книги из ГПНТБ / Френкс, Л. Теория сигналов

ОО

Физически реализуемые операторы. На операторы, описывающие физи­ чески реализуемые устройства, наложено существенное ограничение: они долж­ ны быть неупреждающими, или каузальными. Это условие легко выразить через импульсную реакцию. Из (5.29) мы видим, что если выходной сигнал у (t) дол­ жен зависеть только от предыдущих значений входного сигнала, то необходимое и достаточное условие, налагаемое на импульсную реакцию, есть

Это ограничение часто вводят в запись самой операции:

<

y{t )= § h (t,%) х {%) dx,

-----ОО

не оговаривая условие на функцию h (t, т). Но обычно удобнее, не изменяя пре­ делы интегрирования, оговорить дополнительное условие, которому должна удовлетворять импульсная реакция. Мы запишем такое условие в виде

Оператор дифференцирования конечного порядка. Характеристики пере­ дачи многих физических систем могут быть приближенно описаны дифферен­ циальными уравнениями конечного порядка. Обычно при анализе линейных систем их приближенно представляют цепями с сосредоточенными параметрами. Методы построения дифференциальных уравнений для таких цепей хорошо из­ вестны. Известно также [8], что для дифференциального уравнения

где aj (t) и bi (t) — непрерывные функции; соответствующая импульсная реак­ ция есть

Если коэффициенты уравнения0 постоянны,прито параметрыt х. системы не зави­ сят от времени. Кроме тех частных случаев, когда полином

11

имеет кратные корни, импульсная реакция получает выражение

где pk — корни уравнения Q (р) = 0. Передаточная функция для такого инва­ риантного во времени оператора есть рациональная функция частоты

или, что эквивалентно,

Р(У2я/) Q (/2л/)

где полином в числителе имеет вид

л—1

р (р)= V Ьг Р г.

1= 0

Вырожденный оператор. Операторы, действующие в L2 (—оо, оо), область значений которых конечномерна, т. е. имеющие конечный ранг, называются вырожденными. Функциональное ядро вырожденного оператора обладает свой­ ством разделимости, что очень удобно для приближенного представления и чис­

ленного решения операторных уравнений. Импульсная реакция вырожденного оператора /г-го порядка имеет вид

П

системы функций в L2 (—оо, оо). Отображение х, получаемое с помощью такого оператора, выражается через п линейных функционалов:

Сходство импульсной реакции (5.52) с импульсной реакцией системы конеч­ ного порядка (5.49) обманчиво, так как система конечного порядка в общем слу­ чае не является вырожденной из-за различия в поведении для t > т и t <" т.

Упражнение 5.5. Получить выражение для импульсной реакции последо­ вательно примененных инвариантного во времени оператора и оператора стро­ бирования (для обоих случаев их взаимного расположения). Найти для этих

с импульсной реакцией (5.52). Показать, что разделимость сохраняется при

любом выборе пары базисных ядер для пространства входов и пространства вы­ ходов соответственно. у

Упражнение 5.7. Описать область значений и нуль-пространство для вы­ рожденного оператора с ядром (5.52).

112

5.5. ПРИБЛИЖЕННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ. ДЕЙСТВУЮЩИХ В L2 (Г)

Представляя операторы в L2(T) функциональными ядрами интегральных преобразований, мы обошли важный вопрос о конечных численных представле­ ниях для этих операторов. Существо проблемы в том, чтобы найти оператор,

Полезный и прямой путь состоит в ограничении области определения конечно­ мерным подпространством из L2 (Т), в кото­

Пример 5.1. Чтобы проиллюстрировать применение представления опе­ раторов матрицей, рассмотрим пример, в котором входные и выходные сиг­ налы представляются рядами по смещенным во времени функциям. Пусть Мп — подпространство, натянутое на {<рг-; ф; (<) = ф (t—ix), г= 0, 1, ..., п— 1}, гдеф; (i) — ортонормальные интерполяционные функции. Выбрав п достаточно большим, а т достаточно малым, можно получить произвольно точное представ­

113

ление сигнала на интервале 0 < t < (п — 1) т. Теперь положим, что X — инвариантный во времени оператор, соответствующий цепи с импульсной реак­ цией h (t). Тогда

оо

Зная этот единственный импульсный отклик, мы можем полностью описать опе­ ратор Х п, так как из (5.57) имеем

строку, представляющий исходный импульсный отклик i|) (/), спроектированный на Мп,

П—1

соответственно. Из формулы (5.62) ясно, что она описывает просто правило ум­ ножения полиномов; это приводит к некоторым описаниям, применимым в зада­ чах о преобразовании физически реализуемыми цепями сигналов, представлен­

имеют значения, соответствующие отсчетным значениям выходного сигнала. Остальные коэффициенты в В (г) представляют ту часть выходного сигнала,

114

Упражнение 5.9. Показать, что операция ортогонального проектирова­ ния любого х £ L2 (Т) на Мп может характеризоваться вырожденным ядром

Приближение операторов по норме

Как только мы попытаемся исследовать степень приближения оператора S3, действующего в L2 (Г), посредством его матричного представления 33п, по­ лучаемого согласно (5.57), выявляются недостатки такого представления. Труд­ ность состоит в том, что в Мп существуют точки, для которых величина ошибки || SSx — S3„x || может быть велика, и, более того, эту ошибку не всегда удается уменьшить простым увеличением п. Трудно ответить на вопрос, связан ли этот недостаток со свойствами исходного оператора S3 или дело здесь в том, как мы выбираем подпространство Мп. Чтобы обойти этот вопрос, будем считать, что

/= 1

И

Ifi (0=<2?-ф*(0-

Поскольку мы определили норму операторов (5.8), можно характеризовать расстояние между оператором и его приближением в порождаемой этим опреде­ лением метрике:

d (SB, SSn)—\\S5~-S5n К= sup {\\S3x— S3n x ||; || x || < 1, x £ L2 (T)}. (5.66)

Такой подход приводит к задаче, несколько отличной от задачи об аппрокси­ мации сигналов в L2 (Т) полными ортонормальными системами. Мы хотим найти

Компактные операторы

Может показаться, что при достаточно большом п любой ограниченный опе­ ратор можно с желаемой точностью аппроксимировать вырожденным оператором порядка п. Это неверно, и имеются простые примеры ограниченных S3, для кото­ рых ни одна последовательность {53п} не сходится по норме к S3 при п -+ оо. Трудность заключается в том,что вырожденный оператор имеет конечномерную область значений, и, следовательно, может аппроксимировать только те опера­ торы, для которых область значений ограничена как-то так, что все ее точки близки к конечномерному подпространству. В частности, требуется, чтобы мно­ жество отображений точек единичной сферы {х; || х || = 1} было близко к ко­ нечномерному подпространству. Не достаточно, чтобы это множество отображе­ ний было просто ограниченным. Рассмотрим в качестве примера тождественный

Ив

оператор, который является ограниченным. Отображения ортогональной после­ довательности {фг (0; i — 1, 2, ...} образуют ограниченное множество, но рас­

стояние между любыми отображениями равно~]/2; следовательно, для любого за­ данного конечномерного подпространства мы можем найти ф;, которое не явля­ ется достаточно близким ни к одной точке этого подпространства. Для того что­ бы оператор мог быть аппроксимирован вырожденным оператором, необходимо наложить на отображение единичной сферы более жесткое условие, чем огра­ ниченность. Такое условие связано с понятием о равномерной ограниченности множеств. Множество S с введенной в нем метрикой d называется равномерно

которых i и любых х из S. Другими словами, множество S достаточно «компакт­ но», и можно выбрать конечное число N (е) точек множества, таких, что любая другая точка множества находится не больше, чем на расстоянии &от одной из выбранных точек. Равномерная ограниченность в метрическом пространстве

Теперь предположим, что подмножество Мп , содержащее s-сеть для множе­

п

где е может быть сделано сколь угодно малым при достаточно большом п. Для получения функционального ядра вырожденного оператора 56п перепишем

(5.67) иначе:

вполне непрерывными [2, 3]. Мы видим, что задача аппроксимации была бы не­ сложной, если бы не трудность нахождения е-сетей для операторов. Для более

117

узкого класса операторов метод спектрального представления, рассматривае­ мый в § 5.7, удобен для отыскания наилучшей аппроксимации. В заключение данного параграфа рассмотрим некоторые операторы с точки зрения их ком­ пактности.

Как уже отмечалось, тождественный оператор не является компактным. Действительно, любой инвариантный во времени оператор (свертка) не компак­ тен в L2 (—оо, оо) (см. упражнение 5.10), даже, если функция импульсной реак­ ции принадлежит L2 (—оо, оо). Используя частотно-временную дуальность, можно легко показать, что и оператор стробирования не компактный; однако, как будет показано ниже, последовательное соединение этих двух операторов

т. e. только конечное число отображений фгисходных базисных векторов чц i может заметно отличаться от нуля. Поэтому мы можем считать, что область зна­ чений оператора SB «приблизительно» конечномерная.

Покажем, что SBn в нашем случае действительно стремится к SB. Для этого обозначим

118

и

динение (в любом порядке) одной из схем, показанных на рис. 5.6, и произволь­ ного ограниченного оператора также дает компактный оператор (см. упражне­

передаточной функции (приближение в частотной области). Если аппроксимация выполняется с помощью экспоненциальных функций времени, или соответственно рациональных функций частоты, то получается оператор цепи конечного поряд­ ка, и для отыскания конкретной схемной реализации применимы классические методы синтеза цепей.

Для более широкого класса инвариантных во времени операторов методы синтеза реализующих цепей разработаны далеко не столь полно. Однако имеется ряд канонических схем, которые (при некоторых модификациях) могут реали­ зовать произвольный вырожденный оператор. Следовательно, в свете сказанного в предыдущем параграфе мы можем считать,что существуют способы прибли­ женной реализации для любого компактного оператора.

Упомянутая необходимость в модификациях связана с тем, что реакция физической системы не может быть упреждающей. Используя временное пред­ ставление вырожденного оператора й -го порядка, мы видим, что его импульсная реакция разделима:

П

Выходной сигнал у = §вп х зависит, таким образом, от скалярных произ­ ведений (х, 0j), которые нельзя вычислить за конечное время, кроме тех слу­ чаев, когда х или 0гесть функция конечной длительности. Другими словами, система должна «увидеть» входной сигнал целиком до того, как она сможет дать правильный сигнал на выходе. Это позволяет понять условия, при которых опе­ ратор вида (5.81) может быть физически реализован. Если входной и выходной сигналы можно считать ограниченными по времени, например интервалом 0 < t < Т, то скалярные произведения могут быть получены с помощью умно­ жителей и физических интеграторов:

о

120