книги из ГПНТБ / Френкс, Л. Теория сигналов

Таким образом, принимая, что функции (I) ограничены тем же времен­ ным интервалом, и допуская задержку на Т сек и более, мы можем получить желаемый выходной сигнал, с помощью набора выходных умножителей, вклю­ ченных, как показано на рис. 5.7.

Допустимая во многих устройствах обработки задержка на длительность сигнала Т есть, таким образом, условие, необходимое для схемной реализации импульсой реакции конечного порядка (5.49).

Не удивительно, что рассмотренная схемная реализация импульсной ре­ акции (5.81) не является единственной. Известны общие методы получения экви­ валентных реализаций [8, 10].

Рис. 5.7. Каноническая схемная реализация вырожденного оператора с вре­ менной задержкой.

Эквивалентные реализации применяются для преодоления некоторых практи­ ческих ограничений. Например, нередко приходится удовлетворяться не иде­ альными интеграторами, а интеграторами с «утечкой», имеющими импульсную

реакцию е~а‘*; t > 0; aj > 0. В этом случае импульсная реакция цепи, пока­ занной на рис. 5.7, будет

Однако из (5.83) ясно, что нужная импульсная реакция может быть полу­ чена в аналогичной схеме, но с измененными умножителями, как показано на рис. 5.8.

Можно построить и другие эквивалентные схемы, содержащие п каналов с входными и выходными умножителями, разделенными инвариантным во вре­ мени блоком. Такие эквивалентные схемы легко получаются на основе хорошо известного метода переменных состояний, используемого для описания систем.

121

Соответствующие результаты кратко изложены ниже. Пусть инвариантная во времени часть схемы рис. 5.9 есть 2п-полюсник, описываемый системой из я уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами

Полная схема, эквивалентная приведенной на рис. 5.7, получается, если изменить опорные функции умножителей согласно следующему правилу:

6 * (0 = 2 ci h(t)Q*k (t),

в = с - 1= е- А<,

причем А есть я X я матрица (возможно, комплексная), характеризующая инвариантную во времени часть реализующей схемы.

Интеграторы с затуханием

Рис. 5.8. Схемная реализация, эквивалентная приведенной на рис. 5.7.

С этой более общей точки зрения реализция с помощью схемы рис. 5.8 получается при диагональной матрице А, а с помощью схемы рис. 5.7 — при нулевой матрице. Интересно заметить, что рассмотренная «-канальная основ­ ная структура применима в качестве канонической формы для представления

122

цзпей с периодически изменяющимися во времени параметрами [11], в кото­ рых условие о конечной протяженности сигналов не налагается. Заслуживает внимания и тот факт, что бывают нетривиальные случаи, когда величины 0,- и ф, постоянны, и рассмотренная n-канальная схема эквивалентна инвариантной во времени цепи (см. упражнение 5.12). Это приводит к некоторым полезным приемам для получения других реализаций передаточных функций с помощью инвариантных во времени цепей [12] при ограничениях не столько на про­ тяженность сигналов, как рассматривалось выше, сколько на полосу частот на входе и на выходе.

Упражнение 5.12. Показать, что изображенная на рисунке двухканальная схема, содержащая одинаковые инвариантные во времени блоки, включенные между умножителями, эквивалентна некоторой инвариантной во времени цепи. Какова передаточная функция этой цепи?

5.7. СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ

Методы представления, которые мы рассматривали до сих пор, можно трактовать как обобщение конечномерного представления, описанного в § 5.3, использующего отображения базисных функций.

123

Теперь рассмотрим обобщение другого метода (5.16), где преобразование представляется некоторым множеством входных векторов {to;}. Вначале мы оп­ ределим подмножество векторов S, инвариантных относительно оператора SB в том смысле, что без учета масштабных множителей они преобразуются сами в себя

масштабных множителей полностью определяет оператор и это приводит к очень удобной форме представления. Чтобы показать, каким образом это достигается, мы снова рассмотрим второй метод §5.3 для случая одинаковых входного и вы­ ходного пространств.

Из (5.91) мы видим, что преобразование сводится к простому покоординатному сжатию для каждой компоненты вектора х.

В этом параграфе мы покажем, что для сравнительно широкого класса операторов множество S содержит достаточное количество линейно-независимых векторов, чтобы на них могло быть натянуто интересующее нас пространство, и преимущества представления (5.91) действительно могут быть реализованы. Мы увидим также, что в ряде случаев задача наилучшей аппроксимации опера­ тора становится аналогичной наилучшей аппроксимации сигнала с помощью ортогональных проекций.

Собственные значения и собственные пространства

Значения Я, при которых уравнение

имеет нетривиальные решения (х ф 0), называются собственными значениями оператора SB. Соответствующие решения (обычно нормированные) называются

собственными векторами (или собственными функциями в L2 (Г)). Уравнение

(5.92) может иметь несколько линейно-независимых решений для одного собст­ венного значения. Если имеется щ линейно-независимых решений для Я = Яг-, то говорят, что собственное значение Я; имеет кратность щ. гс;-мерное подпрост­ ранство Q{, натянутое на эти векторы, инвариантно относительно SS в том смыс­ ле, что х £ =>- SB х £ Q;. Это подпространство называется собственным пространством для данного Яг-. Для упорядочивания и нумерации собственных значений и собственных векторов, можно рассматривать только' различные значения Я, удовлетворяющие (5.92), и соответствующие им собственные нрост-

124

Спектральное представление нормальных вырожденных операторов

Теперь применим предыдущие положения для представления вырожден­ ных операторов на L2 (—оо, оо). Как и прежде, запишем ядро оператора S6n, ранг которого равен п, следующим образом:

где О])* (/); i — 1, 2, ..., n) — линейно-независимые функции, на которые на­ тянуто подпространство Мп . Ясно, что Мп — инвариантное подпространство оператора S6n, и собственные векторы, соответствующие ненулевым собственным значениям, расположены только в этом подпространстве. Если оператор SSn также нормален, то из (5.95) мы имеем

п}. Отсюда следует, что нуль-пространство для S6n есть ортогональное дополне­ ние Мп, поскольку любой вектор, ортогональный ко всем {б;}, должен отобра­ жаться в нуль. Это бесконечномерное подпространство является собственным пространством Q0 для К = Я0 = 0. Таким образом, задача сводится к конечно­ мерной, т. е. к нахождению х £ Мп, которые являются решениями уравнения SBnx — Хх. Это эквивалентно такому уравнению:

^•ij ~ (Ф^> вг-).

Известно [4], что уравнение (5.102) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы L — Х\ равен нулю. Этот определи­ тель представляет собой полином п-й степени относительно X и называется ха-

*> Полнота системы следует из определения оператора. — Прим. ред.

126

рактеристическим полиномом для L. Таким образом ненулевые собственные значения оператора SBn являются корнями уравнения

Множество собственных значений, которое приведет в конце концов к нужному

численному представлению оператора, называется спектром оператора (точнее

точечным спектром [2]).

лином Р (Я) имеет т < п различных корней. Ортогональные проекции могут

П

Мы получили спектральное представление оператора SBn. Другая форма спектрального представления получается, если каждое собственное значение повторить столько раз, какова его кратность, так что спектр получается в виде {Яг-; i = 1 , 2 Используя соответствующее множество ортонормированных собственных векторов {»>,; i = 1, 2, ..., п), можно представить 5вп следующим образом:

для нормального оператора ранга п можно найти ортонормальный базис в об­ ласти его определения, такой, что изображение любой точки из области опреде­ ления получается простым покоординатным изменением масштаба для каждой из его компонент. Масштабными множителями служат собственные числа, опреде­ ляемые как корни характеристического полинома я-го порядка. Отметим также, что эти корни могут быть комплексными, даже если SB—действительный опера­ тор; это является важной причиной, указывающей на целесообразность приме­ нения комплексных пространств сигналов.

127

Спектральное представление нормальных компактных операторов

Обобщая предыдущие результаты, логично далее перейти от вырожден, ных операторов к компактным, действующим в L2 (—оо, ос). Поскольку мы пока зали,что компактные операторы могут быть аппроксимированы вырожденными’ следует ожидать, что имеется существенная общность в их спектральных пред­

в этом случае не будет равномерно ограниченным, и, следовательно, оператор SB не будет компактным. Отсюда непосредственно следует также, что для ком­ пактного оператора кратность любого ненулевого собственного значения конечна. Спектральное представление нормального компактного оператора имеет вид

С»

Это уравнение является прямым обобщением (5.106). Функциональное ядро для SB выражается через собственные векторы следующим образом:

Это ядро называется ядром Гильберта—Шмидта при условии, что

2 I I2 < °°- i= 1

Часто полезно упорядочить собственные значения так, чтобы они образовали невозрастающую последовательность:

Когда это сделано, первое собственное значение приобретает особое значение,

128

Учитывая (5.108), имеем

i = 1

Обобщением схемы рис. 5.10 является часто применяемый в устройствах обработки трансверсальный фильтр, показанный на рис. 5.11. Используя фор­

мулу (5.108) для представления оператора одного звена, получаем для фильтра в целом

определяет собственные значения трансверсального фильтра через собственные значения звена. Мы получили удобную схему для реализации широкого класса операторов, так как обычно нетрудно выполнить требуемое усиление в каждом отводе цепочки. Если все собственные значения оператора звена SB различны, то, изменяя коэффициент усиления, можно реализовать произвольные k собст­

венных значений оператора SB для фильтра в целом.

Рис. 5.10. Спектральное представление цепочки одинаковых звеньев.

Теперь обратимся к вопросу о наилучшей аппроксимации компактного опе­ ратора с помощью вырожденного оператора ранга п.

Для некоторого подкласса нормальных операторов спектральное представ­ ление приводит к ясному результату и простому выражению для ошибки аппрок­ симации. Речь идет о подклассе самосопряженных операторов, определяемых соотношением SB' = SB. Прежде всего отметим, что собственные значения сопря­ женного оператора всегда вещественны. Поскольку самосопряженный оператор

нормален, то SBxi = X;xj =$-SB'xi X*xi, следовательно, X* = X/. Предполо­ жим далее, что собственные значения упорядочены согласно (5.110), т. е. обра­ зуют невозрастающую последовательность.

В качестве аппроксимирующего оператора SBn для компактного самосо­ пряженного оператора SB мы возьмем его спектральное представление, в котором просто отброшены члены порядка выше п:

ОО п

показывает, какого порядка нужно взять аппроксимирующий оператор, чтобы получить необходимую точность.

В заключение рассмотрим кратко спектральные представления для некото­

Рис. 5.11. Спектральное представление трансверсального фильтра.

130