книги из ГПНТБ / Френкс, Л. Теория сигналов

Фильтрация случайных процессов

Наибольший интерес представляет случай, когда х и у связаны линейным преобразованием. Пусть стационарный в широком смысле процесс х пропускается через фильтр с постоянными параметрами,

Фи л ь т р

Спостоянными параметрами

y(t) =fb(i-d)x(&)t£6

b(t)

bax(T )= fh (z-6 )k J 6 )d 6

%y M =fh*(6-z)k^(6Jc(6

Рис. 7.2. Фильтрация стационарного в широком смысле процесса.

Мы получили интересный результат. Кросс-корреляционная функция процессов на входе и на выходе фильтра связана с автокорреляцион­ ной функцией входного процесса тем же линейным преобразованием свертки, которое преобразует сигналы на входе в сигналы на выходе. В свою очередь, автокорреляционная функция выходного процесса также связана с автокорреляционной функцией входного процесса интегралом свертки. Действительно,

кп (T)= £ [y (* + T)y*W] =

— OP

181

где Н (f) — частотная характеристика фильтра.

Спектральная плотность мощности

Преобразование Фурье от автокорреляционной функции имеет большое значение для характеристики частотных свойств стационар­ ных случайных процессов. Это преобразование Фурье называется

спектральной плотностью мощности процесса, так как оно определя­ ет долю общей мощности (среднего квадрата флюктуаций), связанную со спектральными компонентами в каждом интервале частот. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим фильтр того же типа, что на рис. 7.2, но физически нереализуемый, имеющий узкую полосу пропускания Af и среднюю частоту / (рис. 7.3)

Подсчитаем средний квадрат процесса на выходе фильтра. Используя соотношение

Подставляя (7.32) в (7.31) и (7.33), для достаточно узкой полосы на­ ходим

Итак, мы можем интерпретировать Кхх какфункцию'плотности, причем fz

I Кхх ('v)dv есть доля среднего квадрата процесса х, обусловленная ft

частотными компонентами между /у и /V Определенная таким образом функция плотности содержит компоненты как при положительных, так и при отрицательных частотах. В случае вещественных процессов kxx (т) действительна и четна, следовательно, Кхх (/) также действи-

182

тельна и четна, т. е. структура спектра одинакова для положительной и для отрицательной полуосей.

Теперь поясним, почему мы связываем плотность Кхх с мощно­ стью процесса х. Такая терминология удобна, но не всегда удачна. Во многих важных случаях можно принять, что стационарный про­ цесс обладает также свойством эргодичности. Эргодический процесс [2] — это такой стационарный процесс, для которого среднее по вре­ мени от квадрата любой реализации равно (с вероятностью 1) среднему квадрату процесса (при усреднении по ансамблю):

н м

1-

Рис. 7.3. Гипотетический фильтр для определения частотного состава стационарного процесса в узкой полосе вблизи f.

Выражение в левой части (7.35) представляет собой мощность детер­ минированного сигнала х (t, со). В большинстве задач, рассматривающих случайные процессы, предположение эргодичности не используется. Но важным исключением являются задачи, связанные с использова­ нием результатов измерения сигналов, ограниченных во времени, в качестве оценок спектральной плотности мощности [4]. Мы будем ши­ роко пользоваться термином «спектральная плотность мощности» при­ менительно к произвольному стационарному в широком смысле про­ цессу. Особым стацинарным процессом, часто используемым как при­ ближенная модель реального процесса, является белый шум, харак­ теризуемый постоянной спектральной плотностью мощности, т. е. Кхх (Ь — К0 (em/гц). Автокорреляционная функция этого процесса есть Кхх (т) = N08l(x). Поэтому различные отсчеты х (7,) и х (t2), сколь бы они ни были близкими во времени, некоррелированы. Заметим, что средний квадрат такого процесса бесконечен.,

Упражнение 7.1. Показать, что сечение функции неопределенности вдоль оси времени любого вещественного сигнала ограниченной энергии может быть автокорреляционной функцией вещественного случайного процесса с конечной дисперсией и нулевым средним.

183

Упражнение 7.2. Для стационарного в широком смысле процесса с конеч­ ным средним квадратом показать, что kxx (т) — непрерывная функция т.

Указание. Применить неравенство Шварца к скалярному произведению

kxx (т) > 1/2 [kxx (0) + kxx (2т)] для I t | < HAW.

Упражнение 7.4. Предположим, что на входе линейного фильтра с посто­ янными параметрами, имеющего импульсную реакцию h (t), действует стацио­ нарный в широком смысле процесс. Показать, что средний квадрат выходного процесса есть квадратичный функционал от h (t). Написать соответствующий опе­ ратор и показать, что он самосопряжен и неотрицательно определен.

Упражнение 7.5. Для фильтра, представленного на рис. 7.2, показать,

что

цесс подвергается линейному преобразованию (не обязательно инвариантному во времени), характеризуемому импульсной реакцией h (t, s). Выразить автокор­ реляционную функцию сигнала на выходе и кросс-корреляционную функцию сигналов на входе и выходе как линейные преобразования входной автокорре­ ляционной функции kxx (т)-

Упражнение 7.7. При определении автокорреляционной функции комп­ лексного стационарного в широком смысле процесса мы могли бы принять

kxx W = Е [х (t) х* (t + т)].

Дать физическую интерпретацию преобразования Фурье от kxx (т)> поясняю­ щую необходимость определения автокорреляционной функции в виде (7.25).

7.5. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

В этом параграфе мы рассматриваем вопрос не только имеющий самостоятельное значение, но важный своими приложениями [5, 6]. Он в равной мере затрагивает обсуждаемые далее проблемы: 1) опти­ мизации, 2) проектирования на конечномерные подпространства из L2 (Т), 3) геометрических понятий (выражаемых через ожидания), связанных с пространством случайных величин, и 4) спектрального представления операторов.

Этот вопрос формулируется просто. Мы хотим найти оптималь­ ный п-мерный базис (в L2 (7)) для представления отдельных реализа­ ций случайного процесса, такой, что норма ошибки в L2 (Т), усреднен­ ная по ансамблю реализаций, минимальна. Мы покажем, что для ре­ шения этой задачи нужно лишь, чтобы автокорреляционная функция процесса была известна. Эвристически имеется близкая аналогия меж-

184

ду этой задачей и задачей, обсуждавшейся в § 6.8. Тогда мы искали оптимальный базис для класса сигналов, полученных в результате отображения пространства L2 (— оо, оо) компактным оператором. Теперь сигналы задаются своей автокорреляционной функцией. Для полноты аналогии можно считать, что эта функция задает процесс, полученный путем линейной фильтрации (с неизменными во времени параметрами) белого шума. Мы не требуем, чтобы оператор фильтра­ ции был компактным, требуется лишь, чтобы он был инвариантным во времени. Вместо этого мы получим компактное множество сигналов, рассматривая представления только для ограниченных интервалов времени. Причина такого ограничения связана с тем, что многие важ­ ные процессы (например, стационарные) имеют достаточно характер­ ные реализации, ограниченные по времени. Поэтому не имеет смысла проектировать эти реализации на конечномерные подпространства, состоящие из функций, определенных на всей оси времени.

Разложение Карунена — Лоэва

п-мерное представление для отдельной реализации хш имеет вид

Заметим, что^(еи, еа) и {аг }"случайны, это есть реализации соот­ ветствующих случайных величин, причем их статистические свойства зависят от выбора базиса {срг}. Мы попытаемся так выбрать п базисных функций {<рг}. чтобы математическое ожидание случайной величины

185

(г, г) было минимальным. Обозначим через / ф среднее значение квад­ рата нормы, т. е.

Изменив порядок усреднения и интегрирования, с учетом (7.38) по­ лучим

Максимизируемая величина (7.42) есть сумма квадратичных функцио­ налов. Условия максимума нетрудно выявить, если учесть, что ядром интегрального оператора А х.

является автокорреляционная функция процесса с конечным средним квадратом. Это позволяет сделать ряд заключений о свойствах опера­ тора. Легко видеть, что А х есть оператор: 1) типа Гильберта — Шмид­ та, 2) самосопряженный и 3) неотрицательно-определенный. Свойство 1 следует из квадратичной интегрируемости ядра (5.72), которая, в свою очередь, следует из того, что kxx (t, s) ограничена, а интервал интегрирования конечен. Свойство 2 следует из симметрии kxx (t, s) = = k*xx (s, t), соответствующей (5.95). Для доказательства свойства 3

емую последовательность. Они вещественны и неотрицательны. Мы можем расположить их в порядке убывания:

К > •••■ (7.44)

2.Ядро может быть представлено равномерно сходящимся рядо

186

3. Собственные функции могут быть ортонормированы так, что

Мы убедимся в этом, если будем почленно максимизировать выражение в левой части (7.47). Сначала найдем функцию tpx единичной нормы, которая обращает в максимум квадратичный функционал {Лхф, ф). Из (6.47) следует, что = фг. Далее найдем функцию ф2, также еди­ ничной нормы, такую, что она ортогональна к фх и тоже дает макси­ мум функционалу (Лхф, ф).Мы приходим к ф2 = ф2 и, продолжая этот

Резюмируя все предыдущее, можно заключить, что n-мерное под­ пространство в L2 (—Т, Т), оптимальное для представления реализа­ ций случайного процесса на инвервале | / 1^ 7\ натянуто на л собст­ венных функций уравнения

т

соответствующих л наибольшим собственным значениям Аг. Средний квадрат нормы ошибки есть сумма остальных собственных значений. Этот результат очень полезен, так как мы легко можем установить, сколь много можно выиграть, если добавить еще несколько членов раз­ ложения. Естественно, с увеличением Т собственные значения в об­ щем возрастают и нужно больше членов разложения, чтобы получить приемлемую точность [8].

Разложение случайного процесса, использующее оптимальный базис,

*(*)« 2 « X W; \t\< T , i= 1

называется разложением Карунена — Лоэва [3, 51. Коэффициенты этого разложения есть ортогональные случайные величины, поскольку

Е [ог а*] = £[(х, фг) (х, ф/)*] =

187

Если x —процесс с нулевым средним, то коэффициенты а г также име­ ют нулевые средние значения и они некоррелированы (линейно не­

зависимы).

Когда среднее значение процесса отлично от нуля, можно улучшить качество представления, не увеличивая числа членов, если добавить некоторое слагаемое р, (t) к разложению каждой реализации. Покажем, что мы выберем р (t) наилучшим образом, если просто добавим сред­

Здесь только два последних члена зависят от р (t). Из неравенства Бесселя (3.21) следует, что для любого р (/)

Ясно, что минимум /ф достигается при р (t) = х (t). Следовательно, если мы вычтем среднее значение процесса, оптимальный я-мерный ба­ зис будет образован собственными функциями (с наибольшими я соб­ ственными значениями). Этот базис соответствует автокорреляционной

функции процесса у = х —х, или, что эквивалентно, автоковариационной функции процесса х. В этом случае коэффициенты разложения Карунена — Лоэва имеют нулевые средние значения и некоррели­ рованы.

Что касается методов решения уравнения (7.50), то для стационар­ ных процессов, спектральные плотности которых есть рациональные функции, обычно используется обобщение дифференциального метода, примененного нами для решения уравнения (6.58). Такой метод

188

приводит к однородному дифференциальному уравнению с постоян­ ными коэффициентами, решение которого содержит некоторое число произвольных постоянных. Последние можно найти путем подстанов­ ки полученного решения в интегральное уравнение. Подробнее этот метод изложен в [9] и [10]. Методы решения для случаев некоторых «нерациональных» ядер имеются в [11].

Упражнение 7.8. Стационарный с нулевым средним белый шум, имеющий плотность N0 = 1/jt/o (вт/гц), фильтруется ДС-цепочкой с функцией передачи

1

Я(/) =

1+ ; ( Ш ‘

а) Показать, что профильтрованный процесс имеет единичную дисперсию. б) Показать, что математическое ожидание энергии для реализации про­

цесса в интервале \ t ] < Т равно 2Т.

в) Найти оптимальную систему базисных функций для я-мерного разло­ жения реализации процесса при \ t \ < Т.

г) Определить примерное число членов разложения, такое, что при ис­ пользовании оптимального базиса средний квадрат нормы ошибки Е (s, е) будет меньше 0,01 (2Т).

Указание. Покажите, что при больших я собственные значения уравне­ ния (7.50) в этом случае приближенно составляют

4f0T

^П+1 ; я/о

д) Для сравнения рассмотреть разложение по функциям типа прямоугол ных импульсов. Пусть я четно, а импульсы ортонормированны:

{?;; Фг(0 = ф V — ЯТ/п + Т), i = 1, 2, ..., я},

как показано на рисунке.

Сколько членов (по сравнению с оптимальным базисом) нужно взять, чтобы получить ту же среднюю точность?

Указание. Покажите, что в данном случае

2Т

о

и получите разложение последнего интеграла по степеням (f0T/ti), после чего используйте (7.41).

189

7.6.УЗКОПОЛОСНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Вэтом параграфе мы рассмотрим некоторые описания стационар­ ных узкополосных процессов, т. е. процессов, спектральная плотность мощности которых концентрируется около некоторой центральной ча­ стоты. Потребность в специальном рассмотрении таких процессов точ­ но такая же, как для детерминированных узкополосных сигналов, рас­ смотренных в § 4.4. Для случайных процессов мы также хотим вос­

средним. Тогда х также стационарный в широком смысле процесс с ну­

&ФФ(т) = Е [ф (t + т) ф* (*)] = £[{х (*+ т) + / х (t + т} {х (*)— /х (*)}] =

Каждую из корреляционных функций в (7.58) можно выразить через kxx (т). Например,

kx£ (т) = £ [х(Н-т)х(/)] =

Теперь, используя (4.24а) и тот факт, что автокорреляционная функ­ ция действительного процесса четна, находим

Подобным образом можно получить также

190