книги из ГПНТБ / Лебедкин, В. Ф. Проектирование систем управления обогатительными производствами

Для аппроксимации последнего уравнения используется фор­ мула

f(Z)^f(xC) = CT<?(Z),

где С~т — транспонированный вектор. (Здесь всюду принято пред­ ставление векторов столбцовыми матрицами; операция транспони­ рования соответствует записи вектора в виде строки).

Если предположить, что Z[n] представляет собой стационарные случайные последовательности, то алгоритм адаптации можно представить в виде

С [ л ] = С [ я - 1 ] + т [ / г ] ^ ' ( - * [ " ] - С г [ л - 1 ] ç ( Z [ / i ] ) . (III.153)

Часто бывает удобно использовать описание системы в виде системы нелинейных разностных уравнений. Поэтому описанный выше способ нуждается в некотором изменении.

Каждая компонента вектора функции f(xu) является конечной суммой

или вектором вида

/(хТіС)=^Ф(хи)С,

где

Ф( * й ) = = | І т Ѵ * С * " ) І І —

матрица линейно независимых функций qvv (xu) размером IXN. Задача идентификации объекта состоит в минимизации матема­

тического ожидания меры уклонения векторного аргумента

J(C)=M {F(x [п\)-Ф(х[п-Ц, u(n-l))},

где F (х [п]) — строго выпуклая функция.

Применяя поисковый алгоритм адаптации к последнему функ­

143

Применяя к Je алгоритм адаптации, обычным способом нахо­ дим алгоритм

управления. При этом управляющее воздействие носит двойствен­ ный характер и служит как средством изучения, так и средством

по результатам наблюдений на некоторые будущие моменты вре­ мени или просто задача экстраполяции измеряемых или расчетных величин.

Постановка этой задачи в системах управления может быть обусловлена двумя обстоятельствами: во-первых, это связано с дискретным контролем показателей качества продуктов обогаще­ ния (содержание металлов в рудах, промпродуктах, концентратах определяется анализом проб, а для управления требуется инфор­ мация об этих переменных в текущий момент времени); во-вто­ рых, при статической оптимизации и реальном масштабе времени необходимо совмещать во времени процессы, разделенные транс­ портным трактом, т. е. возникает задача представить качественноколичественные характеристики продуктов, которые будут полу­

Для решения этой задачи можно применить различные методы, начиная с самого простого и наиболее часто встречающегося — ме­ тода ступенчатой экстраполяции [84, 88], при котором не требуется производить какие-либо вычисления. О значении измеряемой вели­ чины в любой момент t судят по последнему по времени значению (в момент ti). С учетом погрешности измерения Ах (ti) экстрапо­ лируемое значение в момент времени t находится по формуле

Максимальная ошибка предсказания величин этим методом для стационарных эргодических процессов определяется уравнением [84, 86]

144

Нетрудно заметить, что погрешность экстраполяции зависит от статических свойств измеряемой величины и интервала т. Чем круче корреляционная функция, тем меньший интервал т необхо­ димо выбирать. Бесспорно, преимущество этого метода состоит в том, что не требуются какие-либо вычисления.

Однако, если не обеспечивается требуемая точность, то приме­ няют методы тригонометрической [150], параболической [16] стати­ стической [48] экстраполяции.

При разработке систем управления удобно пользоваться по­ следним методом. Это обусловлено тем, что подобрать формы экс­ траполирующих полиномов и их коэффициенты можно при по-

Рис. 111.19. Структура модели экстра полиции

мощи обычных программ расчета регрессии, которыми широко пользуются при разработке математического обеспечения систем.

В основе статистической экстраполяции лежит многочлен

где M — символ математического ожидания.

Здесь не приводятся готовые формы для расчета ошибки экс­ траполяции и коэффициентов заданного числа точек 1, 2, 3 и т. д., так как вряд ли найдется специалист, который будет решать эту задачу, не прибегая к помощи электронных машин (в математиче­ ское обеспечение ЭВМ всегда входит программа расчета уравне­ ний регрессии, с помощью которой можно решить эту задачу). Пользуясь статистической экстраполяцией, необходимо помнить о том, что этот метод хорош для стационарных эргодических про­ цессов. Если же нет информации об этих свойствах случайного про­ цесса, то задачу прогноза следует решать адаптивными методами. Задача экстраполяции состоит в минимизации функционала (III.159). Если структуру модели экстраполяции представить в виде,

Пусть экстраполяция производится при известной структуре уравнения

. или просто

Итерационный алгоритм оптимального подбора коэффициентов

В общем случае, когда экстраполяция производится по точкам, составление итерационного алгоритма, очевидно, не составляет труда.

II1.5. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССА ОБОГАЩЕНИЯ РУД

ВТЯЖЕЛЫХ СУСПЕНЗИЯХ

Процесс обогащения руд в тяжелых суспензиях является пер­ вой операцией, в которой исходная руда разделяется на обогащен­ ную (тяжелую) и обедненную (легкую) фракции по плотности минералов. Обогащенная фракция в дальнейшем измельчается и подвергается флотационному разделению. В результате получают концентрат и отвальные хвосты. Легкая фракция является отваль­ ным продуктом. Каждый из продуктов обогащения обладает качест­ венной и количественной характеристикой. Масса продуктов — есть количественная характеристика, содержание же обогащаемых ком­ понентов определяет их качество.

Характерной особенностью рассматриваемого процесса, как и всех разделительных процессов, является выполнение уравнения балансов, отражающих закон сохранения вещества, которые, кроме того, устанавливают соответствие между качеством и количеством продуктов. Всякие изменения режимов обогащения всегда отра­ жаются на состоянии баланса металлов.

Если при обогащении руды в результате разделения в тяжелых суспензиях извлекается п—1 компонентов, то система уравнений балансов в координатной форме может быть записана в следую-

146

В матричной форме система уравнений может быть представ­

где уа — угссг — вектор, координатами которого являются соответ­ ствующие элементы левой части равенств (III.162); [ßij]— квад­ ратная матрица, составленная из коэффициентов правой части ра­ венства (III.162), или уравнением

циями времени. Анализ уравнений балансов как составляющей ча­ сти математической модели возможен только для временных ин­ тервалов, в которых процесс стационарен.

Уравнения балансов отражают связь между количеством и ка­ чеством сырья и конечных продуктов. С другой стороны, систему уравнений балансов можно рассматривать как математическую модель процесса, устанавливающую соответствие между вектором управляемых входных переменных и вектором выходных координат процесса. Дополнение этой модели уравнениями, связывающими состояние управляемого вектора с управляющими воздействиями, полностью исчерпывает задачу построения статической модели. Таким образом, математическая модель рассматривается как со­ стоящая из соединенных между собой отдельных моделей.

Выделим группы независимых входных (неуправляемых) пере­ менных и управляемых входных в группу выходных параметров.

Если вектор х рассматривать как выходной, то его состояние

матрицы [ ß t j ] следует рассматривать как входные. Поэтому про­ цесс обогащения, в котором в качестве первой разделительной опе­ рации применяется обогащение руд в тяжелых суспензиях, можно

изведением г/2«2, является входным управляемым, так как его со­ стояние всегда может быть задано соответствующим выбором уп­ равляющих воздействий. Число состояний вектора у2а2 бесконечно и вместе с тем ограниченно, поскольку элементы а,{2 не могут быть

менты вектора а2 взаимосвязаны. Выяснение характера этих свя­ зей имеет важное значение и составляет одну из задач, которая должна быть решена при построении математической модели объ­ екта.

Векторы-столбцы ßj, характеризующие качество продуктов фло­ тации, являются управляемыми. Значение элементов каждого из них определяется множеством факторов, например расходами реа­ гентов, производительностью измельчительных агрегатов, крупно­ стью помола и др. Мы также не исключаем, что элементы вектора

мерность построением модели относительно приращений масс кон­

148

выходе легкой фракции у% с содержанием металлов в ней, соот­ ветствующим вектору а2 . Запишем уравнение баланса

рис. 21, б, получаются концентрат и хвосты с содержанием метал­ лов ß,j-f-Aßij в количестве х'.. Тогда

где Ахо — приращение элементов вектора, обусловленное выводом легкой фракции в количестве уг с содержанием металлов в ней со­ ответствующим элементам вектора а 2

(III. 170)

149

AXJ — приращение за счет изменения содержаний, металлов вхо­ дящих в векторы Aßj, у = 1, . . . , л,

Рис. III.22. Структура модели про­ цесса на основе уравнения (III.168)

цйи и ее количества не вызывают приращения элементов матрицы [ßij], характеризующей качество продуктов флотации, то для оп­ ределения приращений масс концентратов и хвостов, возникающих

за счет приращения Ау2, Аа2, достаточно располагать информацией

о состоянии матрицы [ß,j] и вектора у2а2. При этом матрица [ßi.,] выполняет роль линейного оператора.

Связь между содержанием металлов в легкой фракции

Характерной особенностью руды является наличие весьма тес­

имеет важное значение, так как позволяет, с одной стороны, при достаточно стабильной и сильной связи значительно понизить раз­ мерность решаемой задачи, а с другой — использовать меньшее ко­ личество измерительных приборов для контроля процесса.

Исследование корреляции между содержанием металлов произ­ водится по результатам анализов сменных проб методами корреля­ ционного и регрессионного анализов. При этом в качестве аргу­ мента в уравнениях регрессии принимается содержание металла, контролируемого оперативно. Однако использовать информацию о связях между содержанием металлов в легкой фракции следует осторожно. Необходима уверенность в том, что форма связи и ее теснота неизменны для известного сорта руд. Для разных сортов надо получить соответствующие уравнения и применять их при

150

смене качества руды. Для этого необходимо располагать инфор­ мацией о сорте руд.

Если в качестве аргумента уравнений регрессии принять со­

. (III.173)

использовании этого выражения содержание контролируемого ме­

кой фракции уг. Низким значениям плотности будет соответство­ вать малый выход легкой фракции и меньшее содержание ме­ таллов в ней. При увеличении плотности возрастает как выход отвального продукта, так и содержание металлов в легкой фрак­ ции. Вместе с тем одному и тому же значению плотности рабочей жидкости будет соответствовать некоторая совокупность состояний

а 2 и г/г- Это объясняется тем, что состояние рассматриваемых пе­ ременных определяется рядом других параметров, характеризую­ щих реологические свойства рабочей жидкости, минералогический

151

состав, текстурные свойства исходной руды и т. д. Поэтому связи между плотностью рабочей жидкости и выходом, плотностью и содержанием металлов в легкой фракции являются стахостическими, и описать их можно уравнениями математической статн­

Рис. III.23. Зависимость между выходом легкой фрак­ ции и содержанием цинка в легкой фракции при раз­

стики. Эти связи изучают на основе лабораторных и промышлен­ ных экспериментов.

Здесь мы приводим результаты лабораторных опытов, постав­ ленных с целью изучения связей для руд Зыряновского месторож­ дения (рис. 111.23, 111.24, 111.25).

Между исследуемыми переменными не существует причинноследственных связей. Несмотря на то, что увеличению выхода со-

152