книги из ГПНТБ / Лебедкин, В. Ф. Проектирование систем управления обогатительными производствами

полнительно по формулам (III.115) лишь элементы (|+1) - й строки матрицы М.

В этом случае коэффициент множественной регрессии удобнее подсчитывать по формуле

N

P2=2a^fter (III.117)

е=і

При этом появляется возможность наблюдать тенденцию его изменения с повышением размерности, что является отличной про­ веркой правильности выбранных форм связи критерия k с парамет­

Ошибка уравнения множественной регрессии подсчитывается по

сти включения того или иного параметра в уравнение регрессии. Однако, как указывается в работе [125], если полная система

уравнений (III.96) близка к линейно зависимой, то последователь­ ное увеличение ее размерности неминуемо приводит к тому, что по­ сле включения очередного параметра система не имеет решения или решение дает большую ошибку 2& и, следовательно, этот пара­ метр нельзя включать в окончательную форму уравнения статиче­

ниях коэффициентов парной корреляции. Можно отметить ряд при­ чин, объясняющих этот факт.

Во-первых, основные агрегаты и процессы на обогатительных фабриках представляют собой объекты со многими входами,

133

причем, как правило, невозможно выделить какой-либо один вход­ ной или управляющий параметр, оказывающий доминирующее влия­ ние на ход процесса. Выходом из такого положения является разра­ ботка моделей в виде уравнений множественной регрессии.

Во-вторых, для объектов обогатительных фабрик характерно на­ личие значительного шумового фона, вызванного как действием многочисленных неконтролируемых переменных, так и недостаточно высокой точностью измерения ряда параметров.

В-третьих, при постановке эксперимента пределы изменения пе­

параметрами корреляционные отношения.

случайную стационарную функцию у ( t ) , являющуюся результатом

меньше единицы. Физически это можно объяснить тем, что величина

изменения x(t), которая сохраняется в памяти динамического ка­ нала. Очевидно, что с увеличением емкости объекта уменьшается связь между параметрами.

134

В работе [88] подробно рассмотрены употребляемые на прак­ тике искусственные методы учета динамических связей между ве­ личинами применительно к задачам измерения по косвенным пара­ метрам, определены погрешности измерения и области применения тех или иных методов компенсации динамических связей для объ­ ектов, аппроксимируемых одноемкостным звеном.

Одним из методов исключения динамических связей может служить фильтрация. При этом определяется не косвенное, а опре­ деленным образом усредненное значение выходной величины. По­ этому фильтрацию можно применять лишь тогда, когда по усло­ виям задачи допустимо оперировать с усредненными за определен­ ный интервал времени величинами. В этом заключена некоторая ограниченность метода фильтрации.

106]. Одним из вариантов применения этого метода является прове­

максимума. Определенную информацию о сдвиге можно почерпнуть из чисто технологических исследований: для флотационного про­ цесса, например, в ряде случаев в качестве оценки хт можно ис­ пользовать время флотации.

В результате сопоставления значений х и у, замеренных не од­ новременно, а со сдвигом т т , линейное уравнение регрессии можно определить в следующем виде:

Подобная методика позволяет определить истинное значение коэффициентов усиления и степени стохастической связи лишь для объектов, представляющих собой звено с чистым запаздыванием [92]. Очевидно, такая аппроксимация для реальных технологических процессов оказывается весьма несовершенной.

В общем случае, когда величины х и у разделены динамическим

ском режиме. Так, результат, полученный в конце переходного про­ цесса, вызванного ступенчатым изменением входной величины, бу­ дет отличаться от предсказанного по уравнению регрессии.

Известно [275], что коэффициент усиления объекта можно опре­ делить как отношение площади под кривой взаимно корреляцион­ ной функции к площади под кривой автокорреляционной функции

оо

135

В то же время коэффициент при х в обычном уравнении регрес­ сии можно выразить как

< » ' - 1 2 2 >

а в уравнении вида (III.120)

регрессии, так и коэффициента корреляции. Так, например, строи­ тельство усреднительных складов приводит к изменению характера колебаний полезного компонента в руде, поступающей на обогаще­ ние,— колебания станут более низкочастотными. Это, в свою оче­ редь, вызовет изменение коэффициентов уравнений регрессии, свя­ зывающих рассматриваемый параметр с выходными показателями процесса флотации и управляющими воздействиями. Режимы, вы­ работанные в результате решения задачи оптимизации по вновь по­ лученным уравнениям регрессии, не будут оптимальными, так как статическая модель процесса на самом деле не изменилась.

Аналогичное явление наблюдается и при оснащении процесса системами автоматической стабилизации, которые изменяют дина­ мические характеристики отдельных параметров.

При использовании в качестве статической модели уравнений регрессии без учета динамических связей в объекте возникают определенные трудности при корректировке модели. Как известно [62], такая корректировка необходима вследствие влияния мед­ ленно меняющихся характеристик оборудования (износ футеровки мельниц, импеллеров и т. п.). Признаком Необходимости обновле­ ния модели является существенное (в статистическом смысле) рас­ хождение исходных и текущих уравнений регрессии. Однако невоз­ можно разделить эффекты влияния изменений характеристик обо­ рудования и динамических свойств входных переменных.

Перечисленные выше трудности можно преодолеть, если исполь­ зовать регрессионные уравнения с компенсацией динамических свя­ зей в объекте.

Коэффициент корреляции между входной х (t) и выходной у (t)

136

Меняя местами операторы математического ожидания и инте­ грирования и принимая во внимание, что

137

Используя равенства (III.124), (III.126), (Ш.129), (III.131), (III.134) и (III.135) и учитывая, что o*=Rx(0), получим следую­ щие выражения для рассматриваемых коэффициентов корреляции:

j " k (х) Rx (х) dx

(III.139)

138

Отсюда, учитывая равенство ( I I I . 129), получим

Г0 0

ух XX

Выражение, аналогичное (III.141), можно получить и при опре­ делении коэффициента корреляции, используя x(t) и y(t), которые сдвинуты относительно друг друга на хт. В этом случае следует рассматривать максимальные значения коэффициента корреляции, вычисленного по опытным данным, и коэффициента динамической связи

в результате обработки экспериментальных данных, и коэффици­ ент динамической связи, можно определить меру чисто стохастиче­ ской линейной связи между входными и выходными параметрами объекта.

139

Из равенств (III.140) и (III.143) видно, что как коэффициент динамической связи г~ , так и его максимальное значение

XX 7

гтах зависят от динамических свойств входного сигнала объекта.

В связи с этим возникает задача построения номограмм для наи­ более распространенных типов динамических объектов, использо­ вание которых позволило бы определять коэффициент динамиче­ ской связи и корректировать уравнения регрессии.

Известно [107, 214], что подавляющее большинство промыш­ ленных объектов можно с достаточной для практических целей точностью аппроксимировать инерционным звеном первого или вто­ рого порядка. Это подтверждается и опытом определения динами­ ческих характеристик обогатительных фабрик. Кроме того, для технологических схем процессов обогащения характерно использо­ вание замкнутых циклов с возвратом части перерабатываемого про­ дукта в питание агрегата: дробление с контрольным грохочением, измельчение в замкнутом цикле с классификатором, возврат промпродуктов во флотационных переделах и т. п. В связи с этим но­ мограммы будут построены для всех перечисленных выше типов объектов.

Построенные номограммы как для г~ ,, так и для r m a x исполь-

XX

зуют и для объектов с транспортным запаздыванием. Действи­ тельно, при наличии транспортного запаздывания взаимная корре­ ляционная функция RyX(x) и функция г~ (г) будут сдвинуты вдоль

оси X на величину тз. При этом ни максимальная ордината норми­ рованной взаимной корреляционной функции, ни максимальное значение динамической связи не изменятся, что позволяет, ис­ пользуя соотношение ( I I I . 144), определять истинную степень сто­ хастической связи, не зная даже величины транспортного запаз­ дывания. Построив номограммы, можно вносить коррекцию при расчете статических моделей процессов [31, 32].

Задачу идентификации модели объекту можно решить, не при­ бегая к обработке совокупности данных процесса статистическими методами, применением адаптивных методов [239], исходными дан­ ными для которых является текущая информация о состоянии уп­ равляемого объекта. В процессе решения задачи находят оценки характеристик управляемых объектов и используют их для улуч­ шения нормальной работы.

Возможности адаптивных методов велики. Они позволяют оце­

к описанию дискретных процессов и объектов с распределенными параметрами. Возможность и целесообразность применения адап­

140

Описание динамических объектов. Поведение нелинейных дина­ мических объектов в общем случае можно описать или нелиней­ ным разностным уравнением 1-го порядка

141

или системой нелинейных разностных уравнений первого по­ рядка

рывным объектам, управляемым с помощью вычислительных ма­ шин, либо импульсных устройств. При определенных условиях эти уравнения можно использовать для приближенного описания чисто непрерывных систем.

Помимо разностных или дифференциальных уравнений, часто удобно описывать нелинейные динамические системы функциональ­

Равенство (III.152) можно также рассматривать как прибли­ жение соответствующего ряда Вольтера, в котором вместо сумм стоят интегралы, а переменные изменяются непрерывно. Если огра­ ничиться только первым членом функционального ряда Вольтера, то получается уравнение линейной системы.

Идентификация объектов состоит в восстановлении уравнений объекта по входным и выходным данным. При идентификации не­ линейных динамических объектов необходимо знать предполагае­ мый порядок I разностного уравнения. Если / выбрать малым, то точность идентификации может оказаться недостаточной. Если же / взять большим, то объем вычислений вырастает значительно бы­ стрее, чем точность. Поэтому при заданном / требуется определить разностное уравнение динамического объекта.

x[n]=f{Z[n}).

142