книги из ГПНТБ / Лебедкин, В. Ф. Проектирование систем управления обогатительными производствами

случайного векторного процесса r\(t)

= {r\u ..., r ) m } .

Статическую зависимость, описывающую объект О, можно пред­

ставить в виде

Х=Аи

+ ѵ,

(ІѴ.З)

где А — матрица

тхг.

В

точке Ха={х<л,

...,

Хот}

достигается

оптимальное

значение

критерия /.

\ т

Рис.

IV. I . Схема объекта

управления

—

0

z

If(x)

Ur*)

Выражение для математического ожидания средних потерь эф­

фективности оптимального

управления на

интервале

Г у

можно

представить в виде [4]

я - 1

(к

+ 1)

т

А / = 1 Г г 2

I

M{f[X0+l(f)]}dt-f(x'o),

6 =

0

kT

где

ошибка

ступенчатой

аппроксимации случайного

про­

цесса,

S ( 0 = 2

R (0 - Ч ( ^ -

Т'р)]1 1

("Г ~ k ) ;

<І Ѵ : 4 >

ления t = kT

(k = Q, 1, . . . ) ; Г р — время

решения

задачи оптималь-

Т

ного управления; п = — ~ ; П( Ѳ) функция

«окна», равная

единице

в интервале

от Ѳ = 0 до Ѳ = 1 и нулю

при

всех

остальных

значе­

ниях.

m

m

m

f(x~)=f(x0)+

2 ù (xo)(xi-xo+

2

2

-wA-pX

X(xt-x0(xp-Xp\+

. . .

.

(IV.5)

m

m

/с*)=/с*о)+2 2 a

i

P ( x i - x 0 ( x p ~ x p * ) >

( І Ѵ - 6 )

і=і

р=і

где

l< P=l>

• • ••

m -

і = 1 р=1

T T

T

P

p

p

/=0,94 +

1 • 10-\

+

2,7 • 10-4 7;4 +2,8 • 10-3 ^| —4,5

. - Ю " ^ -

- 2 , 8

• lO - Vz . , +

5,5

• 10 - %2 - 1, 7 • \0'\и2+2,7

• \0~%и2

+

+

2,3

• 1 0 - 8 ^ - 3 , 5

• \0-\и3+6А

• 1 0 - ^

+

1,35 • 1 0 - \ и 4

+

+

1,5

• 1 0 - 8 и | —8,2

• 1 0 - 3 7 ) 2 м 4 - 2 , 6

• \0~\и5

+

+

8,9 • Ю~\и5-7

• 1 0 " X .

(IV.8)

где

т]і — расход

концентрата

(выход

готового

продукта),

т/ч;

т)2 —-

содержание

цинка

в

концентрате, %;

ц з

— гранулометрический

со­

став

концентрата, %;

т)4 — гранулометрический

состав

отходов,

%;

г]5 — расход

твердой

фазы

продукта

на

входе,

т/ч;

Ы і — расход

вспенивателя в контрольной флотации, т/ч;

и

г —

расход

вспенива-

теля в основной флотации, т/ч;

из — расход

ксантогената

в основ­

ной флотации, т/ч;

« 4 — расход

медного

купороса

в основной

фло­

тации, т/ч;

W 5 — расход

медного

купороса

в контрольной

флотации,

т/ч;

і — коэффициент извлечения,

%.

5

' • = 2 > ' ( " * + ^ ) 2 + ш>

(ІѴ.9)

1

3,5-10-8

_256ï]2

2

2,3-10-8

— 3600T]2 + 58%

3

6,4-10-7

—2,71)5

4

1,5-10-8

45,627)5 — 27600tj2

5

—7-10-8

630т]2—18,6%.

Функция

(IV.9)

достигает

экстремума при

щ — —г\і

(1 = 1, . . .

. . . , 5). Экстремум достигается

в дискретные моменты

времени

t =

= kT (k = 0,

I . . . ) , в промежутках между

которыми переменные со­

стояния

будут отличаться

от

оптимальных на

величину

Ці(кТ)

—

— hi(t).

Следовательно, вектор

g (t) в данном

случае

будет иметь

вид

25652(0

\

36005а (0-586s (0

5 ( 0 = |

2,7Ç(0

,

(IV. 10)

-45,653(0+27 60052(0

-63052(0 + 18,655(0

/

где |г(0

и £ 5 ( 0 — о ш и б к и

ступенчатой

аппроксимации

случайных

процессов г|2 и и\ъ-

Процессы

rj2 и г)5 статически

независимы, а их автокорреляци­

онные функции имеют вид

^ г

( т )

=

0,57е - 0 ' 0 1 5 ;

^ 5

( г ) =

50еГ0 , 0 2 ,

(IV. 11)

где т — время, мин.

Корреляционная

матрица

вектора

ц,

получаемая

заменой

|г

и |э в формуле

(IV. 10) соответственно

на г\2. и т]5,

будет диаго­

нальной:

B =

dlag{2bbR4„

3 6 0 0 ^ + 5 8 / ^ ,

2 7 ^ ,

27 6 0 0 / ? „ , + 4 5 , 6 / ^ + 630/?% +18,6/?,..

(IV. 12)

Величина средних потерь критерия оптимального

управления

определится

по формуле (IV.7)

после подстановки а*р

= 0 при

І Ф Р

т+ т„

А / = 2 2 > z

(IV. 13)

- 0 . 0 1 5 Г -

Д / = 2 • 10~3

0,36-0,27 4

0,015 7"р

- е ° '

о и г) -

^ (

1

- 0 , 0 2 Г „

(IV. 14)

_ 0

) 0 9 ^ 1 ( 1 -

е -

0 > - )

решении

задачи

управления:

1 — Г р = 0 м и н ;

2 — Г р = 5 м и н ;

3 — Тр =

= 10 м и н ; 4 — ^ = 30 м и н

100 Гр, мин

Если не удается вычислить период решения

по

изложенной

Верхняя оценка общего числа переходов от одного

алгоритма

к другому определяется по формуле

^ S ^ S - r - 4 - -

(IV.15)

k = l

k = l ^ m . N i

Здесь

l = k

11

где yn — наибольший период

решения задачи, и частное округля­

ется до целого числа;

где N— число арифметических

операций.

Пример

организации

алгоритмической

последовательности,

приведенный

И. М. Шенбротом.

Даны

четыре

алгоритма со следующими характеристиками: 7'1 = 1 ч,

УѴі =

= 104 операций; Г2

= 3

ч, N2=W;

Г 3

= 4

ч, ІѴ3 =106 ;

Г 4 = 2 4

ч, JV4 =104 .

Возьмем время в натуральном масштабе,

чтобы

не быть связанными с быст­

родействием

управляющей

машины. Определяя

т, получим m 1 =24;

т2=8;

т 3 =

= 6; т 4 = 1 ;

общее

число

операций составит N=6,26-

10б за 24 ч.

I з \

з

г

ï

г

1

г

i

т- г 1

\з\(

з

I jTtY

Vj I з І з

О

1

2

.3

k-

S

6

21 22

23 2k

Рис. IV.3. Алгоритмическая

последовательность

Время на решение каждого

алгоритма будет

равно

l

~

N

'

Ті=0,04 ч; т2 =0,004 ч; t 3

= 3,85 ч; т 4 =0,04

ч.

Общее время по каждому алгоритму за 24 ч составит:

от,Ті=0,92ч;

т 2 т 2 = 0,03

ч;

от3т3=23,01

ч; т 4 т 4 = 0 , 0 4

ч.

равно:

Общее

число переходов для каждого

алгоритма

будет

/і = 24; / 2 =8 ; /3 =24;

/ 4

= 1 .

Рассчитанная

алгоритмическая

последовательность

показана

Ориентируясь на нормативный срок окупаемости

капитальных

затрат 3 года

можно

выразить

затраты в

единицу

времени S

в функции быстродействия со.

Зависимость

потерь

эффективности оптимального

управления

в функции быстродействия можно

определить

по формуле

где k = 'k ...

п — порядковый номер k-ro алгоритма управления;

Nk — число

операций; ось— коэффициент линейной зависимости ме­

k=\

R

во внешнем

запоминающем устройстве, занимая объем слов, то

оперативное

запоминающее устройство должно быть рассчитано на

л

бором главного

элемента:

„

—

п(п2—1)

•

умножении

3

сложении "

п(п2

— 1)

3

п(п—

1) .

делении

2

где п — число уравнений системы.

2. Обращение матрицы методом заполнения:

умножений

пг(п—1);

сложений

п2(п—1);,

делений /г2,

где

п — порядок матрицы.

3. Вычисление корней полинома методом Мюллера [213]:

умножений n (56/Î +

265);

сложений п (28л +164);

делений 8п,

где п — порядок полинома.

4.

Решение

задачи

линейного

программирования

симплекс-ме­

тодом

[253]:

умножений 2 т 2

(п — m + 1 ) ;

сложений 2 т 2 (п—

т ) ;

делений 2т

(п—

1),

где

m — число

ограничений задачи; п — число неизвестных. Число

итераций принималось равным

2т.

5.

Решение

задачи

линейного

программирования

модифициро­

ванным симплекс-методом [253]:

умножений

2m2 [an + (2 —

а)т+1];

сложений 2m2 [an + ( 2 — a) m];

делений 2т (т — 1),

умножений

2{m-\-s)

2

2m\{nk

— mk-\-l)

+

{m+s)X

ft =

i

X i 2 nk

— m — s-\-\

сложений

2(m-\-s)

2

2ml(nk

—

mk)Jr(m-}-s)X

.ft =

i

xf 2 nk

— m — s

делений 2(m-f-s)

2

2mk{mk

— l ) - f - m + s

— 1

г = 1

где s -^- количество блоков задачи; m^. и

пь. — соответственно число

ограничений и число неизвестных k-ro

блока;

m — число ограниче­

ний координатора.

7. Решение

задачи

квадратичного

программирования

методом

Вулфа [115]:

2(т + п)2(6п

+ т) ;

умножений

сложений 2(т + п)2(6п

+ т) —3(т

+

п)2;

делений 6 (т + п) (т + п—

1),

где m — число

ограничений задачи,

включая

ограничения

на знак

неизвестных; п — число

неизвестных.

8. Решение

задачи

квадратичного

программирования

методом

Франка и Вулфа [115]:

умножений

N(m + n) (т +

п+\)2;

сложений N(m + n)

[т +

п+1)2—1];

делений N(m +

n—l)2,

где N — число

операций;

m — число ограничений

задачи,

включая

ограничения на знак

неизвестных;

п — число

неизвестных.

9. Решение избыточной системы методом наименьших квадра­

тов [142]:

умножений (-|--T-2)«3

+

( - ^ - + 5 ) / i 2

+

ßß;

сложений

—h2)

« 3

+

( - ^ — Ь4]/г 2 +2/гр;

делений

2«2 -j-3nß,

гп

где ß — коэффициент

избыточности,

ß = — ; m — число уравнений;

п — число неизвестных.

Связность

У д е л ь н а я

Количество

объемность

Основные п а р а м е т р ы

(количество

(количество

Класс алгоритмов

Типичные задачи

о п е р а ц и й

о п е р а ц и й

а л г о р и т м о в

з а п о м и н а е м ы х

(средних)

на одно

слов)

входное

слово)