книги из ГПНТБ / Автоматизация обогатительных фабрик

Следует учитывать, что часть параметров процесса ие может быть измерена непосредственно. Их обычно находят расчетным путем ло данным измерений или анализов проб, полученных при опробо­ вании. Эти параметры включают в общую таблицу, им присваивают -соответствующий номер и после проведения расчетов записывают их значения.

При планировании опробования устанавливают общую продол­ жительность эксперимента Т, общее количество измерений каждого параметра N, а также периодичность измерений параметров и отбора проб (интервалы At между сериями измерений).

Общую минимальную продолжительность эксперимента прини­ мают TmIn is ЗТk (Tk — период колебаний измеряемого параметра ■самой низкой частоты).

Так как для флотации Т* составляет 3—5 ч, то наблюдение за про­ цессом следует вести не менее 15 ч. Для уменьшения влияния вре­ менного дрейфа характеристик аппарата на измеряемые параметры целесообразно устанавливать максимальную продолжительность экс­ перимента не более четверти межремонтного периода. Для флотаци­ онной машины наименьший межремонтный период (по блокам им­ пеллер — статор) составляет в среднем 2 месяца, следовательно, максимальная продолжительность эксперимента, проводимого на фло­ тационной машине, не должна превышать 15 дней.Если в исследуемый объект включены гидроциклоны, для которых межремонтный период (по песковым насадкам) равен в среднем 1 месяцу, то максимальная продолжительность эксперимента на таком объекте не должна быть больше 7—8 дней.

Число измерений N по каждому параметру зависит от ха­ рактера и размерности решаемой задачи, распределения плот­ ности вероятности параметров и их динамических характеристик. Для определения N можно воспользоваться методикой, изложен­ ной в литературе [64]. При опробовании флотационного про­ цесса обычно принимают N — 90 — 120, что обеспечивает достаточно

низкое среднеквадратическое отклонение коэффициентов корреля­ ции (аг).

гического процесса каждая серия измерений характеризует ситуа­ цию, сложившуюся в исследуемом объекте в соответствующий мо­ мент времени, то для повышения точности регрессионного анализа необходимо, чтобы величины параметров каждой последующей серии измерений не зависели от предыдущих. В этом случае для определе­ ния интервала опробования может.быть использован метод, который заключается в следующем [64].

На исследуемом объекте производят серию измерений основных параметров процесса с произвольно выбранным небольшим интерва­ лом (3—10 мин). Значения параметров заносят в таблицу. Затем определяют для каждого параметра коэффициент автокорреляции по формуле

150

2 № - * ) 2 t=i

где iV — количество измерений параметра; X, — значения параметра,.

рая определяет необходимую величину интервала опробования Д£0. В общем случае функция г = / (At) нелинейна. Для определения интервала опробования производят расчет коэффициентов автокорре­ ляции последовательно увеличивающихся интервалов. Расчет можно закончить, когда значение коэффициента окажется в области |г |^

0,05.

Так как при опробовании процесса иногда требуется одновре­ менно измерять несколько параметров в одной точке, то значения At определяют для всех параметров, а интервал опробования для данной точки процесса устанавливают по Д£отах.

Важным условием при составлении графика опробования является учет времени запаздывания измерений входных и выходных пара­ метров, что необходимо для обеспечения достоверности корреля­ ционного анализа, которому подвергаются указанные параметры. Для расчета времени запаздывания может быть рекомендована фор­ мула

—тз+ (0,6 — 0,7) Г,

где ти — сдвиг времени между измерениями входного и выходного параметра; т3 — время чистого запаздывания по входному параметру;. Т — постоянная времени объекта.

Обе величины т3 и Т определяют для каждой операции флотации снятием разгонной характеристики по исследуемому параметру,, используя известные приемы [64, 104], или путем анализа взаимокорреляционных функций [105].

Хотя пассивный эксперимент относительно прост и доступен в производственных условиях, он имеет следующие недостатки:

трудность разделения эффектов взаимодействия ряда параметров процесса;

большие неточности в определении коэффициентов регрессии вследствие изменения переменных в узком диапазоне при хорошо налаженном процессе;

трудность определения ошибки предсказания.

В том случае, когда объект исследуют для разработки системы автоматического управления, проведение пассивного эксперимента целесообразно для приближенной оценки как статических, так и ди­ намических свойств исследуемого объекта.

151

Некоторое повышение надежности результатов исследования промышленного процесса с помощью пассивного эксперимента может

•быть достигнуто проведением повторных экспериментов для полу­ чения усредненных данных при близких режимах работы объекта.

Система автоматического управления, разработанная по данным пассивного эксперимента, способна с достаточной степенью надеж­ ности закрепить показатели процесса в пределах, более узких, чем при ручном управлении.

Дальнейшее совершенствование системы управления связано с оптимизацией процесса, что требует более строгого и детального описания управляемого объекта. Эта задача может быть успешно решена проведением активного эксперимента в процессе нормальной эксплуатации автоматически управляемого объекта. Наиболее эф­ фективными при этом могут оказаться методы адаптационной опти­ мизации технологического процесса.

Корреляционный п регрессионный анализы. Корреляционный и регрессионный анализы обычно применяют для определения ста­ тических характеристик объектов управления в процессе их нормаль­ ной эксплуатации.

Экспериментальные данные, полученные в результате специаль­ ного опробования технологического процесса, обрабатывают вруч­ ную или на цифровой вычислительной машине по специальным про­ граммам.

J>uc. 115. Отношение содержания меди к содержанию никеля в пенном продукте з зависимости от температуры пульпы:

1 — экспериментальная зависимость; 2 — теоретическая зависимость

152

Основной задачей регрессионного анализа является определение коэффициентов уравнения регрессии (чаще всего полинома заданной степени) и проведение статистического анализа для оценки его каче­ ства.

Рассмотрим для примера зависимость отношения содержания

флотации от температуры t медно-никелевого концентрата (рис. 115). Корреляционное поле представлено сравнительно небольшим числом точек (N = 72). Поэтому исходные данные можно обработать вруч­

В нашем примере значения параметров разбиты на 8 равных ин­ тервалов, которые условно занумерованы цифрами от 1 до 8. Сначала найдем зависимость между параметрами, выраженными в условных единицах, а затем выполним обратное преобразование для перехода к натуральным единицам.

153

Верхнюю часть табл. 3 заполняют подсчетом числа точек, попав­ ших в заданные интервалы изменения параметров (цифры в центре клеток). Нижнюю и правую части табл. 3 заполняют подсчетом соот­

ветствующих сумм. Вычисленные средние значения Yx в каждом интервале X обозначены иа рис. 115 кружками. Ломаная линия, соединяющая средние значения функции, называется э м п и р и ­ ч е с к о й л и н и е й р е г р е с с и и .

Для расчета т е о р е т и ч е с к о й л и н и и р е г р е с с и и воспользуемся методом наименьших квадратов. Сущность метода заключается в следующем.

Пусть искомая линия регрессии представляет собой прямую. Тогда каждой комбинации значений параметров а0и ах соответствует определенное значение суммы квадратов отклонений эксперименталь­ ных точек от указанной прямой.

L = X ( Y i- a 0- a 1Xr-. i=i

Среди множества возможных комбинаций а0 и а1 существует, по крайней мере, одна комбинация, при которой функция L при­ нимает наименьшее значение. Соответствующая ей прямая наиболее точно описывает систему экспериментальных точек. Для определе­ ния параметров прямой приравняем нулю частные производные L, взятые по переменным а0 и а^.

N

l L - = 2'2i (Yi - a 0- a 1X ) ( - i ) = 0,

1=1

N

Подставляя в уравнения вычисленные значения сумм, получим: 72а0 + 314^ = 369, )

314о0 + 1568а1 = 1748. } ’

откуда а0 = 2,08 и аг = 0,70. Таким образом, Y = 2,08 + 0,70Х. Пользуясь уравнением прямой, проходящей через две заданные точки, напишем выражения, связывающие переменные Y и Рси/Рш» X и t. Согласно табл. 3 имеем

154

Откуда

F = -3 5 ,2 + 1 4 ,3 4 ^ ,

PNi

X = - 2 5 ,9 + 0,41.

Подставим полученные выражения Y и X в уравнение, выведен­ ное методом наименьших квадратов. После несложных преобразова­ ний получим

- j^ - = l,35 + 0,02*.

Важным показателем корреляционного анализа является коэф­ фициент корреляции гху. При использовании данных табл. З1 он может быть вычислен по формуле

= __________ ____________________________

Гху ViN2>Х2~(2 XY] lNЪ^2- (2 у)2] ’

Внашем примере

г_ _________ 72-1748 —314-369___________ __ п

ху V [72 •1568- (314)2] [72 •2071 —(369)2] _ ’

Для оценки тесноты нелинейной корреляционной связи рассчи­ тывают корреляционное отношение по формуле [71]:

Пользуясь данными табл. 3, найдем общую среднюю

155

Искомое корреляционное отношение

В общем случае корреляционное отношение удовлетворяет неравен­ ству

Корреляционное отношение т] ^ |г|. В нашем примере ц = г = = 0,73, что указывает на линейную корреляционную зависимость исследуемых параметров.

Если график регрессии Yx = / (X ) изображается кривой линией, то корреляцию называют криволинейной. Например, функция ре­ грессии Y на X может иметь вид Yx = а0 + ахХ -f- а2Х 2. Выбор формы корреляционной связи обычно производится на основании априорных сведений о характере взаимосвязи исследуемых парамет­ ров или построением эмпирической линии регрессии и анализом формы кривой. Неизвестные параметры уравнения регрессии опре­ деляют методом наименьших квадратов, оценку тесноты криволи­ нейной корреляции производят по корреляционному отношению.

Процессы флотационного обогащения являются в основном много­ факторными и случайными. Поэтому решение большинства практиче­ ских задач по их математическому описаншо можно производить методом множественной корреляции.

В случае линейной связи, например, между тремя параметрами X, Y и Z, возникают следующие задачи:

1) определить коэффициенты уравнения,

Z = a X + b Y + c;

2)оценить тесноту связи между Z и параметрами X и У;

3)оценить тесноту связи между Z п X (при постоянном У), между Z и У (при постоянном X).

Первая задача решается методом наименьших квадратов. Если

переменных много, то для избежания ошибок вычислений и сокраще­ ния затрат времени на расчеты обработку данных следует выполнять на вычислительной машине. Современные вычислительные машины для решения подобных задач снабжены необходимыми программами.

Следует иметь в виду, что определение коэффициентов нелиней­ ного уравнения связи многих переменных при большом числе ис­ ходных данных без применения современных вычислительных ма­ шин практически невозможно.

Необходимые сведения по теории вероятностей и математической статистике, используемые для изучения процессов флотационного обогащения, достаточно полно изложены в специальной литературе [63, 64]. Наибольший интерес для изучения технологического’ про­ цесса как объекта автоматического управления представляют ме­ тоды, позволяющие математически описать его оптимальную область.

156

В следующем разделе показано, что такая задача может быть решена

встатике методом выборочного регрессионного анализа, и дано описание метода.

Математическое описание оптимальной области технологического процесса методом выборочного регрессионного анализа. Промышлен­ ные технологические процессы на обогатительных фабриках харак­ теризуются непрерывным изменением количества и качества исход­ ных продуктов. Это затрудняет применение методов поиска экстре­ мума для определения оптимального режима переработки сырья с заданной комбинацией возмущающих параметров. Необходимая для разработки системы автоматического управления информация об оптимальной области технологического процесса может быть полу­ чена в результате специального опробования процесса и статистиче­ ской обработки результатов методом выборочного регрессионного анализа [107].

Регрессионный анализ выборочных данных позволяет определить зависимости управляющих параметров Х ( от наиболее важных возмущений а;- для условий стабилизации одного или нескольких выходных показателей процесса на заданном уровне, условий дости­ жения экстремальных значений одним или несколькими критериями оптимизации, а также для других условий, например, одновременного выполнения нескольких технологических, технических, экономи­ ческих и других требований.

Следует иметь в виду, что наилучшие технологические результаты, содержащиеся в исходных статистических данных, могут принадле­ жать лишь к определенным комбинациям уровней входных парамет­ ров (например, известно, что извлечение металла повышается при флотации более богатой руды). В то же время необходимо иметь информацию об оптимальном управлении при всех возможных ком­ бинациях уровней входных параметров, включая наиболее «трудные» в технологическом смысле ситуации. Поэтому для решения, напри­ мер, экстремальной задачи можно рекомендовать следующий поря­ док составления выборки из таблицы исходных статистических дан­ ных.

Значения каждого из асу параметров сравнивают с их средними значениями осу-. Считают, что параметр находится на верхнем (+ )

уровне, если а ;- ^ а-п и на нижнем (—) уровне — в противополож­ ном случае. Составляют матрицу для полного факторного экспери­ мента 1 типа-2” , где п — число возмущающих параметров. Матрицу Дополняют данными о применявшихся режимах управления и до­ стигнутых при этом показателях.

Разбивка исходных данных на блоки (комбинации а ;- параметров) и анализ эффективности управления в пределах каждого блока поз­ воляют включить в рассмотрение технологические ситуации, при которых достижение относительно высоких показателей принципи­ ально невозможно. Математическое описание оптимальной области

1 См. «Активный эксперимент» глава II.

157

и предварительные алгоритмы управления технологическим про­ цессом могут быть получены в результате регрессионного анализа выборочных данных, относящихся к лучшим «опытам» в каждом блоке.

Если зависимости показателей технологического процесса от каж­ дого из а ;- параметров имеют экстремальный характер, разбивка исходных данных на блоки не производится. В этом случае мате­ матическое описание оптимальной области может быть получено методом модифицированного «гнездового» анализа [108], сущность которого состоит в следующем.

Пусть в результате множественного регрессионного анализа всего исходного статистического материала получена система урав­

Из общего массива данных можно выделить те комбинации пара­ метров, которым соответствуют лучшие реализации процесса, на­ пример,

F Ss F ,

Zy =э= Zy, Z2^ Z2, . •.,

где У и Z; — средние значения показателей.

В результате множественного регрессионного анализа этих дан­ ных получим систему уравнений, подобную системе (1). Коэффици­ енты этой системы примут новые значения, поскольку они характе­ ризуют в известном смысле оптимальную область технологического процесса, а не весь процесс в целом.

Аналогично можно поступить и с этой выборкой, включив в рас­ смотрение те значения параметров, которым соответствуют более

неквадратическое отклонение.

Таким образом, по мере исключения из общего массива точек, не удовлетворяющих требованиям оптимальности, коэффициенты уравнений (1) при oclt ос2, а 3, . . ап образуют некоторую последо­

158

вательность чисел, асимптотически сходящуюся к некоторым пре­ делам. Математическим описанием оптимальной области непрерыв­

видно, —3 К = 5 3. При \К \ 3 границы области сужаются. При этом требования к оптимальности становятся более строгими. Однако при |К |-*■ 3 и при условии нормальности совместного рас­ пределения показателей У и Zt вероятность того, что технологиче­ ский процесс окажется в оптимальной области, становится как угодно близкой к нулю. Следовательно, математическое описание «более оптимальной» области опирается на ограниченное количество вы­ борочных данных. Поэтому оно является менее достоверным. В этом состоит основное противоречие выборочного регрессионного анализа. Для получения надежных результатов необходимо, задавшись ко­ эффициентами Ку и К z., правильно определить объем исходной вы­

борки.

Будем обозначать символом (У, Z) cz D событие, состоящее в по­ падании случайной точки (Y , Z) в заданную область D. Вероятность такого события

P((Y, Z)czD) = \\f(Y, Z)dY dZ,

где / (У, Z) — плотность распределения системы величин У и Z. Пусть, например, границы оптимальной области D процесса описы­ ваются следующей системой неравенств — ограничений:

Если при этом случайная точка (У, Z) на плоскости подчинена нор­ мальному закону

УZ -30Z

= [Ф (3) - Ф (0)] [Ф (0) - Ф (- 3 )] = (1 - 0,5) (0,5 - 0) = 0,25,

159