как /: S1- * S 2, что является компактной формой следующего выражения:

Элемент у в 5 2 называется образом х при отображении f. Множество является областью определения отображения, а входящее в S2 мно­ жество всех образов элементов из Sx является областью изображений. Если область изображений / совпадает с S2, то говорят, что f есть отоб­ ражение на S2. Если же в S 2 содержатся элементы, которые не явля­ ются изображениями элементов Sb то говорят об отображении в S 2. Отображение всегда однозначно в том смысле, что для каждого элемента Si существует только один образ (по определению). Если различным

18

элементам из Sx соответствуют различные изображения в S2, то ото­ бражение взаимно-однозначно. Если отображение/взаимно-однозначно и является отображением типа на, то можно говорить об отображении S2 на Slf / -1: S 2->■ 5 Х, где /- 1 — обратное бтобр^жеяйе'. В этом слу­ чае существует взаимно-однозначное соответствие между элементами из Si и S 2.

Часто удобно применять составные отображения, которые полу­ чаются в результате двух или нескольких последовательных отобра­

Рис. 1.8. Составное отображение, состоящее из двух отображений.

Чтобы проиллюстрировать идею составного отображения, предста­ вим преобразование, производимое устройством примера 1.4, в виде двух отображений:

1) отображение множества S = {х; х (t0) ф 0}, задаваемого отно­ шением эквивалентности (1.15),

h : S ^ { S +, S_},

Здесь мы использовали тот факт, что отношение эквивалентности (1.12) можно интерпретировать как преобразование (в общем случае, не взаимно-однозначное) элементов в их множества эквивалентности

19

(1.13). Другими словами, любое отношение эквивалентности может быть выражено как отображение /Д,, такое, что

Вероятно, более интересен тот факт, что любое отображение порождает отношение эквивалентности. Для произвольного отображения / :

S 2 имеет место отношение эквивалентности

Рис. 1.9. Отображение сигналов в действительные числа.

Тогда мы имеем отображение множества сигналов на действительную положительную полуось в соответствии с их энергией, как показано на рис. 1.9. Отношение эквивалентности, соответствующее f, разби­ вает на подмножества сигналов с равной энергией.

Преобразование Фурье

Преобразование Фурье является отображением, широко применяе­ мым в теории сигналов. Если — множество сигналов с ограничен­ ной энергией

*> Интегрируемость х2 (t) является достаточным, но не необходимым услови­ ем существования преобразования Фурье X (f) [2]

20