книги из ГПНТБ / Френкс, Л. Теория сигналов
.pdfформ употребительных сигналов желательно, очевидно, иметь общий способ для описания преобразующих свойств отдельных узлов системы. Помимо опи сания преобразований, производимых различными блоками, правомерно также рассматривать обратную задачу о синтезе физических блоков, подсистем или схем, реализующих то или иное преобразование сигнала.
Такие задачи встают, например, в связи с устройствами обработки сигналов, когда в систему специально вводятся некоторые блоки для достижения той или иной цели. Примерами могут служить корректирующие звенья, компенсирующие искажения в преобразователе и в канале передачи, а также фильтры, уменьшаю щие влияние мешающих сигналов и шума.
С точки зрения теории систем преобразование сигнала есть указание связи входа с выходом для системы или цепи, представляемое просто в виде блока, как показано на рис. 5.1. Математически преобразование трактуется как отображе ние одного множества сигналов в другое (см. § 1.3).
Лросггранс/ттво входовX Пространство выходов У
x e . jp
Устройство, преодразующее сигналы
Рис. 5.1. Отображение сигнала.
Мы не противопоставляем эти трактовки. Наоборот, для понимания часто удобно интерпретировать математические операции в виде блок-схем. Соответ
ственно, отображаемая область есть в нашем случае пространство |
входов ЗС, |
а пространство выходов ^ должно быть выбрано так, чтобы оно |
включало, |
всю область значений данного преобразования, т. е. образы всех входных сигна лов. В общем случае, для описания отображения Ж мы должны знать все пары вход — выход 1х, Ж(х)}, т. е. граф отображения. Но в большинстве случаев полный граф построить не удается просто потому, что в нем необходимо указать и как-то упорядочить слишком много пар вход — выход. Если, однако, ограни читься линейными преобразованиями, то оказывается, такое отображение можно полностью описать, используя сравнительно небольшое подмножество из всех возможных пар вход—выход. Другими словами, образ произвольного входного сигнала можно представить через образы сигналов из некоторого подмножества. Эта важная особенность известна как свойство суперпозиции линейных пре образований. К счастью, в большинстве систем имеется много линейных или ква зилинейных блоков, так что подробное изучение линейных преобразований весьма важно для практики. Следует отметить, что линейные цепи выполняют линейные преобразования во всех случаях, когда они находятся в состоянии по коя до подачи сигнала на вход. В этих случаях выходной сигнал зависит только от входного и не связан с какими-либо переходными процессами в других ис точниках энергии, имеющихся в схеме. Но, если последнее условие не выпол няется, выходной сигнал не будет линейно зависеть от входного.
В этой главе мы разработаем методы представления линейных преобразо ваний, подобные представлениям сигналов. Как выяснится, здесь имеется непо средственная аналогия. Но задача представления достаточно широкого класса линейных преобразований значительно сложнее, чем соответствующая задача
101
для сигналов. Полное ее исследование выходит за рамки книги, и мы ограничим ся сравнительно простыми вопросами, достаточными, однако, для дальнейших
применений.
5.2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Линейное преобразование 55 это отображение, определенное на линейном пространстве 95 и обладающее следующими свойствами:
SB (хх + х2) = SB (хх) + SB (x2) ,
35 (ax1)=aSB (xx) |
(5.1) |
|
|
или, что эквивалентно, |
|
SB (ахх+Рхг)—0.35 (Xj) -f- PSB (x2). |
(5-2) |
Здесь xt и x2 — произвольные векторы из 35, a а и P — произвольные скалярные величины. Отсюда следует, что SB (0) = 0 и SB (—х) = — 5В(х); следовательно, множество линейно преобразованных векторов есть линейное пространство с тем же множеством скаляров, что и область определения данного преобразо
вания.
Поскольку множество скаляров само образует линейное пространство (R или С), ясно, что линейные функционалы, обсуждавшиеся в § 2.6, есть част ный случай линейных преобразований (с одномерной областью значений). Неко торые свойства линейных функционалов можно распространить на линейные преобразования. Кроме того, в ряде случаев линейное преобразование удобно выражается с помощью упорядоченной последовательности линейных функцио налов.
Если входные и выходные линейные пространства нормированы, то они являются метрическими, и мы получаем возможность исследовать вопрос о непре рывности линейных преобразований. Линейное преобразование обладает тем свойством, что непрерывность в одной точке (скажем, при х = 0) эквивалентна непрерывности во всех точках, т. е. непрерывности преобразования. Чтобы по казать это, напомним, что непрерывность в начале координат означает, что для
любого е > 0 существет такое б (е) > 0, что |
|
||
II |
х _ |
о И< б =► || SB (х)-S B (0) II < е . |
(5.3) |
Но поскольку 35 (0) = |
0, |
то |
|
|
|
!1х || < б =>-1 5? (х) || < е . |
(5.4) |
Теперь, рассматривая произвольную точку х0, заменим х на х — х0 |
и ис |
||
пользуем те же 8 и б, |
что и выше. Тогда получается |
|
|
П х -Х о ||< 6= ^||аУ (х -Х о )|| = |# ( х ) - Ж ( х 0)||< в. |
(5.5) |
||
Следовательно, непрерывность в начале координат и непрерывность вообще эквивалентны.
Другое важное свойство состоит в том, что, как и в случае линейных функ ционалов, непрерывность и ограниченность эквивалентны. Преобразование SB
называется ограниченным, если существует действительная константа К, такая, что
|| £? (х) К / ( I х || для всех х ^ 3 0 . |
(.5.6) |
Полагая в (5.4) б = е/К, заключаем, что ограниченное линейное преобразование непрерывно. С другой стороны, чтобы доказать ограниченность непрерывного
линейного преобразования, |
достаточно |
показать, что || SB (х) || < К при всех |
|
х, для которых || х || = 1. |
Пусть х = |
2xj/6, |
тогда |
DXII = 1 =MI *i|| < б =Ц SB (xj II < |
е => II SB (х) II < 2е/б. |
||
102
Таким образом, непрерывность предполагает ограниченность, и мы показали что для линейных преобразований ограниченность и непрерывность эквива лентны.
Для общей теории линейных преобразований важно, что множество всех линейных преобразований некоторого линейного пространства само является линейным пространством, в котором определены векторное сложение и умноже ние на скаляр**:
SB =SBi + SB2=*- SB (X) = 5?! (x) + SS2 (x),
| для всех x£ ЗС, |
(5.7) |
SB —aSBi =>- SS (x) = |
(x) |
Я |
в |
Рис. 5.2. Схемы эквивалентных векторных и скалярных операций над линейными преобразованиями: сложение (параллельное соединение): SB = SB 1 +SB2 (a)l умножение на скаляр: SB = aSBi (б); векторное умножение (каскадное соеди нение): SB=SS\SB2 (е).
Эти операции имеют простые схемные аналоги, показанные на рис. 5.2; сложению соответствует параллельное соединение блоков, а умножению на ска ляр — последовательное соединение блока и идеального усилителя с коэффици ентом усиления а. Усилитель может стоять как на входе, так и на выходе блока.
Пространство линейных преобразований можно нормировать подобно тому, как это делалось для линейных функционалов:
|^ |l = su p {||^x ||; ||х ||< 1> |
(5.8) |
или, что эквивалентно,
|| SB ||= inf {К\ l l ^ x I K K I I x l l . X € ЗС). |
(5.9) |
Если пространства входов и выходов идентичны, линейное преобразование называется линейным оператором. Таким образом, линейный оператор — это линейное преобразование, отображающее область своего определения в себя. Для операторов естественно ввести еще одну векторную операцию, называемую произведением. Произведение двух операторов есть составное отображение вида
SB=SB1SB2^ S C (x)=SB1[SS2(x)]. |
(5.10) |
Физическим эквивалентом произведения является каскадное соединение (в нуж ном порядке) блоков, реализующих операторы — сомножители (рис. 5.2, в). Умножение дистрибутивно по отношению к сложению, так что
ss1(ss2+ SB3)=SB1sei+ se1sc.3, 0^1 + se2)sbz= sbxsb2+ sb2sb3.
(5.11)
*> Далее мы, обозначая линейные преобразования, отбрасываем скобки, так что вместо SB (х) мы будем писать SB х. Если ЗС — функциональное простра нство, и мы хотим записать х (t) вместо х, обозначение преобразования'будет иметь вид SB-x (I). Этим подчеркивается, что SB есть отображение функции вре мени, а не скаляра.
103
Следовательно, операторы не только образуют линейное пространство, но формируют также алгебру [1]. Алгебра операторов не коммутативна (в общем случае Х 2Х± Ф X i X 2), но она содержит единичный элемент У , определяемый условием Ух — хдля всех х. Если оператор осуществляет взаимно-однозначное отображение области определения на соответствующую область значений, то существует обратное отображение, и можно показать, что оно^также линейно. Такой оператор называется ^сингулярным, он имеет обратный по умножению
оператор ,21т1, такой, что |
|
Х Х ~ 1 = Х ~ 1Х = У . |
(5-12) |
5.3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, ДЕЙСТВУЮЩИХ В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Если область определения линейного преобразования есть конечномерное пространство, в котором определено скалярное произведение, то имеются простые и естественные пути для получения представлений линейных преобразований. Эти пути приводят к различным представлениям, каждое из которых имеет те или другие преимущества. Мы будем иметь дело с конечномерными подпростран ствами функционального пространства L2 (Г), в которых скалярное произведе ние определено согласно (3.3).
Преобразования на конечномерных подпространствах рассматриваются, главным образом, потому, что результаты такого рассмотрения можно обобщить применительно к более важным случаям, например полному пространству L2 (Т).
Представление с помощью вектор-откликов
|
Положим сначала, что пространство входов 37 натянуто на линейно неза |
|||||
висимый |
базис |
{?*•; г = |
1, 2, ..., |
п), для которого |
сопряженный базис есть |
|
{0г; |
г' = |
1, 2, ..., |
п}. Пусть пространство выходов ^ |
есть я-мерное пространст |
||
во, |
включающее |
область |
значений |
преобразования |
X . Такое пространство |
|
всегда можно найти, так как число измерений области значений не может пре
восходить размерность |
исходной |
области |
определения. Тогда |
для произволь |
||
ного х £ 37 из (3.2) и (3.7) |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
x( t) = V |
(х> ог)ср,(*); |
Т. |
(5.13) |
||
|
|
»•= 1 |
|
|
|
|
Следовательно, учитывая линейность X, |
|
|
|
|||
|
|
|
п |
|
|
|
|
y{t )=Xx{t ) = 2 |
(х> ° i) ^ ( 0 . |
(5-14) |
|||
|
|
|
i= 1 |
|
|
|
где множество |
|
|
|
|
|
|
МТ'> |
Фг |
(t) = X |
фг (0. |
t — 1, |
2.......n} |
|
содержит отклики на все базисные функции пространства ЗС как на входные сигналы для X.
Ясно, что отображение любой точки пространства ЗС есть линейная комби
нация {фг-} |
с тем же я-мерным набором коэффициентов а = {ар, а* = (х, 0,-); |
||||
1 ~ 1 .2,..... |
я}, |
что и в представлении х £ 37. Таким образом, мы можем рас |
|||
сматривать |
{$г; |
i = 1, |
2, |
.... я} |
как представление для X по отношению к ба |
зису {<рг-; 1 = 1 , 2 , . .. , |
я} |
в 37. |
В отличие от сигнала, который представляется |
||
я-мерной вектор-строкой, линейное преобразование представляется упорядо
ченной |
последовательностью я векторов в |
относящихся к конкретному ба |
зису в |
37. |
|
104
Хотелось бы рассматривать {ф;; i = 1, 2, п} как базис пространства выходов <У'. Но этого нельзя утверждать, поскольку нет уверенности, что мно жество векторов ф; линейно независимо. Если это так, то (по определению ли нейной независимости) существует некоторый отличный от нуля входной сигнал х, который отображается в нуль в Если же существует хотя бы один такой сигнал, то должно существовать целое подпространство, отображаемое в нуль. Это подпространство 9С называется нуль-пространством линейного преобразо вания. Ввиду того, что преобразование получается типа много в одно, обратного отображения не существует, и линейное преобразование является сингулярным. Для сингулярного преобразования размерность пространства выходов меньше п, поскольку {ф;} линейно зависимы, и ‘у не натянуто на них. Действительно, легко показать, что сумма числа измерений пространства выходов и числа из мерений нуль-пространства равна я. Число измерений пространства выходов называется рангом линейного преобразования.
Представление последовательностью линейных функционалов
Другой способ состоит в представлении SB упорядоченной последователь
ностью п векторов в ЗС. Для этого, положим, что {cp*; i = 1, 2, ..., п) |
есть мно |
|||||
жество линейно независимых векторов, |
на |
которые натянуто |
у . |
И пусть |
||
{0;; г = |
1, 2, ..., |
п) — соответствующий |
сопряженный базис. |
Тогда любой |
||
вектор |
из ‘У можно представить в виде |
|
|
|
||
|
|
y ( t ) = S (У, 0, )$ ,(* ). |
|
(5.15) |
||
|
|
/= 1 |
|
|
|
|
Подставляя (5.14) |
в (5.15), получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
y ( t ) = S B x ( t ) = ' 2 i |
(x, |
|
(5.16) |
|
|
|
|
/= 1 |
|
|
|
где |
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<Oj(t)= 2 |
(»}. |
|
|
(5.17) |
|
|
i= 1 |
|
|
|
|
Следовательно, упорядоченная последовательность {шу; / = 1, 2, ..., п} представляет SB по отношению к выбранному базису в *у. Нуль-пространством является просто подпространство векторов изSC, которые ортогональны ко всем оij. Если {tap / = 1, 2, ..., п) линейно независимы, то ранг преобразо вания равен я. Можно трактовать этот способ представления как упорядочен ную последовательность я линейных функционалов (преобразований единичного
ранга) вида fj (х) = (х, |
/ = 1,2 |
.......я, с помощью которых преобразование |
|
выражается следующим образом: |
П |
|
|
|
|
(5.18) |
|
|
« * ( о = |
2 fi м ч./ (о • |
|
|
|
/= i |
|
Матричное представление |
|
||
Поскольку векторы фг |
в первом методе или векторы |
во втором можно |
|
представить я-мерным набором коэффициентов (вектор-строкой), линейное пре образование может быть представлено таблицей из я X я скаляров — матри цей. Для получения такого представления положим
105
П
|
|
Ф/ (0 — 2 hji |
фj (t) , |
(5.19) |
|
|
|
||
где |
bjt = Wi. Ъ) = {ЭВчи б})- |
(5.20) |
||
|
||||
Теперь, |
подставив (5.19) в (5.14), получим |
|
|
|
|
п |
п |
п |
|
|
</(0=2 |
2 ^«гф;(0= 2 РуфПО. |
(5.21) |
|
|
|
|
|
|
|
|
аг = (х, ег) |
|
|
|
Pi — (у> 0j)— 2 |
а‘ |
(5.22) |
|
|
|
/= 1 |
|
|
или, в обычных матричных обозначениях, |
|
|
||
|
|
Р =L «, |
|
|
где а |
и р есть «-мерные векторы, являющиеся представлениями х и у по бази |
|||
сам в ЗС и У соответственно; L — матрица размером « X п с элементом |
= |
|||
=(<£W bl) в t-й строке и /-м столбце, представляющая преобразование S3.
Упражнение 5.1. |
|
Показать, |
что область |
значений {у; у = |
S6x, |
х |
£ |
ЗС } |
|||||
и нуль-пространство |
|
{ х ; ^ х = 0 } есть линейные |
пространства. Если число |
||||||||||
измерений ЗС есть «, то показать, |
что сумма |
числа измерений области значений |
|||||||||||
преобразования и нуль-пространства равна «. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Упражнение 5.2. |
|
Пусть матрица L есть представление S3 согласно (5.22). |
|||||||||||
Показать, что определитель L равен нулю тогда и только тогда, |
когда S3 имеет |
||||||||||||
нуль-постранство, отличное от нуля. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Упражнение |
5.3. |
Показать, |
что элементы |
= (S3 <fj, |
0j), |
матрицы |
|||||||
L в (5.22) можно выразить в форме Хц — (<pj, |
to;), |
где { м ;} |
|
определены со |
|||||||||
гласно (5.17). |
|
|
|
Рассмотрим два линейных преобразования: S31 |
: ЗС -*■ |
||||||||
Упражнение 5.4. |
|
||||||||||||
-►у- и й?2 : °У -> ЗС, |
где ЗС, ^ |
и Ж «-мерные линейные пространства; |
‘ty |
со |
|||||||||
держит область значений преобразования SBlt |
& ЗС — ту же область |
для |
S32. |
||||||||||
Выбрав произвольные базисы для ЗС, <У~ vCS£, показать, что составное пре |
|||||||||||||
образование |
S3 = |
S32, |
S3X представляется |
обычным произведением |
матриц |
||||||||
L = L2Lx, где |
Lx |
и |
L2 — матрицы, представляющие S3\ и S32 соответственно. |
||||||||||
5.4 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ, ДЕЙСТВУЮЩИХ |
|
|
|
||||||||||
В ПРОСТРАНСТВЕ L 2 (Т ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Рассмотренные представления удобны для конкретных |
преобразований, |
||||||||||||
но если мы попытаемся применить их для описания линейного |
преобразования |
||||||||||||
вообще, рассматривая его как один из элементов множества линейных преобра зований, то здесь мы столкнемся с серьезными трудностями. Эти трудности связаны не столько с тем, что мы ограничили число измерений пространства входов, сколько с тем, что области значений могут быть существенно различны ми для разных преобразований. Класс преобразований, для которого все эти области содержатся в некотором одном «-мерном пространстве выходов, слишком узок и потому не представляет большого интереса. С другой стороны, класс ограниченных линейных преобразований, определенных на всем пространстве L2 (Т), включает большую часть преобразований сигналов, представляющих интерес для практики. Заметим, что ограниченное линейное преобразование, определенное на L2 (—оо, оо), всегда является линейным оператором, поскольку согласно (5.6) отображения ограниченных сигналов ограничены. С физической
106
точки зрения условие ограниченности оператора указывает лишь на необходи мую устойчивость реализующей данное преобразование системы в том смысле, что сигналу с ограниченной энергией на входе соответствует выходной сигнал также с ограниченной энергией.
С аналитической точки зрения линейные операторы, действующие в L2 (Г), удобнее всего представлять по отношению к непрерывным базисам, описанным
вгл. 4.
Всоответствии с этим, входные и выходные сигналы х (t) и у (/) могут быть
представлены функциями и (s) и v (s) соответственно по отношению к базисному ядру Ф (t, s):
|
|
х (t) |
u (s) ф (t , s) ds, |
|
|
|
(5.22) |
||
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
(5.23) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
</(*)—§ « (S)<P (*. s) ds■ |
|
|
|
||||
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
Для оператора X имеем |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
у (t) —X |
х (t) u (s) ф (t,s) ds, |
|
|
(5.24) |
|||
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
где ф (t, s) = |
Xq> (t, |
s) — есть функция, |
полученная в результате воздействия |
||||||
оператора X |
на ф (t, s), рассматриваемую |
как функцию t |
при фиксированном |
||||||
параметре s. |
Как уже упоминалось в гл. |
4, |
функция ф (t, |
s) |
может не принадле |
||||
жать L2 (Т). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из (4.1 б) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
«(«)= $ 1/(0 6(5. *)*• |
|
|
|
(5.25) |
|||
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
Комбинируя (5.24) и (5.25), получаем |
|
|
|
|
|
|
|||
|
v (s) |
^ и (о) ф (t, |
а) 0 (s, |
t) dadt |
L (s, |
а) и (о) da, |
(5.26) |
||
где |
|
т S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L(s, а) |
0 (s, |
|
o)dt. |
|
|
(5.27) |
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
Аналогия между (5.27) и соотношением (5.20) для дискретного случая очевидна. Дискретные переменные / и i в (5.20) заменены непрерывными пере менными s и сг в (5.27), а представления для входных и выходных сигналов по от ношению к базису ф (t, s) получены интегральными преобразованиями. Интег
ральное |
преобразование и, следовательно, оператор, характеризуется ядром |
L (s, а), |
аналогичным матрице L в (5.22). Из (5.27) мы видим также, что ядро пол |
ностью описывается набором откликов на базисные синалы ф (t, s), рассматривае мые при всех значениях параметра (рис. 5.3).
В качестве конкретного примера рассмотрим вначале часто используемый базис ф (t, s) = б (t — s) при Т = S = (—оо, оо). В этом случае мы имеем просто и = х и v = у. Реакция на базисные сигналы ф (t, s) — h (t, s) есть импульсная
реакция цепи. Как функция t, |
импульсная реакция есть отклик на входной им |
|
пульс, приложенный в момент времени s. Из (5.27) имеем |
|
|
|
ОО |
|
L(s, а) = |
^ б (s—t ) h ( t , a ) d t —h ( s , a ) i |
(5.28) |
|
—ОО |
|
107
Следовательно, один из способов характеризовать отношение вход—выход состоит в использовании в качестве ядра импульсной реакции
|
|
ОО |
|
|
|
y ( t ) = |
^ |
h(t, т) х (т) dx. |
(5.29) |
|
|
— |
СО |
|
Другим часто используемым базисом является |
ф (/, s) = e*2nst, причем |
|||
Т = S = (—оо, оо). |
Такой базис приводит к частотному представлению сигна |
|||
лов и операторов. |
Здесь u — X |
и |
v = У , причем |
X и У — преобразования |
Фурье от х и у. Применяя импульсную реакцию цепи, находим отклик г)’ (С |
||||
s) на базисные сигналы cl2ltst. |
Согласно (5.29) |
|
||
|
|
СЮ |
|
|
я)J(t,s)= |
^ |
h(t, x)e'2nsXdx. |
(5.30) |
|
|
|
—ОО |
|
|
x(t) |
|
|
y(t)=&-x(i) |
|
|
|
v(s)=fs L(s,6)u (6)d6 |
|
|
u(s) |
|
|
|
|
y>(t,s) |
|
|
ip(t,s)-£-^(t,s) |
|
(базис) |
|
|
(отклик на базис) |
|
Рис. 5.3. Свойства линейного преобразования сигнала. |
|
|||
Следовательно, из (5.26) и (5.27) |
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
У (И = |
§ |
H(f, v)X (v)dv, |
|
|
|
|
---- СО |
|
|
где |
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
H(f, v )= ^ |
h(t, |
т) e ~ /2ltf* e/2ltvt dtdx. |
(5.31) |
|
---- ОО
Смешанный базис
Для некоторых применений полезно представлять входные и выходные сигналы относительно разных базисов. Если ф (t,s) — базис для входных сиг
налов, а ф (/, s) — для выходных, то, действуя аналогично предыдущему, найдем
u (s)= ^ L (s, |
а) и (о) da, |
|
s |
|
|
где |
|
|
L(s, a )= ^ '0 (s, |
О 'НС о) dt |
(5.32) |
т
и
гр(С s)=SS<f(t, s).
Для анализа систем с изменяющимися во времени параметрами бывает полезным частотное описание входных сигналов и временное описание выходных
16], т. е. ф (t, s) = e'2jls/ и ф (f, s) =■ 6 (f — s).
108
Тогда, используя (5.32), получаем
СО |
|
1/(0= 5 G(f, /) X (f) d/, |
( 5 . 3 3 ) |
—оо |
|
где G (t, /) выражается через импульсную реакцию следующим образом:
G (t, f) = |
^ h(t, х) е.,2л^х dx. |
(5.34) |
—ОО
Способ, дуальный описанному выше, может служить другим полезным примером [7] представления оператора по отношению к смешанному базису;
в этом случае ср (t, s) = б (t — s), |
cp (t, s) = e'2lts* и тогда |
|
|
ОО |
|
Y (f)= |
J K(f, t)x(t)dt, |
(5.35) |
—00
где
|
00 |
|
K(f, 0 = |
5 Л(т, 0 Q~l2nfx dx. |
(5.36) |
|
— 00 |
|
Классификация операторов
Основные свойства линейных систем отражаются в структуре функциональ ных ядер, представляющих операторы. Свойства ядер удобны для классифика ции операторов. Ниже указаны некоторые часто встречающиеся классы. Мы предполагаем, что область определения операторов есть L2 (—<х-, оо).
Операторы, инвариантные во времени. Для элементов многих физических систем характерно, что выполняемые ими преобразования не зависят от времени прихода сигнала. Независимость от времени есть инвариантность преобразова ния по отношению к временным сдвигам в том смысле, что для любого х и любого ta, если у (t) = SB х (t), то у (t — t0) = SB x (t — t0).
Оператор инвариантен во времени тогда и только тогда, когда импульсная реакция h (t, т) зависит только от разности аргументов t — т. Такую импульсную реакцию обычно записывают как h (t — т) или, еще чаще, просто h (t), подра зумевая, что сигнал поступает на вход в момент т == 0. Согласно (5.29) оператор приобретает форму
|
ОО |
|
|
y( t ) = |
^ |
h (t —х) х (х) dx |
(5.37) |
----- ОО |
|
||
т. е. у есть свертка h и х; свертку |
часто обозначают символически так: у = |
||
= h®x. Изменив переменную интегрирования в (5.37), получим другую запись |
|||
преобразования |
|
|
|
y( t) = |
^ |
k (о) х (а + t) da, |
(5.38) |
|
----- |
ОО |
|
где k (о) = h (—а). Мы пришли |
к |
обычному описанию сигнала, |
получаемого |
в результате операции сканирования. Если пространственно распределенный сигнал х, например, оптическое изображение считывается сканирующим уст ройством, причем перемещение сканирующего «окна» происходит с постоянной
109
скоростью, то выходной сигнал как функция времени соответствует выражению (5.38), где k (о) есть аппаратная функция «окна»**. Сканирование часто исполь зуется в различных системах обработки, и важно помнить, что эта операция эквивалентна фильтрации (инвариантной во времени).
Частотное описание инвариантного во времени оператора особенно удоб но. В этом случае (5.31) принимает вид
|
|
00 |
|
|
H{f, |
V ) = |
$$ |
h ( t ~ x ) z - i 2nlt + i2nvxdi dx^ |
|
о о |
|
|
' е/2л (f—"v) т dxda = H (/) б (/—v) |
|
= 5 h (а) е—,2я^а |
(5.39) |
|||
—00 |
|
|
00 |
|
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
Y( f ) = |
J |
H ( f ) &( f - v) X ( v) d v = H( f ) X( f ) . |
(5.40) |
|
|
— оо |
|
|
|
Функция Я (/) называется |
переда т очн ой ф у н к ц и е й инвариантной во |
времени |
||
цепи.
Используя аппаратную функцию k (о) операции сканирования, можно
записать также |
(5.41) |
У (/) = К* (?)Х (/). |
Другое важное свойство инвариантных во времени операторов состоит в том, что их произведение (5.10) коммутативно. Это следует из того факта, что переда точная функция каскадного соединения инвариантных во времени блоков есть обычное (коммутативное) произведение их передаточных функций, следова тельно, порядок включения блоков не имеет значения.
Тождественный оператор. Тождественный оператор 3 описывается урав
нением х = 3 х для всех х. |
Ясно, что это инвариантный во времени оператор, |
и его импульсная реакция h |
(/) = б (t). Соответствующая передаточная функция |
Н (/) = 1. |
|
Оператор задержки. Близким к тождественному и практически важным оператором (поскольку он реализуется с помощью линии задержки с распреде ленными параметрами) является оператор задержки, отображающей л: (/) в х (t — t0). Соответствующая ему импульсная реакция есть h (t) = б (t — t0),
и передаточная |
функция имеет вид Н (/) = |
е—,2л(°^. |
|
Оператор |
стробирования (умножитель). |
Многие физические устройства |
|
(модуляторы, строб-каскады и т. д.) |
осуществляют преобразование вида |
||
|
у (t) = |
w (t)x (0- |
(5.42) |
Ясно, что этот оператор не инвариантен во времени (кроме тех случаев, когда w (t) — константа, т. е. производится просто умножение на число). Им пульсную реакцию оператора стробирования можно записать в виде
h (t, т) = |
w (t) б (t — т) |
(5.43) |
или, эквивалентно, |
|
|
h (t, т) = w (т) б (t — т). |
|
|
В частотной записи, используя (5.31), |
получаем |
|
ОО
H(f,v) = 55 w ( t ) d ( t - x ) e ~ ‘2n^ + i2nvx dtdx =
** Как ясно из предыдущего, аппаратная функция есть отклик на входное воздействие типа б-функции. В данном примере k (о) есть изображение точечного источника света, получаемое через «окно». Зависимость от а характеризует
изменения выходного сигнала при перемещении «окна» относительно светящейся точки. — Прим. ред.
ПО