книги из ГПНТБ / Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия

12

Т О Ч Е Ч Н О - М Н О Ж Е С Т В Е Н Н Ы Е

О Т О Б Р А Ж Е Н И Я

[ГЛ .

I

вогнуто,

если

а (ах

- I -

(it/)

ZD а

а (ж) +

[5а

(у)

(а,

р >

0,

а

-|- р -

1;

ж,

у €=

положительно

однородно,

если

я, (Я.ж) =

Ха (х)

(к >

0,

ж €Е

tfi),

супераддитионо,

если

а (жх

+ ж3) 3

а (жх)

+

а (ж„)

(жх,

ж2

Е Е

i f j ) ,

гейловское,

если

а

(0) =

{0}.

Ниже описываются некоторые простые свойства ото­

бражений,

определенных

на конусе.

П р е д л о ж е н и е

4 . 1 . Если

а —

вогнутое

отобра­

жение

и 0 Е Е а (0),

то

а (Хх)

о

Ха(х)

[X <

1,

ж Е Е

а (|хж) с

и а (ж)

(и >

1,

ж Е Е

# 1 ) .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

1)

Если

X ^

1, то для ж ЕЕ

а {Хх)

=

а (АЖ +

(1 -

Я) 0)

=)

Ха (ж) +

(1 -

X) а (0)

^

:э Ха

(х).

2) Пусть

р >

1,

ж Е Е

Положим

г/ =

рж. Тогда

а (ж) = а (~-

yjz2-~a(y)^-j-a

(us).

П р е д л о ж е н и е

4.2. 1)

Если

отображение а вог­

нуто и положительно

однородно,

то оно супераддитивно;

2)

если а супераддитивно и положительно однородно, то

оно вогнуто; 3) если а супераддитивно,

вогнуто и 0 Е Е а (0),

то

а положительно

однородно.

С У П Е Р Л 1 Ш Е Й Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я

73

Пусть теперь \i Ё> 1. Положим u, = Е

+

и,' (где

Е (и.) — целая часть и., и/ <^ 1). Имеем, используя

супер-

аддитивность и предложение 4.1,

а (|хж) CZ

(^) •

а (ж) =

a (-L ijj =

- i - й (г/) =

- i

- а (рж).

Таким образом, и в этом случае а (и,ж) =

и.а (ж).

Предложение

доказано.

П р е д л о ж е н и е 4.3. Пусть

а — супераддитивное

отображение и существует элемент х из Кг

такой,

что

множество а (ж)

ограничено.

Тогда

а — гейловское

ото­

бражение.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Предположим,

что

пред­

ложение неверно и существует элемент у из

Кх (у =f= 0)

такой, что у Е Е а (0).

Используя супераддитивность

а,

нетрудно

проверить,

что

для

любого

натурального

п

2пу

е

а (0),

т. е. а (0) неограничено. Но поскольку

а (ж) =

а (ж+0) ZD

ZD а (ж) -J- а (0), то а (ж)

также неограничено, что противо­

речит

условию.

Предложение

доказано.

П р е д л о ж е н и е

4.4. 1) Если

а — вогнутое

ото­

бражение,

| — выпуклое подмноо!сество Кг, то множество

а (£)

выпукло; если

а — положительно

однородное

ото­

бражение, £ Е Е П (/£]), § — конус, то множество а (£)

явля­

ется конусом.

Z — график-

2)

Множество

отображения

а — выпукло

тогда

и только

тогда,

когда

отображение

а вогнуто;

Z

является конусом тогда и только тогда,

когда

а положи­

тельно однородно.

74

Т О Ч Е Ч Н О - М Н О Ж Е С Т В Е Н Н Ы Е

О Т О Б Р А Ж Е Н И Я

[ГЛ.

1

Д о к а з а т е л ь с т в о очевидно.

С л е д с т в и с.

Если а—вогнутое отображение,

ХЕЕКХ,

то множество а (х)

выпукло.

Из второй части предложения 4.4 и формулы (3.1) легко

вытекает

П р е д л о ж е н и е 4.5. Пусть

множество

а (К±)

яв­

положительно

однородно)

тогда

и

только тогда,

когда

вогнуто

(соответственно,

положительно

однородно)

ото­

бражение

аГ1.

П р е д л о ж е н и е

4.6.

Вогнутое

замкнутое

гей-

ловское отображение

а: Кх

—>• 11 (К2)

ограничено.

Доказательство этого предложения опирается на сле­

дующую

простую

лемму.

Л е м м а 4 . 1 .

Выпуклое

замкнутое подмножество

О,

пространства

X,

содержащее

нуль

и

не

содержащее

ни

одного луча (с

вершиной в

нуле),

ограничено.

Д о к а з а т е л ь с т в о

л е м м ы .

На

единичной

сфере S

пространства

X рассмотрим функцию а:

а

(х)

=

max {а

ЕЕ

R1

\ ссх ЕЕ

Я}

(по определению, max пустого множества равен нулю).

Из условия следует, что 0

а

(х)

< ^ оо при всех

х

ЕЕ S.

Для

доказательства

леммы

достаточно

проверить,

что

sup

а (х) <[ оо.

Предположим,

что

sup а(х)

=

оо,

и

. r e s

. \ e S

найдем последовательность (хп)

элементов сферы S такую,

что а (хп)

^> /г. Не

умаляя

общности,

считаем,

что

су­

ществует

i i n i хп

=

х.

Пусть

N

— произвольное

нату­

ральное число. Тогда Nxn

ЕЕ

Я

при всех

п ^> N и,

стало

быть, Nx ЕЕ Я. Таким образом, Я содержит луч

(ах)а>0,

что

невозможно.

Лемма

доказана.

Д о к а з а т е л ь с т в о

п р е д л о ж е н и я

4.6.

Покажем

сначала, что

в

условиях

предложения

образ

а (£) любого выпуклого компакта

£

является

ограничен­

ным

множеством. Положим

£ = со (| (J{0}) =

U

^Е-

'•6= [0, 1]

С У П Е Р Л И Н Е Й Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я !

75

предложения 4 . 1

, ~

а (|) с: а

|j

(А,>1), и потому

при X ;> 1

Из сказанного

следует, что

для

любого

натурального

п найдется элемент

хп и з J , для которого

» Е Е а ' ( 1 . п ) .

Поскольку множество | ограничено, то

— хп ->- 0, и

Пусть

теперь

т) — произвольное

ограниченное

под­

множество конуса Кх.

Тогда множество

\ = со rj является

выпуклым

компактом. Поскольку

a (г|) С

в (?),

то

а (н)

ограничено. Предложение

доказано.

С л е д с т в и е .

Если

а — вогнутое

замкнутое

гей­

ловское

отображение,

х ЕЕ Кг,

то множество

а (х)

яв­

ляется

выпуклым

компактом.

П р е д л о ж е н и е

4.7.

Пусть

а:

Кх

П (К2)

—

вогнутое отображение,

причем а (К-у) f]

r i К%

=f= ф.

Тогда,

если х0

ЕЕ

r i Кх,

то

а (х0)

[}

r i К2

=j= Ф-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

По

условию, найдется точка

х'

из Кг

такая, что а (х') [)

r i К2

ф

Ф- Так как х0

ЕЕ

r i

Кх,

то

при достаточно

малых

положительных

а

элемент

У ~

' " " i

в х одит

в

Ki-

Имеем

а (х0)

=

а (ах'

+

(1 — а) у) З а а

(х')

+

(1 — а) а

(у).

Предложение

доказано.

2. Монотонные

отображения.

Отображение

а:

Кх

—>

-у

П (К2)

назовем

возрастающим

(соответственно,

убы-

76

Т О Ч Е Ч Р Ю - М И О Ж Е Г / Г П Е Н Н Ы Е

О Т О Б Р А Ж Е Н И Я

[гл. I

вающим), если

из неравенства

*)

х' >- х" (х ,

х" Е Е

К Х )

следует,

что

а (х') 3 а (х")

(соответственно,

а (х')

CZ

Справедливы

следующие

простые

предложения.

П р е д л о ж е н и е

4.8. Для

того

чтобы

отобра­

жение

а возрастало,

необходимо

и

достаточно,

что­

бы для

любого

у Е Е а (Кх)

множество

а"1

(у)

было

Кх-ус-

тойчиво.

Доказательство

очевидно.

П р е д л о ж е н и е

4.9. Для

того

чтобы

отображе­

ние а убывало,

необходимо

и достаточно,

чтобы для лю­

бого у Е Е а (Кх)

множество а~х

(у)

с каждой

своей точкой

х содержало конусный отрезок

<0, ху =

{х'

Е Е Кх

\ х' <s: х}.

Доказательство

очевидпо.

П р е д л о ж е н и е

4.10. Пусть

а:

Кх

П (К2)

—

вогнутое

отображение,

обладающее

теми

свойствами,

что для любого

х Е Е

К,

1)

0 Е Е a (х),

2)

множество

а (х)

замкнуто.

Тогда

отображение

а

возрастает.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть х',

х"

Е Е Кх,

х'

^>

х".

Тогда

для любого

а Е Е Ю,

1)

выполняется

неравенство

принадлежит

получим

а (х')

=

а (ах"

+

(1 — а) у а )

3

аа (х")

+

(1 — а) а

( у а ) 3

З а а (х")

(0 <

а

<

1).

Пусть у

Е Е а (х").

Тогда, как следует из приведенных выше

соотношений,

ay

Е Е

a (х')

(а

Е Е

[0,

1)).

Так как

множество

а (х')

замкнуто, то

l i m

ay =

у Е Е

я (я').

а->1—о

*)

Мы считаем, что пространство

Хх

упорядочено

конусом

Кх.

таким

образом,

неравенство

х'

^>

х"

означает,

что

х'

=

х" +

у,

где у G

Кх.

С У П Е Р Л И Н Е Й Т Ш Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я

77

Таким образом,

а (х")

CZ а (х'),

что

и

доказывает пред­

ложение.

4.11. Если

а — супераддитивное

П р е д л о ж е н и е

отображение конуса Кх

в П (Кг),

обладающее тем свойст­

вом, что О GE а (х) (х ЕЕ Кх),

то оно

возрастает.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если х'

^

х" (хг,

х" ЕЕ

Кх),

то

а (х') = а (х" +

(х' — х")) ZD а {х") +

а (х' — х")

ZD а

(х").

Предложение

доказано.

З а м е ч а н и е . Пусть отображение а

: К х

П (К2)

возрастает

П р е д л о ж е н и е

4.12. Пусть

ах — отображение

конуса Кх

в П (К2),

az

— отображение конуса К2

в П (К3)

(здесь

К2

CZ Кг).

Если

отображения

ах и

аг

обладают

одним из следующих свойств: вогнутостью,

положитель­

ной

однородностью,

супераддитивностыо,

являются

гейловскими, то и отображение

а2 ° ах

обладает тем же

свойством; если отображение ах

возрастает

(соответст­

что отображение

а» ° ах

вогнуто.

Пусть

х',

х" ЕЕ Кх,

а ЕЕ [0,

1]. Тогда

а2°ах (ах'

-]- (1 — а) х") =

U

а2

(у)

W£a.i(ax'-\-&—a)xf')

=>

U

(аа2(у') +

(1~а)а2(у"))

=

= а

U

в« ( Л + (*-<*)

U

аг(зГ)

=

= аа2 °ах (х')

+ (1 — а) а2оах (х").

Предложение

доказано.

4. Суперлинейные отображения. В

этом пункте опре­

С У П Е Р Л И Н Е Й Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я

79

3

а м е ч а и и е.

Пусть

Z

—

замкнутый

конус,

лежащий

в

в

Х±

X

ЛГ2, и (0,

у)

ф

Z

при

у

ф

0. Тогда

конус Prj Z

замкнут.

В

самом деле,

пусть

хп

Е

PrxZ

(п

=

1, 2,

. . .),

хп

-*

х.

Найдут­

ся

элементы

уп

е

Къ

такие,

что

(хп,

уп)

6Е Z.

Последователь­

ность

(уп)

ограничена

(в

противном

случае

последовательность

^ l y - j j - ^ . i / , , ) ^

имеет

предельные

точки вида

(0,

у),

у

ф

0,

что

невозможно).

Не

умаляя

общности,

считаем,

что

(уп)

сходится

к некоторому элементу и.. Так как конус Z

замкнут, то (х, и)

е

Z

и,

стало

быть,

х 6Е P r x

Z.

П р е д л о ж е н и е

4.15.

Пусть

а ЕЕ

А

(Кг,

К2).

Тогда

для

любого

g El К2

функционал

qg,

определенный

на конусе Кг

формулой

qg

(х) =

max g (у)

{х ЕЕ Кг),

суперлинеен.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Полунепрерывность

сверху

функционала qg

следует из предложений 3.3 и 4.13. Если

хх,

х2

ЕЕ Кх,

то,

учитывая

положительность

g,

имеем

qg{xi

+

x2)

=

=

max

g(y)>

max

(g (уг)

+ g (y2))

=

=

max

g ( T / i ) +

max

g {y2)

=

qg

(xx)

+

qg

(x2).

Мы показали,

что

qg

— супераддитивный

функционал.

Подобным же образом легко проверить, что

qg

положи­

тельно

однороден.

Предложение

доказано.

Пусть а ЕЕ А (Кх,

К2).

Отображение па

назовем

нор­

мальной

оболочкой

отображения

а,

если

для

любого

х ЕЕ Кх

множество

(7га) (х)

совпадает

с

нормальной

обо­

лочкой (в смысле конуса К2)

множества а (х).

Иными сло­

вами,

(па)

(х)

=

п

(а

(х))

(х

ЕЕ

Кх).

Отображение

а

назовем

нормальным,

если

а =

па

(т.

е.

для

любого

х ЕЕ Кх

множество

а (х)

нормально

в смысле

К2).

Некоторые

свойства

нормальной оболочки

будут опи­