книги из ГПНТБ / Лебедкин, В. Ф. Проектирование систем управления обогатительными производствами

нологического

процесса.

F(X),

Оценивая решение игры, при известной стратегии

видим,

что алгоритм ее чрезвычайно прост. И для случая платежной

функ­

ции К(Х,

Y)

в виде полинома второй степени, не

включающего

произведения различных аргументов из группы {у},

решение

со­

стоит в максимизации соответствующих квадратных

трехчленов,

так как функция (III.228) для

этого случая представляет

собой

сумму трехчленов от аргументов

{у}.

у\,

...,

у0),

Таким

образом, для

нахождения точки Уо=(«/°,

в которой

J (Y) принимает

наибольшее значение, достаточно

опре­

делить точки

у°,

у\,

...,

у0

, в

которых максимальны

соответст­

вующие квадратные трехчлены. Эти значения у0^

гД,

...,

у°т

определяются

с учетом равенства

(III.16).

Рис. 111.34. Структурная схема

си­

2

3

стемы управления с полной информа­

цией:

1 — о б ъ е к т

у п р а в л е н и я ; 2 — с и с т е м а

конт ­

р о л я ; 3 — в ы ч и с л и т е л ь н о е у с т р о й с т в о ; 4 —

-

к о м а н д н о е у с т р о й с т в о ; 5 — р е г у л я т о р ы по ­

4

5

д а ч и р е а г е н т о в

Игра и схема

управления

с полной информацией.

Схемы управ­

оснований считать ситуацию определения режимов у^>, у^>,

у®

(при известных х^, xf, ..., х^) игровой. Тем не менее этот

пример

Вернемся к полиному

(III.218). При известных значениях Хі,

Xz,

Xu задача отыскания оптимальной стратегии Y=(yi,

у2, ...

ут), соответствующей

тахК{х,

у), состоит в решении

равен­

ства

(III.218) на максимум, так как каждый из многочленов

РГ(Х)

превращается в число.

13 З а к а з № 510

193

всех аргументов находятся

в пределах, разрешаемых равенством

(III.214), т. е. üi^Xi^bi-

i =

T7k.

было использовать для выработки управляющей

информации.

Практически все современные схемы управления

разделительными

процессами — схемы с

неполной

информацией.

Естественно

по­

этому, что наибольший

практический интерес

представляют

во­

просы, связанные с построением именно таких систем.

Пусть,

например,

имеется

процесс,

описываемый

функцией

(Ш.217) или (III.218),

что одно

и то же. Система

контроля

спо­

собна обеспечить

измерения

параметров

хи

хг,

• -, хк из всего на­

бора

ХІ, хг,

• • -,

Хн, Xh+u

• •.,

Xh.

При этом

измерение

параметров

{у},

задающих технологические

режимы,

всегда

обязательно. Тре­

буется построить алгоритм (и соответствующую схему)

управления

разделительным

процессом.

Очевидно, задачу можно решить с привлечением

ранее получен­

мент получения информации мог быть любой набор

(конечно, по

отношению к игроку У, но не к

игроку X,

который,

безусловно,

знает, что он выбрал в качестве своей чистой стратегии)

хи+и . •-, Хь.

из параллелепипеда Rk-h'- a^Xi^bi,

i—(h+l)

в случае

игры без

информации и набор (чистая стратегия) из того же

параллелепи­

вестному игроку У заранее.

Рассмотрим оба эти случая.

Случай 1. Игра с неполной информацией в смешанных

стра­

тегиях.

РГ{Х)

Всякий раз при получении информации

все многочлены

в платежной функции (III.218) становятся

независящими

от хі,

функции распределения параметра х,; i=l,h

со скачком, равным

единице, в точке ti = x^.

Рис.

I I 1.35.

Структурная

схема

системы

управления

с

неполной

информацией для

игры

в

смешанных

стратегиях:

/ — объект

управления;

2 — система

контроля;

3 — вычислительное

устройство;

4 — случайный

I ß 1 <

1 <5[

механизм, вырабатывающий распределения частот

Pj(О;

5 — командное

устройство;

ff —регуляторы

—

ностей, но не в качестве варианта для

практических приложений.

Случай 2. Игра с неполной информацией при известных рас­

пределениях неизмеряемых

параметров.

Y известны

В отличии от предыдущего случая,

игроку

априор­

ные распределения F(xh+i),

..., F(xk),

но, как

и в первом

случае,

ются неизменными на протяжении всей игры

(t^oo),

то

распреде­

ления

параметров хі,

х%, ..хь,

при каждом

измерении

меняются

(как было указано ранее, получение информации о xf;

i—\,h озна­

чает

существование

одноступенчатой функции

распределения

13*

195

для рассматриваемого

случая будет такой же, как и в случае

игры

с полной информацией

(см. рис. 111.34), а алгоритм расчета

опти­

К\х,у)=

2

• •

xïk>

УІ'>

• • У 1 ™ -

Он непрерывен на компакте

(ограниченность

и замкнутость об­

ласти

Ѳ гарантирует

компактность), и, следовательно,

по теореме

Кантора для любого

е > 0

всегда

найдутся о і > 0 , ...,

ô\->0, . . .

. . . , о ь > 0 , Я і > 0 , ..., %j>0, ..., Кп>0

такие, при которых

\К(х?\

. . . .

у Р \

. . . . уЯ)-К(х?\

. . .

. . . . х?\

у?\

у%)\<е,

(ІІІ.229)

как только

I x P ' - x P ' k S b

...ЛхР-хПкЪ,,

. . . .

\хУ-хР\<Ълі

\ У І 1

) - У \ 2 ) \ < К

••••

I ^ - ^

' K ^ -

**=[

b \ t a i

] ;

i=TTk,

(Ш.230)

A

j =

\ - ^ L \

;

j=X~ik.

(И1.231)

Каждая

точка

одного

класса

является полноправным его пред-

h

ставителем. Поэтому

имеется Д

П ^

і точек. Подставляя

их ко-

І-Іj=l

К {х,

у} для

ординаты в выражение

(III.218), получим значение

данного класса с ошибкой, не более чем Sä, подсчитанной по фор­

муле (III.216).

Физически величины

ôj и Х3- представляют шаги квантования по

уровню параметров ХІ\ І

=

\ , k и у у,

/ = 1 , m в интервалах

измене­

ния аі^Хі^Ьі

и

Cj^yj^dj

[условия

равенств

(III.214)

и

(III.215)]. Таким образом,

имеется Д* значений параметра

хі,

А2—

параметра

х2,

...,

Ak

параметра

хк,

M — параметра

у и

Ат

—

ft

параметра

у т

, т. е. игрок X обладает Д А *

стратегиями, а

игрок

г = 1

k

ѵ =

П Aj,

(III.232)

a количество столбцов / = 1, n

k

n=

П

(111.233)

ш

1

2

n

1

а п

« 1 2

« 1 «

2

« 2 1

« 2 2

« 2 л

(ІІІ.234)

« v i

а ѵ 2

« ѵ л

ѵ<п,

следовательно,

одному

оптимальному режиму могут

со­

ответствовать

несколько

наборов

хі,

хо, ...,

х&. Объединим

все

на­

боры

Х і ,

Х 2

, .. .,

X f t ,

отвечающие

одному оптимальному режиму,

запишем их в одну строку новой матрицы. Строки этой

матрицы

пронумерованы по

множеству возможных

оптимальных

режимов

1, ѵо

( ѵ о ^ ѵ ) , а количество столбцов

равно максимальному

количе­

ного, поставим нули.

Пусть, например,

режиму і = 1

матрицы

(ІІІ.234)

соответство­

вали

наборы (чистые

стратегии) с номерами

/ = 1 , 10,

100,

120; ре­

жиму

і = 2 — наборы

/ = 2, 9, 90,

101, 115 и т. д. Причем

режиму

і = 5

соответствует максимальное

количество

наборов

/ = 3, 7, 36,

1

1

10

100

120

0

0

0

2

2

9

30

101

115

О

О

21

36

85

32

131

(III.235)

ѵ0

13

20

0

0

0

0

0

Итак, если поступила информация о

том,

что

ХІ = Х ^ ,

ХІ~

=х®,

Xh = x&

соответствуют набору

№

36,

то

оптимальным

режимом для такой ситуации будет режим под № 5.

Рис. III.36. Схема управления для дискрет­

3 h**T~^"

ных

игр с полной информацией:

| /

|-»-ГТ~ТЧ

/ — о б ъ е к т у п р а в л е н и я ; 2 — с и с т е м а к о н т р о л я ; S —

у с т р о й с т в о к в а н т о в а н и я ;

4 — м а т р и ц а з н а ч е н и й ;

і

5 — к о м а н д н о е у с т р о й с т в о ; 6 — р е г у л я т о р п о д а ч и

I—2—Г™

I—£—I

р е а г е н т о в

Предположим, что

получена

информация

о наборе

х°±, х°2, ...

6 5 х°п. Это значит,

что игрок

X применил

стратегию,

включаю­

щую этот набор. Поскольку все остальные неизмеряемые

параметры

мог применить стратегию с любым

из

Ц

Л* оставшихся

наборов.

г = /н-1

Следовательно, задача максимизирующего игрока Y состоит в том,

чтобы

определить

свою

оптимальную

стратегию, если ему изве­

стно,

что

игрок А'

применил

стратегию

вида

(#°,

х°2,

...,

х° ,

xlh+i

,

...,

X*) и

k

неизвестно, какой

из

возможных

JJ

Aj

наборов

применил X в этой стратегии.

i-h+i

В создавшейся ситуации игрок Y может рассуждать

следующим

образом. Игрок X не применяет в данный момент стратегии с на­

борами,

не включающими

х^,

х°,

x°h . Поэтому можно,

вы­

черкнув столбцы матрицы (III.234),

отвечающие

этим

стратегиям,

получить новую

матрицу

игры

\\ац\\

[назовем

ее подматрицей

мат­

рицы

(III.234)] и найти ее решение.

Задача

состоит,

таким

образом,

в решении

игры

(ѵХг), где

k

г=

П А г < д .

(III.236)

/ =

й +

1

Здесь возможны три случая

[124].

Случай 1. Решение игры лежит

в

области

чистых

стратегий.

Для

решения

отыскивается

седловая точка

[146], для

чего

на­

ходятся

min max а0.*

по столбцам

и max min а0.^

по строкам. Если

min max a%=max

min а%,

(III.237)

то игра (ѵ Х'1 имеет седловую

точку: игрок Y имеет

единственную

(чистую)

оптимальную

стратегию,

которой

соответствует

max mina0

и всегда

будет

получать не менее этой

величины.

Таким образом, для рассматриваемого случая при поступлении

информации о наборе

х°,

х°2,

...,

x°h игрок

Y будет

иметь

единст­

венную

оптимальную

(чистую)

стратегию, т. е. набору х°,

х°, ...

...,

x°h

соответствует

единственный

оптимальный

режим.

Всего подматриц

(ѵХг)

будет столько, сколько

возможно набо-

Хі,

хг,

•. -, Хн,

h

ров

т. е.

Ц А*. Поступая

аналогичным

образом

І=І

с каждой из подматриц, находим

оптимальную

стратегию

для

лю-

набора х®,

х№,

...,

х® {1=1,

h

бого

2,

...,

JJ

А^). При этом

по-

max min a'j < min max а^, / = 1 , 2, . . ., П Аг.

(III.238)

ЪаіъРіЯі,

(Ш.239)

V

г

1-

(ш-240)

/ 7 г > 0 ;

? е > 0 ;

2 А = 2 ^=

і=\

5=1

Задача состоит в отыскании оптимальных смешанных страте­

гий игрока У.

Пусть у — цена игры (ѵ Хг), тогда:

апр\+022^2+

• • •

+ < W v > 7 ;

(III.241)

О і , А + о 2 г А + • • • + а ѵ г Л > Y-

Разделим правые

и левые

части

неравенств

(III.241) на у и

положим

(ІІІ.242)

Тогда неравенства

(III.241)

примут вид

« 1 ^ 1 + 0 2 1 ^ 2 + • • •

> і ;

аі2?і + о2 2?2+ - • - +аѵ 2?ѵ >

1;

« 1 ^ 1 + ^ 2 +

- • - + a , r £ , >

1.

(III.243)

Преобразуем систему неравенств

(III.243)

в систему

уравнений,

введя фиктивную переменную Z | ^ 0 :

аи5і + « 2 і 5 2 + • • • + о ѵ і ^ - 2 , = 1;

Оі2Іі + о 2 2 ?2 + - • • + a v 2 Ê , — z 2

= l ;

(III.244)

Ф = 6 Ж , + . • . + 6 , = * +

»+1'~+Р.

(ІІІ.245)

Необходимо

отыскать такие | І и Z|, чтобы они отвечали min Ф

(/ = 1, ѵ; | = 1 ,

г). Для этого

решим

систему

уравнений (III.244)

относительно | :

% 2 ~ C 2 \ Z \ ~\~C22Z2

~\~ • • •

~f~ C2TZT ~T~

k-2\

(III.246)

2V

\і = Ф=гх

V2 c n + z 2

V2 с ' 2 + • •

V2 ^;r +const.

( = 1

1 = 1

i = l

i = l

(III.247)

Задача отыскания

Z | ^ 0

( | = 1, г), при которых

Ф обращается

ного экстремума (min) равенства

(111.247) при условии

£^=0 [247].

Найденные значения z\ подставляем в систему

равенств

(III.246) и определяем

Затем

по формуле (III.242)

подсчиты­

игрок

X.

игрок Y

Описанным

образом

должен

провести

решение

всех

h

(ѵХг)

Д А І

игр

и для

каждой

из

них

определить

оптимальное

І=І

h -

распределение частот рФ ( / = 1 , 2 , . . . ,

П ^ І ) -

t - i

В соответствии с этим система управления разделительной ус­

тановкой

должна включать в себя

случайный механизм,

выраба-

тывающий

h

управ-

П А І распределений р ф . Схематически система

г = 1

ления показана на рис. III.37.

Информация о текущей ситуации поступает на устройство срав­

нения

ситуаций,

которое

вырабатывает команду случайному

меха­