книги из ГПНТБ / Лебедкин, В. Ф. Проектирование систем управления обогатительными производствами

стный коэффициент

корреляции

между

К и хх

определяется по

формуле

г

-=

/?12

(111.81)

Кх. (х0

х ь , у, ,

Ут)

V « И

»22

1

'Kl

'Kl

' К

(fe +

m)

1

12

Г 1

(ft +

m)

(111.82)

Г(к + т)К

1

Коэффициенты корреляции подсчитывают обычно по формулам

типа

(111.83)

1=1

' '

где X® и

— текущие значения

аргументов х\ и Хг; п — длина вы­

борки;

Щ\ — —

Х х

(111.84)

I :

математическое ожидание параметра хі\

i=i

(III.85)

дисперсия

параметра Хи* Математическое

ожидание

и дисперсия

параметра х-> подсчитываются аналогично параметру хі.

Остальные частные коэффициенты корреляции подсчитываются

по формулам, аналогичным (111.81).

Заметим, что частный коэффициент корреляции

означает тес­

ноту линейной связи функции k

с аргументом

хі

при

фиксирован­

ных прочих параметрах. На величину частного

коэффициента кор­

реляции влияет лишь факт закрепления

за

остальными парамет­

рами постоянных значений, но не сами

значения

[201].

Меру нелинейной связанности случайных величин

принято ха­

рактеризовать корреляционным

отношением.

Для

многомерных

_

[Vi

2

Уm)

Ѵ'2'--" У m)]

,

(111.86)

ут)~

(х2

У m)

ï f

t

где

k

( х ь .

. ., у

т )

—среднее

значение

k

при

фиксированном

наборе

X i , . . . ,

Xk,

у и

..., Ут, k

—среднее

значение

при

фиксиро-

\х%, .

.

Ут)

ванном наборе

х2 , ...,

xk,

у и

...,

ут\

[k,

,—k,

, ] 2 —

г

'

'

J

'

и

'

1

(х

у т

)

(X,,

• • .,

у т )

'х,

среднее значение по ху\

где

/?и,22-—минор

определителя

(III.82),

получаемый

вычеркива­

нием первой и второй строки и первого и второго

столбца.

Сравнением

частного

коэффициента

корреляции,

например

г.

,

,

с частным

корреляционным

отношением

ті,

,

hx,

(xs

ѵт)

Г Г

'ft*,

(эй

у т )

можно определить форму связи k с Хі. При этом следует

учитывать

следующие случаи:

1.

г.

,

. и т і . ,

.

близки к нулю.

kx,

(х 2 , . . .,

xk, у и

. ., ут)

'fex,

(х 2

xh,

у

, ут)

J

и ху

При этом существует большая вероятность, что связь между k

чрезвычайно слаба и ею можно

пренебречь.

Однако

всякий

раз,

когда по каким-либо соображениям возникают

сомнения

о досто­

верности

рассчитанных

г.

.

.

и т) . ,

,,

следует

приме-

ЯХ\

{Х2^ . . .,

Уш>

ЖЙІ \Х2>

• • •'

Уш>

[206]

нять проверку гипотезы об отсутствии

корреляционной связи

и, таким образом, достаточно надежно определять ее наличие.

2.

г.

,

, »г)

. В

этом

случае

предполагается,

ЯХ\

(Х2, . . .,

Vyff)

ЯХІ

(Ж2» • •

Ут'

следует прове­

что k с ху связаны линейной зависимостью. Однако

рить,

существенно

ли

расхождение

между

г

и

•n

(Xs, . . .,

или оно случайно. Оценить

случайность

или

неслу-

ЯХ\

у )

Ѵ п

( ^ ( х -

ут) r Uof, . .... ym ))

(111.88)

где п — объем выборки из генеральной совокупности.

Если расхождение

случайно, то с большей вероятностью

можно

остается невыясненным

вопрос, какая

зависимость

является

луч­

шим приближением — гиперболическая

или параболическая.

3.

г

, < ті,

,

В этом

случае

наиболее

веро-

hxi

у

)

1 kXi

(х2

у

)

J

г

ятна

нелинейная

форма

связи k и хі. Вид этой формы

связи, как и

в случае 2, неte определен.

Для определения формы нелинейной связи k и Л'І

(случаи 2 и 3)

можно поступить

следующим

образом:

рассчитать

коэффициент

корреляции

между k и х2

[156] из группы

{ху}.

По

формуле

типа

(III.81) определить частный коэффициент корреляции г

2 ,

,

ЯХ^ (Х2,

. . .,

Ут)

и провести сравнение с ранее рассчитанным частным

коэффициен­

том корреляции.

Если гь„2

.соизмерим с kbr

l r

„ ѵ

то с большой ве-

" Х 1 (*2

ут)

к х ' \ Х г ' • • -ут)

роятностью

связь

между

k

и Хі линейна.

Если

гкх^^Хг

у

^суще­

j , то форма

связи должна

быть

парабо

можно ожидать гиперболическую связь k и

Х і .

Надо сказать, что выбор

формы связи

между

параметрами

всегда сопровождается субъективными оценками

исследователя,

особенно в случаях г. „

„ - , ~ / " . 2

и вследствие огра-

к х Л Х г

ут)

К Х 1 \ Х г ' • •

-'ут)

возможно строго определить связь k и Хі.

форм связей k

Окончательной оценкой точности выбранных

со всеми аргументами {х, у} является коэффициент

множественной

регрессии [201]

1

D oo-

(111.91)

минор, получаемый из определителя

(II 1.90)

вычеркиванием

пер­

вой строки и первого столбца;

— формальная переменная,

пред­

ставляющая собой g-й член

искомого

уравнения

регрессии, | =

=т,ж

Часто

можно

обойтись

без расчета

частных

корреляционных

отношений (III.86), сравнивая

лишь частные

коэффициенты корре­

ляции г. „

„ . и г 2

Иногда

удается

воспользо-

ваться известными формами связи параметров. Так, можно

сказать

[27, 28, 95, 96], что форма

связи между

расходом

ксантогената и

pH — параболическая или линейная,

между

извлечением

металла

в концентрат и pH — гиперболическая

или линейная,

между извле­

чением,

гранулометрическим

составом

и

плотностью

пульпы —

параболическая,

между

извлечением

и расходом

ксантогената—•

параболическая и т. д.

В качестве примера

на

рис. III.11—III.17

показано

несколько

кривых, заимствованных

из книги С. И. Митрофанова

[158], и рас­

ные ошибки. Заданные графически

функции аппроксимировались

в рабочих (обычно применяемых

на обогатительных фабриках)

с параметрами {х, у} и определено уравнение поверхности

отклика

k{x, у} в виде некоторого

полинома

k=F(Ba,

Ѳ2, . . . .

Ѳ-,

Ѳ„),

(111.92)

при каждой переменной

( 5 = 1 . Ю-

2

=4~2

(k^rrtuf-

(111.94)

3ft =

1=1

дисперсия отклонений критерия качества k;

^Чг2 И0-™*J"

(Ш.95)

1=1

Рис.

I I I . 11. Влияние расхода из­

$ У

вести на потери молибдена в

хво­

стах

коллективной

флотации

(ре­

зультаты

двух

серий)

[158]:

/ — и з о а м и л о в ы й к с а н т о г е н а т

к а л и я

((/ = —3,02- КУ> * 2 + 1 , 1 • 10« х

- 4 ;

0 = 0,89);

2 — н о р м а л ь н ы й б у т и л о в ы й к с а н т о г е н а т

((/=—1,07 • 105 х 2 + 6 , 1

• 103

* + 6 , 7 1 ;

б =

=0,606);

3— п р о п и л о в ы й

к с а н т о г е н а т

к а л и я ( 0 — 1 , 0 7 • 105

х 2 + 6 , 1 • 103

х + 6 , 7 1 ;

0,00*0,008 Oßl

0,0¥ X

6 — 0,606);

4 — э т и л о в ы й к с а н т о г е н а т

ка ­

л и я ((/ = —3,57-10«

* 2 + 3 , 5 - 1 0 3

*+9,28;

Расход ксантогената, кг/г

0 = 0,286)

S

у

Рис.

I I I . 14. Влияние расхода

вспе-

нивателя на скорость флотации

угля

крупностью

0,074—0,0325

мм

[158]:

«/=—0,02

х 2 +2,66 х + 7 6 8 ;

z

0=0,06

/ — х а л ь к о п и р и т

/

,

174,72

I

(у=

х —

+ 8,06; 0 = 0);

2 — п и р и т

(</=

= й щ 9 + 0 - 0 2 ;

Ô =° ' 0 1 9 ) ;

3 -

г а л е н и т ((/=—0,25

х+3;

6 = 0)

rhtL=rD

Da,-a

\r

ß 2 + . . . + r p o a

M ,

i

(111.96)

TV = г О д , о , а Г

aw

(k — mk)-

(111.97)

5=1

При этом дисперсия 2|. значений k около регрессии (III.97) бу­

дет [201]

2 f t = 4 ( l - p 2 ) ,

(111.98)

где р — коэффициент множественной регрессии,

подсчитанный по

формуле (III.89).

N

(III. 100)

ö2 "l ö,ö2 y2

tlOr, an Г. л

Д =

02 »TV 0 ^ » 2

(III.102)

Яо„

a„ r,

где Ä|g — минор определителя

(III.102), получаемый

вычеркива­

нием |-й строки и |-го столбца.

На этом расчет статической

модели управляемого

процесса за­

Система

(111.96)

записывается в матричной форме так:

где

•-га.

(III.103)

(Ш.104)

. . . . 1

квадратная

симметричная

матрица, составленная

из коэффициен­

тов корреляции г ѳ

ѳ

(ij=l,N);

а =

(III.105)

г=М

•

М',

(III.107)

где матрица

я„

о

о

. . . о

а2 1

а2 2

О . . . О

М--

(III.108)

aNl

AN2

•

• • •

aNN

составляется из элементов

=

N),

которые рассчитываются

по элементам матрицы ( I I I . 104) по

формулам

1 21 I

£2 22

1 г,о.о2

• • •

ЧѲдг

осп

0

о

ап

а2 ,

*ЛГ1

M1

1

. . .

г„

N

а

2 1

а

2 2

о

О

а,

Л

2

Ѳ 0

УѴ2

•22

1

NN

О

. а

1 г0

"N

» 2 ^

2

2

2

(ШЛИ)

= аца2 2 .

V-NN.

1

9*

131

Составим две системы уравнений:

My—s

(III.112)

М'а=у,

(Ш.ПЗ)

где

' у 2

1

(III. 114)

матрица промежуточных

переменных.

Тогда эти системы можно переписать в виде

а2іУі + а22У2 = ГА82

'

а^іУі + а

і Ѵ 2 У 2 +

• • • +<*лнѵУлг='мЛг

(III.115)

а11^1 + а 2 1 « 2 + • •

• + а Л П а

Л Г = Уі;

а 22 а 2 ~ Ь • • • + а Л г 1 а Л ' = У 2 ;

a.NNaN=yN.

(III. 116)

В системе уравнений

(III.115)

тривиальными

расчетами

опреде­

ляются промежуточные переменные уі

( | = 1 , N),

а затем, подстав­

ляя эти значения в уравнение

(III.116), находим

искомые значения

û|, а подстановкой этих значений в (III.93) определяем ôg.

Как видно, алгоритм

расчета

коэффициентов уравнения ре­

грессии прост и требует небольшого количества

расчетных

опера-

M3+9N2+UN

ции, а именно

операции сложения, умножения и из­