книги из ГПНТБ / Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия

а, получим,

что

у ЕЕ p,a(-jj-j; кроме

того,

X ЕЕ [0, р].

Таким образом, а0

((ж, p.)) c i а0 ((ж, р.)).

Обратное включение

очевидно.

а0 совпа­

Как отмечалось выше, график отображения

дает с конусом Со (Z0),

где

Zo = {((г, Ц),

М) е Arx X Хг | (ж, г/) ЕЕ Z, р =

1,Х ЕЕ [0, 1]

(здесь Z — график

отображения а). График отображения

а0 — множество Со (Z0 )

— представляет

собой

выпуклый

жительно

однородное

замкнутое

отображение.

Если

х ЕЕ Ку, р ^> 0, то множество о 0 ((х, р)) ограничено;

при­

влекая

предложение 4.3, получим

отсюда, что а0 — гей-

ловское

отображение. Наконец, из соотношения а (Ку) f)

П i n t K2=j=

ф легко

следует, что

а0 (Кх) f] i n t К2

=j= ф.

{(ж, р) ЕЕ Кх\ р ^> 0},

то относительные внутренности r i Zx

и r i Z 2

этих

множеств

также совпадают. Последнее озна­

чает,

что Zx

— Z2 .

Предложение доказано.

П р е д л о ж е н и е

11.2. Пусть

а ЕЕ В (Ку,

Кг)

и & — суперлинейное

расширение

отображения

а.

Тогда

для х ЕЕ Ку

а ((х,

0)) CZ а (х)

X

{0}.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

(у,

X) ЕЕ & ((ж,

0)).

Так

как

а (0)

=

{0},

то

а ((0,

1))

=

{0}

X [0,

1),

и

по­

тому

(0,

1) ЕЕ $ ((0,

1)). Учитывая, что отображение &

супераддитивно,

имеем

(у,Х +

1) CZ & ((х,

0)) +

а ((0, 1)) =

d ((ж, 1)),

откуда следует,

что у ЕЕ а (ж), X =

0.

О Б О Б Щ Е Н Н А Я Т Е Х Н О Л О Г И Ч Е С К А Я

М О Д Е Л Ь

201

Предложение

доказано.

Следующее предложение показывает, что операции

произведения и перехода к суперлинейному

расширению

перестановочны.

11.3. Пусть

ах

ЕЕ В (Кг,

К2),

П р е д л о ж е н и е

а2 ЕЕ В (К2,

К3).

Тогда

а2°а.х =

&2°аг.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Отметим

сначала, что, как

следует из предложений 4.12, 4.6, 3.2, отображение

а2°ах

входит в В (Klt

К3),

и потому имеет

смысл

говорить о

суперлинейном расширении этого отображения.

1) Покажем, что

fl8"a1((a:Il))

= d a ou 1 (( a ; 1 l)) .

(11.7)

а) Пусть (у, X) ЕЕ а2°аг

(0е . !))• Тогда

X ЕЕ [0, 1]; кро­

ме того, у ЕЕ а2°а1 (х),

и

потому

найдется

z

из К2

та­

кое,

что у ЕЕ а2

(z),

z ЕЕ ах

{х).

Имеем

(У, Ь) ЕЕ &2 ((z, 1)) с

й2 (d, (х, 1)) =

а2ойх

((х, 1)).

Таким образом,

а2оах({х,

1)) с: &2°о\((х, 1)).

б) Пусть(г/Д)ей2 °а1

((х, 1)); тогда найдется (z, V ) E E # 2 ,

при

котором

(У, X) ЕЕ йв ((*, v)),

(*, v) ЕЕ йх ((ж, 1)).

Из

последнего

соотношения

вытекает,

что

z ЕЕ fl-aCz),

v ЕЕ [0, 1]. Предположим

сначала, что v

0. Тогда

J/EEva2 (-f),

l 6 [ 0 , v ] .

Так как

а2 (0) =

{0},

то, в силу

предложения 4 . 1,

« 2 ° « 1 ((я, М-)) =

&2°&1

({X, |l))

(Ll >

0).

3) Мы показали, что суперлинейные отображения

а2°ах

и й2°ах

совпадают

на

внутренности

конуса

Кх.

нейному

расширению.

П р е д л о ж е н и е

11.4. Пусть

а El В (Klt

К2).

Тогда

для (/,

с) ЕЕ

( W ,

*)) = {(*, с') е

£Е(^2 )* | / (я) + с

>

sup (g (*/) + с')

Зля

любого х ЕЕ /fi}.

уеа(а:)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

1) Пусть (g, с') ЕЕ (#)' ((/, с)).

Тогда

если х ЕЕ ЛГц то а ((х,

1)) =

а (х) х

[0, 1], и пото­

му

(/, с) ( ( * , ! ) ) >

sup

(§-,с')((г/Д)),

иеа(х), ?.e[o,i]

/(s) + c >

sup (*(у) +

С)-

(" - в)

уеа(.-с)

2)

Пусть

для любых

х ЕЕ # i

выполнено (11.8). Нам

надо показать, что для любого элемента z =

((ж, и.), (у, X))

конуса

Z — графика

отображения

а — имеет

место

неравенство

f{x)

+

c\L>g

(у)

+ с'К.

(11.9)

Так

как

этот

конус

есть

замыкание

множества

{((х',

и/), (г/', А,')) ЕЕ"2\|х' >

0}, то, не

умаляя

общности,

можно

считать, что ц. ^> 0. В этом случае

—

Е~а(—\,

§ 11]

О Б О Б Щ Е Н Н А Я Т Е Х Н О Л О Г И Ч Е С К А Я М О Д Е Л Ь

203

3R =

{Е, ( Х , ) , е Е ,

(К,),еВ,

( < ъ Д т . , )

е Е }

и наряду с ней объект

Ж =

{Е, (XT)LGE,

{Kt)l&B,

(dt,«)( t i 0

d g }.

Из предложения

11.3 следует, что SR — технологическая

семейство

х =

(xt)ieE

является

траекторией

обобщенной

модели

50} тогда

и

только тогда,

когда

семейство %

=

=

((xt,

1))гей является траекторией модели СЮ.

Т е о р е м а

11.2. Пусть

х — внутренняя точка ко­

нуса К0

и % =

{Xt)t<=E

— оптимальная

траектория моде­

ли

59}, исходящая

из

точки

х

и

обладающая свойством

(А)

(т.

е.

существует /т ЕЕ К*т

такой,

что fr

(Зт)

<

<

sup

/ (у) и

х

оптимальна

в смысле /т).

Тогда

най-

дутся семейства ф =

(Jt)t<=E (/< ЕЕ Kt) и v

=

(vt) t<=M (S't —

неотрицательное

число) такие, что

а) для любой траектории

% =

{xt)tl=E

модели 5R

функ­

ция Лх ,

определенная на Е формулой

M 0

= ft(*t) +

v,

(tEEE),

убывает,

б)

функция h-

постоянна,

в)

fT

= fT,vT

=

Q,ftj=0

(t<=E).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим

суперлинейное

расширение 59} модели 50} и траекторию

х

=

((xti

1) Ь &Е

§ l i ]

О Б О Б Щ Е Н Н А Я Т Е Х Н О Л О Г И Ч Е С К А Я М О Д Е Л Ь

205

(Л), то можно гарантировать лишь существование семейств {ft)teE

и

( v / ) J e E , удовлетворяющих условиям а) и б) и таких, что |[ ft || +

>

ф = (/;)(6=Е и

v = b>t)teE таких, что (Д., v T ) е

К.,)'(/,, v ( ) ((т, t) еTZ),

Последнее

означает, что неравенство

/,(*,)+ v,</,(*,) +

v,

Ж = { { 0 , 1 , 2 , . . .}, (Х,)/=о, (К,)Г=о, № о } ,

(11-12)

где пространства Xt

и конусы Kt

(t =

0, 1, . . .) таковы же,

что и в технологической модели, Qt

— выпуклое

замкну­

тое множество, лежащее в прямом

произведении Kt

X

X Kt+1

и обладающее следующими

свойствами: (0, 0) ЕЕ

ЕЕ Qu

(0, у) ф Qt

при y=h0,

Pr s Q 4 П i n t Kt+1

=f= ф. Че­

рез at

обозначим

отображение,

графиком которого

слу­

жит Q ( . Полагая

От,* =

a^°ax-i° • • • °at

(т^> t),

нетрудно записать модель (11.12) в стандартном виде

59? = {Е, ( X ( ) / e J J , (Kt)teE

(fl,.«)( T ,0 gg}

206

О П Т И М А Л Ь Н Ы Е

Т Р А Е К Т О Р И И

[ Г Л .

Ill

Используя теорему 11.2, нетрудно дать характеристи­

ку конечных траекторий модели (11.12). С этой целью

прежде всего покажем, что отображения at можно рас­

пространить с сохранением их свойств на весь конус

Kt.

Пусть

а — точечно-множественное

отображение,

гра­

фик которого Q лежит в прямом произведении выступаю­

щих

воспроизводящих

замкнутых

конусов

К'

и

К".

Так же как и в случае отображений, определенных на ко­

нусе, отображение

а назовем вогнутым

(соответственно,

замкнутым), если Q выпуклое (замкнутое) множество; бу­

дем говорить, что а монотонно

(возрастает),

если из ус­

ловий

хг,

х2

ЕЕ

PrxQ,

хх

— х2

ЕЕ

К'

следует,

что

а

(хг)

ID

а [х2).

11.5. Пусть

множество Q, лежа­

П р е д л о ж е н и е

щее

в прямом

произведении

К'

х

К"

конусов К'

и

К",

является

графиком

вогнутого

замкнутого

монотонного

отображения

а, причем а (0)

=

(0)

и Pr2 Q f ] i n t i f " =j= <£>•

Тогда найдется

отображение

а ЕЕ В (К',

К"),

возраста­

ющее и такое,

что

а {х)

— а (х)

(х

ЕЕ

Ргх й).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим

множество

Q

=

Q +

(К'

X

{0}). Так

как

(0, 0) ЕЕ

Q,

то при любом

z

ЕЕ

Я '

ЕЕ

а

(х)

=

{у ЕЕ

К"

|

(х,

у)

Q}

непусто. Таким образом, отображение а, графиком кото­

рого является

Q, определено на всем конусе К'.

Из вы­

пуклости множества

Q следует,

что это отображение во­

гнуто. Покажем, что

а — замкнутое

отображение,

иными

словами, проверим замкнутость й. Пусть {(хп,

уп))

ЕЕ

^

и

(з„,

Уп) -*• (я,

У)- Тогда хп =

хп

+

х"п,

где

(хп,

у„)

ЕЕ

U

и

х£ ЕЕ

К'-

Из

ограниченности

последовательности

((хп, уп)) вытекает

ограниченность

последовательностей

(aVi), (хп) и (уп).

Не умаляя общности, считаем, что после­

довательности

(sQ

и

(х'п)

сходятся

к элементам х'

и ж"

соответственно. В силу замкнутости Q справедливо вклю­

чение \х',

у)

ЕЕ

й; кроме того, х"

ЕЕ

К',

откуда и следует,

что (х, у) ЕЕ

Q-

Таким образом, отображение а замкнуто.

Очевидно,

что

а (К')

(~| i n t К"

=j= ф.

Покажем

теперь,

что

для

х ЕЕ

Prx Q

справедливо

равенство а (х)

— а

(х).

В самом деле,

включение а (х)

а а (х) очевидно.

Пусть

теперь

у ЕЕй(х).

Тогда

(х, у) = (х', у') + (х",

0), где

у' ЕЕ а (х').

Из сказанного следует, что у =

у', х — ж' ЕЕ

ЕЕ К'.

Так как

отображение а

монотонно,

то у ЕЕ а (х),

откуда

и следует нужное

нам

равенство. Из сказанного

вытекает,

в частности, что а — гейловское

отображение.

Проверим,

что а монотонно. В самом деле, если а; ЕЕ К',

то (х, 0) = (0,

0) + (х,

0) ЕЕ Й + (К' X { 0 } ) = Q, т. е.

f(xT)<

sup f(y).

у S Рга £JT

Тогда

найдутся

функционалы /0 , • • •, /т

и числа

v 0 , . . ., VT

(ft ЕЕ Kt*,

V i > 0 ,

t=0, 1, . . ., T) такие,

что

а)

/, (x)

+ v,>/, + 1 (y) + vl+1((x,

z/)EEQ„

1=0,1,...,

T-l),

б)

/, («i) + vt= ful

+ v , + 1

(t = 0 , 1 , . . ., T),

в)

fT = f,vT = 0,f,=l=0(t

=

0,l,...,T).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Наряду

с обобщенной

мо­

делью

(11.12) рассмотрим

обобщенную модель

ё Т = { { 0 , 1 , . . . , т}, (X,)L„, (Kt)L0,

(«C.«W<X<T},

((/t>

v i) ) такой,

что ft =

О, v ( = l при всех

t. Эта харак­

теристика не представляет интереса. Сказанное, в част­

ности, означает, что оптимальные траектории

модели S0J,

вообще

говоря,

не

обязаны

иметь характеристику

((/(> v t))i г Д е

ft =h 0, даже если они исходят из внутренней

точки конуса К0.

В связи с этим

охарактеризуем эти

траектории несколько иным способом, нежели употреб­

лявшийся

ранее.

Для этого

вернемся

к

конечным

оптимальным траекториям.

Пусть

% =

(S,)i=0 — ^-шаговая

траектория модели

3R и существуют семейства (/,)iL0

и (v,)/L0

такие, что при

всех t = 0, . . ., Т — 1

M * ) +

v , > / J + 1

( 0 ) + v , + 1

( ( X , I J ) E E Q , ) ,

(11.13

ft

(%i) +

v, =

(ж/ + 1 ) + v l + 1 ,

(11.14)

и,

кроме

того,

VT = 0. Используя

последнее

равенство,

можно из формулы

(11.14) найти числа v i 5 а именно,

V, = /T(ST)-//(«<)•

(11-15)

Вычитая из соотношения (11.13) равенство (11.14),

полу­

чим,

что при всех t и (х, у) ЕЕ &t

fi(x)-fdX,)>fl+1{y)-ft+1(Xl+l).

(11.16)

Обратно, если семейство (/i)<=0 таково, что при всех t

выполнено

(11.16),

то,

определив

числа

vt

формулой

допускает характеристику,

если найдется последователь­

ность ф = (ft)

(где ft ЕЕ Kt,

ft =j= 0) такая, что при всех

t =

0, 1, 2, . . .

ft И - ft (St) > fui (У) -

f!+i (s,+ 1 )

((х, у) ЕЕ Q,)

и,

кр ше того, ft (%t) >• 0. При этом

последовательность

Ф называется

характеристикой траектории х- (Если С31

является технологической

моделью

(т. е. множества Qt

суть конусы) и Pr2 Qj = Kt+l,

то это определение совпада-

редь оптимальность

траектории %.

Имеет место

Т е о р е м а 11.4. Пусть

обобщенная технологическая

модель (11.12) такова, что отображения at

(t = 0, 1, . . .)

монотонны. Пусть,

далее,

оптимальная

траектория

является граничной

сверху

точкой множества Pr 2 Q T _ 1 .

Тогда траектория

% допускает характеристику.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из условия теоремы следует,

(Л).

Поэтому,

в силу

теоремы 11.3, найдутся семейства

(fJ)t=o

и

b>l)J=a,

для которых

выполнены

соотношения

(11.13),

(11.14)

или,

что то

же самое,

(11.16). Иными

словами,

г и любом t (Т ^

t <; т) найдется константа ct

(не зави­

сящая от т) такая, что || f || =sC ct.

В самом

деле, при

t = Т можно положить с( = 1. Предположим,

что при

некотором t^T

константа с( существует, и покажем, что

можно найти число ct+l,

обладающее

нужным свойством.

Так как х1+1

не является

граничной

сверху точкой мно­

жества Pr2 Q,,

то найдется элемент и ЕЕ i n t Kt+1

такой, что