книги из ГПНТБ / Кузнецов, Б. Г. Этюды об Эйнштейне

Но наблюдаемым оно становится при появлении реальных частиц с непрерывными мировыми ли­ ниями, при переходе нульмерного пространства в четырехмерное. Такой транстопологический переход и обретает физический смысл в процессе возникно­ вения «реальных» частиц. Он относится, собственно, не к математике, а к логико-математической обла­ сти, к метаматематике. По-видимому, физическое обобщение принципа дополнительности, распростра­ нение его на квантово-релятивистские и релятивист­ ские соотношения связано с физической трактовкой некоего метаматематического алгоритма, описываю­ щего принцип дополнительности в самом общем виде.

3

В теоретико-множественном аспекте дополнитель­

ляется оператором, когда мы имеем в виду физиче­ скую содержательность, или, пользуясь введенным выше выражением,— экзистенциальную истинность

этого соотношения. Представим себе, что А — миро­ вая линия частицы. Утверждение, что мировая точ­ ка а, лежит на А , не имеет физического смысла, не ведет к экспериментально проверяемым выводам. Таким смыслом будет обладать утверждение о дейст­ вительном пребывании частицы в этой мировой точ­ ке. Но объектом экспериментальной проверки могут

380

быть лишь свойства мировой линии, и пребывание частицы в а; имеет физический смысл, если оно изменяет эвентуальную мировую линию А в указан­ ной мировой точке и соответственно вид функции, описывающей форму этой мировой линии. Требова­ ние физической содержательности заставляет припи­

ский смысл, если она не просто состоит из мировых точек аь но состоит из заполненных мировых точек. Каждая экспериментальная проверка закона, харак­ теризующего А , делает проблематичным пребывание частицы на ней, т. е. делает проблематичным физи­ ческую содержательность а е 4 . Речь по существу идет о том, что каждое определение локализации на кривой А сопоставляется оператору вариации, опера­ тору перехода к другой эвентуальной кривой А ' . В свою очередь определение формы кривой А сопо­ ставляется оператору сдвига или приращения функ­ ции. Подобная дифференциально-вариационная до­ полнительность является естественным обобщением идеи нелинейных функций и идеи операторного пред­ ставления координаты и ее производной в квантовой механике. Она расширяет физическую интерпрета­ цию понятий вариационного исчисления. В классиче­ ской физике вариация считалась чисто мысленной операцией и не имела физического эквивалента. Сейчас мы рассматриваем виртуальные процессы как физический прообраз вариации. Указанный про­ образ является физическим только в той мере, в ка­ кой он характеризуется эвентуальной кривой, к ко­ торой направлена вариация. Эвентуальная кривая может быть мировой линией нетривиально-тождест­ венной себе частицы, если она является непрерывной

381

иопределенной. Операторный эффект проверки

утверждения может иметь физический смысл только при непрерывном действии нарушаемого ва­ риацией закона, определяющего множество А . Отсю­ да следует, что вариации носят локальный характер и в макроскопических масштабах не разрушают мно­ жества. По отношению к подобным локальным собы­ тиям каждое множество А является статистическим

множеством.

Математический алгоритм, с помощью которого можно обобщить понятие дополнительности, основан на операторном представлении о логическом сужде­ нии, приписывающем субъекту а; предикат х {. Такое приписывание рассматривается как операция, изме­ няющая другие логические суждения. Тем самым ло­ гическим суждениям придается физический смысл, они сопоставляются с экспериментом и антиципи­ руют эксперимент. Исторически такой алгоритм свя­ зан с развитием релятивистской и квантово-реляти­ вистской логики. Относятся ли к релятивистской и квантово-релятивистской логике замечания Бора о ненужности логики, которую разрабатывали, чтобы придать логически стройный характер нерелятивист­ ской квантовой механике?

В статье «Квантовая физика и философия» Нильс Бор считает неправильными такие выражения, как «наблюдение возмущает явление» или «измерение создает физические атрибуты объектов», выражения, которые кажутся противоречащими обычной логике и служат поводом для обобщения последней — пере­ хода от бивалентной логики с оценками «истинно» и «ложно» к поливалентной логике, например тривалентной, с третьей оценкой: «неопределенно». Если «явление» — это нечто допускающее в принципе ин­

382

формацию, а «йзмеренйё» — это сравнение ,с этало­ ном, то обобщение логики не нужно: утверждения квантовой ¡механики о явлениях и измерениях не противоречат обычной логике и не требуют ее поли­ валентного обобщения *.

Мысль Бора проникает в самое существо вопроса. Квантовая механика вовсе не описывает коллизию «явление — наблюдение» или «физический атри­ бут — измерение». «Явление» — это нечто по самой своей природе допускающее экспериментальное на­ блюдение и бивалентное решение вопроса о сущест­ вовании некоторого физического объекта. Тривалентная логика не нужна и для трактовки «физического атрибута»: последний имеет смысл при наличии мак­ роскопического эталона. Соотношения между «физи­ ческими атрибутами» подчинены бивалентной логике. Позитивно-классическая сторона квантовой механики именно и состоит в указании условий применения к микромиру бивалентных суждений о классических динамических переменных. Но с точки зрения прин­ ципа бытия возможность наблюдения, непрерывность мировой линии, наличие макрообъекта — уже не по­ стулаты, а выводы из более общих допущений. Соот­ ветственно бивалентный логический алгоритм выво­ дится из более общего, и квантово-релятивистские концепции выходят за пределы бивалентного алго­ ритма. Это не переход к другой, например тривалентной, логике. Это — алгоритм возникновения бива­ лентных оценок из других, это — алгоритм перемен­

ной валентности.

Логика переменной валентности вводится совсем

383

йе йотому, ЧтО квантовые понятия «явЛёнйй» й «Из­ мерения» якобы противоречат обычной логике и обычному словоупотреблению. Она необходима по­ тому, что два полюса дополнительности — локальные (дискретные траномутащии) и интегральные опреде­

мам. Для нерелятивистской квантовой механики это несущественно, потому что ее постулатом служит существование макроскопических тел, открывающих дорогу в микромир классическим понятиям ценой их неопределенности. В более общей квантово-реляти­ вистской теории нужно проследить, как возникает понятие непрерывной мировой линии, как возникает возможность игнорировать квантовую структуру поля, взаимодействующего с данным, и т. д. Анализ такого возникновения требует явного логического алгоритма. Чтобы подойти к нему, вспомним уже встречавшееся понятие непрерывного предикатного многообразия *.

Но, собственно, куда, в какую область вводится это понятие? Является ли логика непрерывных пре­ дикатных многообразий логикой? Ведь здесь по существу возникает представление об измерении, о размерности, причем о размерности, неравной нулю, невырожденной; здесь мы имеем дело с непрерыв­ ным пространством, в котором может быть опреде­ лена та или иная метрика. Переход от логики с ко­ нечным числом оценок к логике с бесконечным чис­ лом оценок — это переход от логики к математике, это генезис .понятия континуума; непрерывные пре­ дикатные многообразия служат последним понятием1

1См. стр. 200—208.

384

Логикй и первым понятием математики. Это — логи­ ко-математическое понятие.

Почему же в развитии классической физики ни логические, ни даже логико-математические понятия никогда не формулировались и не модифицировались, почему физика никогда не ощущала потребности в такой формулировке и модификации и соответствен­ но не искала их физического смысла? Эйнштейн сде­ лал большой шаг в сторону физического осмысления математических аксиом и математических понятий, более общих, чем те, которые получили физический смысл в классической науке. Но аксиома параллель­ ных и ее обобщение относились к определению и из­ менению метрики, а не к обоснованию самого поня­ тия метрики; речь шла о структуре континуума, а не об условиях существования континуума (о таком обосновании и о таких условиях говорил Риман, но он отказывался обсуждать их физический смысл). В своей автобиографии Эйнштейн говорил, что «свя­ зи понятий и предложений между собой — логиче­ ского характера, задача логического мышления сво­ дится исключительно к установлению соотношений между понятиями и предложениями по твердым пра­ вилам, которыми занимается логика» '. Понятия и предложения — в том числе математические: кривиз­ на, метрика и т. д .— имеют физические истоки и меняются в зависимости от тех или иных выполнен­ ных или предполагаемых экспериментов. Но связи между предложениями и понятиями имеют логиче­ скую природу и подчиняются «твердым правилам».

Нельзя думать, что Эйнштейн не думал об изме-

нении этих правил. Его замечание о «грехе против разума» — это начало (только начало, и даже «вир­ туальное» начало) иного ряда идей. Эйнштейн не за­ крывает дверей в новую область. Но и не пользуется этой дверью, не переходит в новую область.

В область понятий, которые по существу выросли из идей Эйнштейна. Теория относительности как тео­ рия макроскопических процессов рассматривает дви­ жение тел, обладающих энергией, сопоставимой с их массой покоя, умноженной на квадрат скорости све­ та. Это — область релятивистских соотношений. В об­ ласти микроскопических процессов появляются иные соотношения; здесь встречаются частицы, обладаю­ щие энергиями одного порядка с массой покоя, умно­ женной на квадрат скорости света, и превращения частиц с ненулевой массой покоя в частицы, обла­ дающие лишь массой движения, и обратно. Подобные переходы знает квантовая электродинамика, но они при малых энергиях редки соответственно малой ве­ личине постоянной Зоммерфельда. Это — область квантово-релятивистских соотношений. Наконец, в ультрамикроскопической области переходы частиц с массой покоя в частицы, лишенные массы покоя, и обратно становятся основными процессами, и соот­ ветственно основное значение приобретают ультрарелятивистские соотношения. Если бы представление об элементарных трансмутациях имело некоторое физическое «внешнее оправдание», нам бы пришлось считать ультрарелятивистокие соотношения исход­ ными.

Впрочем, «исходными» только в условном смыс­ ле, как некоторые соотношения, способные обрести физическую содержательность, физический смысл в качестве дополнительных к релятивистским, которым

386

подчинены движения нетривиально-себетождествен- ных частиц. Такой же несамостоятельной, виртуаль­ ной, дополнительной по отношению к другому полю­ су является логическая схема ультрарелятивистского мира. В логическом аспекте существование триви- ально-себетождественной частицы, тождественной себе в данной пространственно-временной ячейке и превращающейся в иную в соседней ячейке, означа­ ет, что мы можем приписать субъекту (частице) только один и никакой другой предикат (положение). Отметим — это важно для дальнейшего,— что уже скорость нельзя приписать тривиально-себетождест- венной частице. Скорость — локальное отображение мировой линии, ее направления, ее формы. Всего этого у тривиально-себетождественной частицы нет, как нет и других определений, дополнительных к ло­ кализации (ускорения, массы, заряда, спина и т. д.). Что же касается положения, то тривиально-себетож- дественной частице может быть приписан только один предикат — одно значение каждой из коорди­ нат. Когда закон движения не определен, нетриви- ально-себетождественная, реальная частица может находиться в любой мировой точке, отделенной от начальной временноподобным интервалом. Закон движения частицы, определяя .мировую линию, вы­ бирает из этих возможных мировых точек действи­ тельные и каждый раз отвечает на вопрос, находит­ ся ли в данной точке частица. Ответ не является тривиальным, поскольку существование частицы (субъекта) не связано однозначно с ее мгновенным положением. Тривиально-тождественная себе части­ ца не может находиться в иной пространственно-вре- меннбй клетке, и поэтому на аналогичный вопрос о ее положении ответ будет тривиальным: для дан­

13* 387

ной точки всегда «да», для других — всегда «нет». 'Оценка этих утверждений всегда будет одна и та же: «истинно». Мы встречаемся здесь с моновалентной логикой *.

Моновалентная логика — это логика, не перехо­ дящая в математику: никакого непрерывного преди­ катного многообразия нельзя составить из предика­ тов, которые принадлежат не тождественному себе в нетривиальном смысле субъекту, а различным, не­ тождественным субъектам. Моновалентная логика не может иметь физического смысла без бесконечно­ поливалентной, так же как нульмерное пространство без четырехмерного и вообще «-мерного ( п > 0) про­ странства, как ультрарелятивистские соотношения без релятивистских, как виртуальные процессы без «реальных», как трансмутации в дискретных клетках без непрерывных мировых лрний. Все это различные аспекты одной и той же фундаментальной дополни­ тельности локальных и интегральных характеристик, указывающих на существование физического объ­ екта.

Чтобы видеть, как локальные характеристики со­ единяются с интегральными, нельзя обойтись без метаматематического, логико-математического алго­ ритма. Подобные процессы нельзя описывать только с помощью чисто математического (континуальноматематического) алгоритма, в частности с помощью гамильтонова формализма и всех методов, означаю­ щих прослеживание движения частицы от точки к точке и от мгновения к мгновению. Ведь речь идет

овозникновении континуальных понятий и методов,

издесь необходим дискретно-континуальный алго-1

1См. стр. 212.

588

ритм, алгоритм перехода от дискретных понятий к континуальным, алгоритм, соответствующий пере­

Чтобы дать более четкое представление об этом по­ нятии и пойти дальше, понадобятся некоторые сим­ волы математической логики. Мы будем обозначагь предикаты буквой х\ если же речь идет о различных предикатах, то также буквами у , z и t. Такими же буквами обозначаются суждения о принадлежности субъекту а предиката х или соответственно другого предиката. Подобное суждение можно также выска­ зать в форме: «Субъект а входит в множество X субъектов, обладающих предикатом х ( а е Х ) » , Тож­ дественный себе в нетривиальном смысле субъект обозначим через А\ субъект, рассматриваемый ло­ кально, когда его нетривиальная себетождественность

389