книги из ГПНТБ / Френкс, Л. Теория сигналов

Оператор Л в (6.74) имеет функциональное ядро вида

в частном случае примера 6.2. Решение может быть получено здесь тем же методом, т. е. двукратным дифференцированием (6.77) по t и совместным решением с исходным уравнением (6.77). Это приводит к дифференцированному уравнению второго порядка

Решение можно значительно упростить, выбрав в качестве аргу­ мента ток i, а не vv Тогда

о

151

Поскольку мы просто хотим минимизировать (wi,i) при (i, w) — С, необходимо, чтобы

сложную задачу, типичную для проектирования систем. В этом при­ мере мы познакомимся с двумя новыми вариантами вариационной за­

дачи:

1) в качестве функции-аргумента используется не сигнал, а опе­ ратор и 2) для нахождения оптимального решения выполняются ва­ риации двух или большего числа независимых функций одновременно.

Ж е л а е м ы й , д ы х о й g ( i)

Рис. 6.6. Минимизация ошибки фильтрации при наличии помех.

В системе (рис. 6.6) желательно, чтобы сигнал на выходе фильтра был как можно ближе к заданному сигналу g (t). Как и ранее, мы предпо­ лагаем, что энергия сигнала л: (t) ограничена, так что (х, х) = q. Кро­ ме того, заметим, что для большинства фильтров характерно некоторое ограничение, налагаемое на произведение коэффициента усиления и ширины полосы.

Оно может быть выражено условием (Н, Н) = с2. Наконец, бу­ дем считать, что к входному сигналу добавлена аддитивная помеха z (t) произвольной полярности. Для ограничения влияния помехи по­ требуем, чтобы ее энергия на выходе фильтра не превышала некоторо­ го допустимого значения, скажем, с3. Задача состоит в нахожде­ нии наилучшей комбинации входного сигнала x(t) и импульсной ре­ акции фильтра h(t) с тем, чтобы разность между выходным сигналом фильтра х ^ ) Ь и желаемым выходом g имела минимальную норму при указанных ограничениях.

152

/==(( Н|3 Х, X)—2 (X, Н*G) + (G, G) + Xx(X, X)+

+ %2(Н, Н) + Л3 (ZH, ZH) = (I X I2 Н, Н)—2 (Н, X* G) + (G, G) +

по отношению к X и Н одновременно.

Из рассмотрения обеих форм (6.86) можно получить два условия.

Из (6.89) видно, что Н* XG — вещественное число, следователь­ но, фаза НХ равна, как ожидалось, фазе G, и этот член может быть за­ менен в (6.89) и в (6.90) его модулем. Нужная фаза может быть произ­ вольно распределена между X и Н, поскольку фазы X и Н порознь не входят в ограничивающие условия. Вычитая (6.90) из (6.89), найдем

Учитывая, что J Н | 2 >» 0, можно подставить (6.91) в (6.89), тогда получим

Упражнение 6.3. В примере 6.2 было показано, что оптимальный сигнал ограниченной длительности, максимизирующий энергию на выходе ^С-ячейки, приближается к прямоугольному импульсу, если параметр /0 Т уменьшается (см. рис. 6.4). Показать, что для любого низкочастотного фильтра (и при любом разумном определении ширины полосы /0) оптимальный входной сигнал прибли­ жается к прямоугольному, когда feT стремится к нулю. Дать физическую интер­ претацию этого результата.

153

Упражнение 6.4. Получить интегральное уравнение, которому должны удовлетворять решения задачи «сопряженной» с задачей примера 6.2, т. е. зада­ чи о том, какой входной сигнал единичной энергии, будучи пропущен через фильтр с передаточной функцией Я ([), дает максимум энергии на выходе в ин­ тервале |/| < Т.

Упражнение 6.5. Показать, что в примере 6.3, если входной сигнал согла­ сован с фильтром, то выходной сигнал пропорционален функции автокорреляции (2.40) входного сигнала (без учета задержки во времени).

Упражнение 6.6. Показать, что радиус корреляции

ОО

г7 2 (0) J r*(i)d%

для сигнала х (t) с полосой \fi \ < W не может быть меньше (1/2IF) сек. Привести пример сигнала с ограниченной полосой, для которого достигается этот мини­

мум.

Упражнение 6.7. Найти сигнал единичной энергии, длительностью 2Т сек, который дает максимальный пик на выходе фильтра с импульсной реакцией h (t).

входного сигнала, который, будучи пропущен через конкретный фильтр с неизменяющимися во времени параметрами, дает на выходе импульс заданной фор­ мы. Эту задачу часто решают в частотной области. При отсутствии других ог­ раничений мы просто берем X (/) = Я -1 (/) G (/), где g (t) — выходной импульс желаемой формы, a h (t) — импульсная реакция фильтра. Но при таком реше­ нии может потребоваться слишком большая энергия входного сигнала, например, если в G (/) имеются заметные компоненты в тех частотных областях, где Я (/) мало. Предположим, мы накладываем ограничение на энергию входного сигнала и выбираем сигнал, минимизирующий || g — х (g) h || . Написать общее выраже­ ние для преобразования Фурье от оптимального сигнала и сравнить его с опти­ мальным сигналом для случая без ограничений. Дать физическую интерпрета­ цию этого различия для характерных типов G (/) и Я (/). Сравнить результат также с примером 6.4.

6.7. ОБЛАСТЬ, ЗАНИМАЕМАЯ СИГНАЛОМ НА ПЛОСКОСТИ ВРЕМЯ—ЧАСТОТА

Эта задача, близкая к-рассмотренным, заслуживает особого вни­ мания. Она касается вопроса о том, насколько представления импуль­ сного сигнала могут быть сосредоточены в узких областях повремени и по частоте одновременно. Имеется ряд систем передачи сигналов, оп­ тимальное функционирование которых достигается при минимальной протяженности и минимальной полосе частот импульса. Узкая по­ лоса сигнала увеличивает пропускную способность канала связи, а также уменьшает искажения при распространении сигнала через диспергирующую среду. С другой стороны, малая длительность им­ пульсов улучшает разрешающую способность по времени. Поэтому в радиолокации с укорочением импульсов улучшается разрешение по

154

дальности, а в импульсных системах связи, укорачивая импульс, можно повысить скорость передачи информации за счет увеличения частоты повторения при неизменной различимости отдельных сигналов [5, 6]. Аналогичная проблема возникает при проектировании антенн, когда желательно получить узкий луч от антенны малого размера [7].

Обобщенный принцип неопределенности

По аналогии с квантовой механикой соотношения, выражающие принципиальное ограничение на достижимую степень концентрации по времени и по частоте одновременно, называют принципом неопре­ деленности.

Этот вопрос рассматривали многие авторы, используя, по боль­ шей части, какой-либо конкретный энергетический функционал для оценки степени концентрации в каждой из областей. Мы сформули­ руем ниже задачу о неопределенности в обобщенном виде, вводя такие способы измерения концентрации по времени или по частоте, при ко­ торых можно использовать произвольные весовые функции в каждой области. Для нормализации положим, что полная энергия сигнала рав­

a w (0 и V (/) есть упомянутые весовые функции для временной и час­ тотной областей; р,х и р2 — множители Лагранжа. Нужны только два неопределенных множителя, и они могут быть отнесены к любым двум квадратичным функционалам из трех. Поскольку каждый квадратич­ ный функционал соответствует самосопряженному оператору, исполь­ зуя табл. 6.1, можно представить необходимое условие стационарной точки (6.94) либо во временной области

155

весовые функции различны по форме, решение может оказаться про­ ще в одной области, чем в другой. Если же весовые функции одинаковы, то оптимальный сигнал и его преобразование Фурье будут удовлетво­ рять одному и тому же уравнению. Заметим также, что при различных весовых функциях, если решена одна задача неопределенности, мы легко получим решение и другой задачи, применяя частотно-времен­ ную дуальность к (6.95) и (6.96).

Вводный пример из § 6.1, очевидно, является задачей неопреде­ ленности с весовыми функциями w (/) = t2 и U (/) = /2. Вместо того, чтобы минимизировать произведение 1Хи / 2, мы могли бы ограничить один из функционалов 1Х или / 2 некоторой константой, и миними­ зировать второй (сохраняя 13 — 1).

Поскольку

необходимое условие (6.95) принимает вид

Приведя его к виду

получаем дифференциальное уравнение второго порядка, известное как волновое уравнение Шредингера для гармонического осциллято­ ра с параболической потенциальной ямой; его решение хорошо извест­ но. Можно показать [17], что для граничных условий х (±оо) = О, коэффициенты в (6.98) должны удовлетворять условию

асоответствующие ортонормированные решения есть

---i- bt2

Эрмита (3.45). Кратность стационарных точек, типичная для однород­ ных необходимых условий, видна из (6.100). Абсолютный минимум про­ изведения длительности на ширину полосы легко находится подста­ новкой (6.100) в (6.4); в результате имеем

следовательно, ф0 (Vbt), т. е. гауссов импульс глобально оптимален. Это соответствует (6.8).

Другим примером может служить задача из примера 6.2, которая представляет собой разновидность проблемы неопределенности при ус­ ловиях: Ix = 1, w (t) — прямоугольная весовая функция, задавае-

156

мая согласно (6.52), а V (/) = К (/) = | Я (/) |2 соответствует (6.35).

Установление принципа неопределенности для этого случая состоит в нахождении наибольшего собственного значения и соответствующей собственной функции из (6.56) для заданных Я (/) и Г. В частности, для Я (/) однозвенного /?С-фильтра минимальная величина f0T, которая обеспечивает заданную долю энергии / 2, проходящую на вы­ ход, находится из (6.61) и (6.62):

\

Рис. 6.7. Ограничение по полосе сигналов с ограниченной длительностью.

Более жесткий критерий концентрации в частотной области ввел Чок [3], рассматривая прямоугольную весовую функцию не только во временной, но также в частотной области, т. е. предполагая, что имеется идеальный фильтр низких частот с полосой W, как показано на рис. 6.7. Необходимое условие минимума / 2 при ограничении / х — / 3 = 1 полу­ чается из (6.36) в виде

зультат получился из-за особого свойства данной весовой функции:

К(П = | Я (/) |2 = Я(/).

Мы видим, что ограниченные по времени (финитные) функции, удовле­ творяющие (6.103), обладают весьма любопытным свойством: если пропустить такую функцию через идеальный фильтр с ограниченной полосой (превратив таким образом в финитную в частотной области), то на интервале \t\<i Т сигнал на выходе фильтра совпадает по форме с входным сигналом

Следовательно, X — это та доля энергии сигнала х: (t), которая при-

157

ходится на полосу | / | ^ W. Сказанное означает, что все собственные значения (6.103) меньше единицы, и что максимум энергии на выходе

c=ZctWT

Рис. 6.8. Наибольшее собственное значение уравнения (6.Ю7).

Мы получили тоже интегральное уравнение (6.ЮЗ), но теперь оно справедливо для всех t. Таким образом, если ф0 (t) — импульс с огра­ ниченной полосой, оптимальный для данной задачи, то w (t) ф0 (t) есть оптимальная форма сигнала, ограниченного по длительности для дуальной задачи. Не следует поэтому удивляться, что и в более общих случаях, когда обе весовые функции прямоугольные, но зна­ чения Д и / 2 произвольны, оптимальные сигналы тоже есть решения уравнения (6.107). В статьях Слепяна, Поллака и Ландау [Ю—12]*> показано, что решениями уравнения (6.107) являются сфероидальные волновые функции, и они дают важную зависимость между предель­ но достижимыми значениями 1Хи / 2 и параметром WT. Ниже при­ водятся основные результаты этих работ*).

*> Переводы см. «Функции с двойной ортогональностью в радиоэлектронике и оптике» под ред. М. К. Размахнина и В. П. Яковлева, изд. «Сов. радио», 1971. — Прим. ред.

158

1. Для любого значения с = 2nWT существует счетное множество вещественных собственных функций (фп (с, t); п = 0, 1, 2, ...}, ко­ торым соответствуют положительные собственные значения

раниченной полосой, заданных на интервале (— оо, оо), полную в под­

3.В интервале 11| ^ Т функции ф„ (с, t) тоже ортогональны и обра

зуют систему, полную в L2 (— Т, Т):

функция w (t) ф0 (с, t) содержит наибольшую часть своей энергии вну­ три полосы |/ | sg; W. Эта часть равна / 2 = Х0 (с). На рис. 6.8 показана зависимость А0 от с и дано сравнение степени концентрации энергии в заданной полосе для оптимального сигнала и прямоугольного им­ пульса с длительностью 2Т.

|Среди всех функций, ограниченных по полосе (/2 = 1), функция ф0 (с, i) содержит наибольшую часть своей энергии в интервале вре­ мени 11 \^ Т. Эта часть равна Л0 (с). Рис. 6.8 дает также сравнение сте­ пени концентрации во временной области для оптимального сигнала и для импульса формы (sin 2nW t)lnt. Некоторое представление о фор­ ме оптимальных сигналов можно получить из рис. 6.9, где приведе­ ны графики ф0 (t) для положительных значений t (ф0 — четная функ­ ция) при различных значениях с.

Наконец, решение общей задачи неопределенности для прямо­ угольных весовых функций, когда оптимальный сигнал не ограничен

159

Этот результат дает удобную фор­ мулировку принципа неопределенно­ сти, он указывает максимальное дости­ жимое значение функционалов или / 2, когда второй функционал имеет за­ данное значение. Соотношение между ними имеет вид

полной энергии сигнала, то ограничений на величины этих интерва­ лов не существует. Только если сумма 1Х+ / 2 больше единицы, име­ ется нижняя грань для произведения WT.

Межсимвольные искажения

Несколько иные задачи неопределенности возникают в связи с синтезом сигналов для систем связи, в которых информация содержит­ ся в амплитудах импульсов. Информация извлекается из принятого сигнала

в виде отсчетов, взятых в определенные моменты времени xk\ при этом получаются оценки а для истинных значений амплитуд ah:

ak= s(rk) = ahx (0) + 2 * ( 4 ~ Ч)- (6-1 И)

Последняя сумма в (6.114) характеризует погрешность за счет меж­ символьных искажений, так как она обусловлена соседними импуль­ сами. Чтобы эти искажения были малыми, нужно взять импульсы х (t) достаточно узкими, так что все значения х ( tft — ту) при k Ф j будут достаточно малыми. При наличии ограничений на ширину поло­ сы сигнала может показаться, что в данном случае подходит решение

160