Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

11.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 347 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Т О Ч Е Ч Н О - М Н О Ж Е С Т В Е Н Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я

[ГЛ . I

П р и м е р . Пусть Й х = Q 2 = R\- Отображение а определено следующим образом: а (X) = [0, X] (X £Е R\)- Так как a (R\) = R\, то отображение аГ1 определено на всей неотрицательной полуоси. Для |х е R\

а'1 (и.) = {X | ji е [0, X]} = [ц, + со).

График Z отображения а изображен на рис. 10, график Z'1

Рис. И.

отображения а - 1

—

на

рис. 11. Для

X £Е R\

имеем

а2

(X) =

а (а (X))

а ([0,

X])

(X),

т. е. а2

а. Для

всех

натуральных

а1

а.

Найдем

теперь

( а - 1 ) ' .

Имеем

( а " 1 ) ' (X) =

( а ' ) " 1 (X) =

а-*

(А)

е Д } ) ,

т. е. а - '

а - 1 (i =

. . .). Определим,

наконец,

а °

а - 1 .

Пусть

fx е R\-

Тогда

(а

о а"1 ) (и.)

а (а" 1

(ц)) =

а Цц,

оо ))

а (v)

R1..

Таким

образом,

отображение

а ° а -

сопоставляет

каждой

точке

X всю

полуось

R\.

2. Замкнутые отображения. Будем теперь считать, что Qx и Q 2 суть подмножества конечномерных векторных пространств Хг и Х2 соответственно, причем в простран ствах Xt (i — 1, 2) введены каким-то образом нормы.

Отображение а множества Qj в П (Q2 ) назовем зам кнутым (или полунепрерывным сверху), если график Z

этого отображения замкнут. В терминах последователь-

Э Л Е М Е Н Т Ы Т О П О Л О Г И Ч Е С К О Й Т Е О Р И И

ностей замкнутость отображения означает следующее:

если (хп) — последовательность				элементов		й 1 ?	хп -»- х,
г/л G5 а (хп),	уп^>~ у, то	х е	Я, у ЕЕ а (х).			Заметим,		что
из замкнутости отображения			а,	определенного			на	мно
жестве Я х , вообще говоря, не следует					замкнутость Я х .
Приведем простой пример, подтверждающий это об
стоятельство.
П р и м е р	1. Пусть	X1 =	X2=R1,	fix	=	fi2 =	(0, +	оо),

Графиком отображения а является множество

Отображение а замкнуто, в то время как Q x не замкнуто.

Из формулы (3.1) немедленно следует, что замкнутость отображений а и а~л эквивалентна.

Введем теперь определение замыкания отображения. Если а — отображение множества Я х в П (Я 2 ), то замы канием этого отображения назовем отображение а, гра фик которого Z совпадает с замыканием графика Z ото бражения а. Заметим, что, замыкая некоторое отображе ние, мы можем, вообще говоря, расширить его область определения.

В дальнейшем будем считать, что множество Я х замк
нуто. Отметим некоторые простые				свойства		замкнутых
отображений.			Пусть	а:
П р е д л о ж е н и е		3 . 1 .			й х	-»- П (Я2 ) —
замкнутое	отображение, \ — компактное				подмножество
Qx. Тогда	множество	а (£)	замкнуто.
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Пусть	уп ЕЕ а (£) (п = 1,


2, ...), уп -»-		у. Пусть, далее, хп				— произвольный элемент
множества а~г (уп)			(~\| £. Не умаляя общности, можно счи
тать,	что	последовательность				(хп)	сходится,			и	пусть
х =	l i m хп.	Из	определения			замкнутого			отображения
теперь следует, что				у ЕЕ	а (х)	и, стало		быть,		у ЕЕ	а (\|).
Предложение			доказано.
С л е д с т в и е .				Если	а — замкнутое				отображение,
то для любого ж ЕЕ Я х множество							а (х)	замкнуто.

З а м е ч а н и е 1. Нетрудно проверить, что утверждение, обратное следствию, вообще говоря, неверно. Приведем соответст вующий пример.

62	Т О Ч Е Ч Н О - М Н О Ж Е С Т В Е Н Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я		[ Г Л . I
	П р и м е р 2. Пусть Хг = Х2	= Л 1 , Q1 = Q 2 =	R\,
	[ 0 , 1 ] ,	s ^ O ,
	e ( ' , a = I { < » .	, = o.

При любом а; множество а (г) замкнуто, но тем не менее отображение
а не замкнуто. Его	замыкание, отображение а,		как нетрудно про
верить, имеет вид
а	(х) = [0, 1] для	всех х Е	R\.
З а м е ч а н и е	2. Если а —	замкнутое отображение, то образ

замкнутого множества, вообще говоря, не обязан быть замкнутым, а образ компакта не обязан быть компактом (даже если множества

а (х) компактны	при всех	х).	Приведем	примеры.
П р и м е р	3. Пусть	Хх	= A'2 = R1,	Qx = [1, + со), й 2 =

= Л * , а (х) = - j - , l^j. Отображение о замкнуто; в то же время

образ a (Qj) замкнутого множества	Qx	не	замкнут.
П р и м е р 4. Пусть Хх = Х2	=	Л 1 ,	Й х = Q 2 = Л * ,

Отображение а замкнуто, но образ компакта [0,1] не компактен,

хотя прп

всех

1 £ Й ]

множества

(г)

компактны.

Отображение

а назовем ограниченным,

если

оно пере

водит

ограниченные

множества

в ограниченные.

Имеет

место:

Пусть

ах : Qx

П р е д л о ж е н и е

3.2.

П (Й2)

а2: £22

П (Q3)

— замкнутые

отображения

(здесь

Q 2

ZD £22); пусть,

далее, отображение ах

ограничено.

Тогда

отображение

а2 ° ах

замкнуто.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим

последователь

ности

(хп) и

(zn),

где

i j G Q i ,

ж„ -> ж, z n

ЕЕ а2 ° % (жп ),

z n

—>- z.

Для

доказательства

предложения

надо

про

верить,

что

z ЕЕ я2 0

% (ж).

Для

каждого

?г найдем

элемент

уп

множества

аг (хп)

такой, что

ЕЕ а2 (у п ) -

Из

ограниченности

аг

следует,

что

последовательность

(Уп) ограничена, и потому, не умаляя общности, можно считать, что эта последовательность сходится, скажем, к элементу у. Из замкнутости отображений ах и а2 сле

дует, что у ЕЕ ах (х) и z ЕЕ а2 (г/), т. е. z ЕЕ а2 ° % (*)• Предложение доказано.

Э Л Е М Е Н Т Ы Т О П О Л О Г И Ч Е С К О Й Т Е О Р И Й	63
З а м е ч а н и е . Следующий пример показывает,	что произ

ведение двух замкнутых отображений, вообще говоря, не обязано

быть

замкнутым.

П р и м е р

5. Пусть

Х2 =

Х3

Л 1 ,

—

йз' =

fij

= R\,

а , и = ( Ш -

[

)

{ 4 - } .

(

{0},

{!},

Нетрудно проверить, что отображения ах и а2 замкнуты, однако

отображение а2

о ах :

aj о а\ (х) =Г^{*},

z= £ 0,

не

замкнуто.

{1},

= 0

П р е д л о ж е н и е 3.3. Пусть Q± — замкнутое под множество пространства Хг, Q2 — подмножество про странства Х 2 и a: Qx -*- П (Q2 ) — замкнутое ограничен ное отображение. Тогда если f — непрерывный на Q 2 функ ционал, то функционал и/

uf(x) =	max f(y)	( I E U J ,
полунепрерывен сверху	*).
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Покажем прежде всего, что

определение функционала « ; корректно (т. е. функционал / действительно достигает максимума на множестве а (х)). Для этого достаточно заметить, что, как вытекает из ус ловия предложения и следствия из предложения 3 . 1,

множество		а (х) компактно			при любом х			Е Е	fli-
Рассмотрим теперь последовательность								(хп)	элементов
множества		Q,	и пусть	хп—> х.		Выберем		элемент уп Е Е
Е Е а (хп)	так,		чтобы / (уп)		=	uj (хп).	По условию, мно
жество	a [\Jxn)		ограничено,		и потому		из ПОСЛеДОВатеЛЬ-
пости (уп)		то
		можно выбрать			сходящуюся			подпоследова
тельность {упк).			Пусть	у =	l i m ynj..		Из	замкнутости а
вытекает,		что	у Е Е а (х),	и	потому
			A l / X	max /(z) =>/(ж).

*) Как отмечалось в начале этого пункта, замкнутые отобра жения называют также полунепрерывными сверху.

64	Т О Ч Е Ч Н О - М Н О Ж Е С Т В Е Н Н Ы Е					О Т О Б Р А Ж Е Н И Я		[ГЛ . I
Итак,	l i m uf	[хПк)	= / (г/) ^	щ	(х).	Из	сказанного легко
следует, что		l i m «/ (хп) ^		и;	(х).
Предложение			доказано.
3. Теорема		Какутанп.		Замкнутые			точечно-множест

венные отображения играют важную роль при исследо вании многих задач математической экономики и теории игр. Это объясняется, в частности, тем, что для указанных отображений справедлива теорема Какутани о неподвиж ной точке.

Пусть		Q — непустое			подмножество	конечномерного
пространства X			я а — отображение множества Q в П						(Q).
Точка	х0	ЕЕ £2 называется			неподвижной	точкой	отобра
жения	а,	если	х0 ЕЕ	а (х0).	Имеет место
Т е о р е м а			3.1	(С. К а к у т а н и). Пусть					а —
замкнутое отображение выпуклого компакта Q							«	П (й),
причем для любого х ЕЕ К					множество а (х)	выпукло.		Тогда
отображение а имеет неподвижную точку.
Доказательство см. Какутани [1], Никайдо [2].
4. Полунепрерывные снизу и непрерывные							(по		Ка

кутани) отображения. Наряду с полунепрерывными сверху (замкнутыми) отображениями, рассмотрим ото

бражения,

полунепрерывные снизу.

Пусть

й х

и Q 2

— подмножества

пространств

Х2

соответственно.

Отображение

Qa -»- П (Q2 )

назы

вается

полунепрерывным

снизу,

если

для

любых

точек

ЕЕ

и у ЕЕ а (х)

и любой последовательности (хп)(хп

—>

-*~ х,

хп

ЕЕ

& i

(п

1, 2,

...))

найдется1

последователь

ность (уп)

такая, что уп

ЕЕ

а (хп)

(п

1, 2,

и уп->-

у.

пример

поможет

читателю

уяснить

раз

ницу между полунепрерывными снизу и полунепрерыв

ными	сверху	отображениями.
П р и м е р .		Пусть Х х = Хг = Л 1 , Qx	= й 2 = Л\. Отображе
ние	ах :	хфО,
		хфО,
		х =	0,

полунепрерывно снизу, но не полунепрерывно сверху. Отображе ние а2".

хфО, х = 0,

полунепрерывно сверху, но ие полунепрерывно снизу.

Э Л Е М Е Н Т Ы Т О П О Л О Г И Ч Е С К О Й Т Е О Р И И

Имеет

место

Если

каждое

из

отобра

П р е д л о ж е н и е

3.4.

жений аг:

Q x —>- П (Q2)

а2-

Й2

->• П (й 3 ) (здесь Q2

ZD ^2)

полунепрерывны

снизу,

то

отображение

а2

° ах тголг/-

непрерывно снизу.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

г G

а, = ад (я)

(хп)

— последовательность,

стремящаяся к х. Нам надо

указать

последовательность

(zn)

такую,

что

-»- z

z„

ЕЕ а2

о аг (х)

(п = 1,

...).

Так

как

z ЕЕ а2 (ах

(*)),

то найдется элемент г/, для которого выполняются соот

ношения	z ЕЕ а2 (у),		у ЕЕ % (я).	Используя		полуне
прерывность снизу отображения				найдем	последова
тельность	({/„),	обладающую тем свойством,			что	уп -*-у
и уп ЕЕ % ( x j		(re =	1, 2, ...). Используя, далее,			полуне

прерывность снизу отображения а2 , найдем последова


тельность (zn ),	стремящуюся к z и такую, что z n						ЕЕ а2 (z/n).
Очевидно, что	(zn) — искомая			последовательность.
Предложение		доказано.
П р е д л о ж е н и е			3.5. Пусть		a: Qx ->- П (Й2 )			иолу-
непрерывное снизу		ограниченное		отображение.			Тогда	если
f — непрерывный		на Qx	функционал,			то и функционал
Uj\ х —*- sup / (у)		полунепрерывен			снизу.
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Пусть		х ЕЕ й х	и	(ж„) —

последовательность точек из Qx , стремящаяся к х. Най дем точку у ЕЕ а (я), для которой выполняется неравенство

(х)

^ . f (у)

е,

где

е — произвольное положительное

число.

Воспользовавшись

теперь

нолунепрерывностыо

снизу

отображения

а, найдем

последовательность

(уп)

такую,

что уп->у,

уп<=а

(хп).

Так

как щ (хп)

/ (уп),

то

ЦЩЦ/

Ит / (уп)

f(y)>

Щ (х)

— е.

Ввиду произвольности

имеем

l i m uf

(хп)

(х), что

доказывает

предложение.

Пусть й х

— замкнутое

подмножество

пространства

Хг,

Q2 — подмножество

пространства

Х2.

Отображение

a: Q x -*- П (й2 ) назовем непрерывным по

Какутани,

если

оно

одновременно^ замкнуто

(полунепрерывно

сверху)

иполунепрерывно^снизу.

Из предложений 3.2 и 3.4 следует

3 В. Л . Макаров, A. M. Рубинов

66 Т О Ч Е Ч Н О - М Н О Ж Е С Т В Е Н Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я [ГЛ . 1

П р е д л о ж е н и е

3.6.

Если

каждое из

отобра

жений

ах:

й х

П (й2 ) "

ai'

&2 -»-П (й 3 ) {здесь й 2 3

й 2 )

непрерывны, причем

аг

ограничено,

то

отображение

а2

о ах

непрерывно.

Из предложений 3.3 и 3.5 вытекает

П р е д л о ж е н и е

3.7.

Пусть

й х

П (й2 ) —

непрерывное ограниченное

отображение.

Тогда

если

} —

непрерывный на Йх функционал, то

функционал

uf.

х-*-

max / (у)

непрерывен.

1/еа(я)

5. Метрика Хаусдорфа.

Пусть

а — отображение

мно

жества й х

в П (й 2 ), г Д е

i и

замкнуты. Обозначим через

П (й) совокупность

всех

компактных

подмножеств

зам

кнутого

множества

и предположим, что а (%) ЕЕ П (й2 )

для любого

| ЕЕ

П (их). В

этом

случае

можно

рассмат

ривать а как (однозначный) оператор из П (йх )

в П (й2 ) и,

введя в множества П (йх ) и П (й2 ) топологию,

определить

непрерывность а обычным обра-

зом (как непрерывность

однозиач-

^ „

ной

функции).

Для

того

чтобы

реализовать

эту

программу,

нам

понадобится

ввести

топологию

в совокупность

компактов. Мы сделаем это с по

мощью

так

называемой

метрики

Хаусдорфа.

Пусть X — конечномерное про-

Рис. 12.

странство, в

котором

введена

не

которая норма,

S — единичный

шар пространства X,

т. е. S

{х ЕЕ

\\\ х || < : 1},

й —

замкнутое

множество

Для

|, т) ЕЕ П (й)

положим

р (£,

тО = inf {t

0 \1 С

11 +

tS,

-п С £ +

(3.3)

Нетрудно

проверить,

что

число

р (|,

т])

удовлетворяет

следующему

соотношению

(рис. 12):

р (I,

г)) =

max (max р (£, у),

max р (ж, т))).

(3.4)

Проверим, что функция р, определенная на П (Й) X П (й) формулой (3.3), удовлетворяет аксиомам метрики:

§ 3]

Э Л Е М Е Н Т Ы Т О П О Л О Г И Ч Е С К О Й Т Е О Р И И

Р (£,

л)

0; р (£,

л)

тогда

только тогда,

когда

£ =

г|. В

самом деле, если

£ =

г\,

то равенство

Р (£> л) =

0 очевидно. Если

же р (£,

т]) =

0, то,

исполь

зуя (3.4),

получим,

что

£ =

г).

Р (£,

и)

р (ц,

£).

Это

равенство

очевидно.

Р ( i ,

D <

р (£,

л)

р (л.

О-

Действительно, по

лагая

u =

р (£, т]) и г; =

р (г], £), получим из (3.3), ис

пользуя компактность множеств

£,

т) и

£,

что

£ С

г) +

uS,

£ +

» 5 ,

Л С

£ +

uS,

£ CZ т) +

vS,

откуда

E c £ + (u + » ) S ,

£ с £ + (и + ») 5.

Снова

привлекая

(3.3),

имеем

Р (£, £) <

+ v =

р (£,

л)

+ Р (л,

О,

что

требовалось

доказать.

Таким образом, функция р является метрикой. Обычно

ее

называют

метрикой

Хаусдорфа.

Свойства

метрики

Хаусдорфа описаны, например, в книге Хадвигера [1].

Мы отметим

(без

доказательства)

справедливость

следу

ющей

замечательной

теоремы.

Если

множество

Т е о р е м а

3.2

(В. Б л я ш к е ) .

Q компактно, то пространство П (Q), снабженное метри

кой Хаусдорфа,

также

компактно.

Приведем

также

следующее

П р е д л о ж е н и е

3.8.

Пусть

последовательность

компактов

(£п)

такова,

что

£ n + 1

CZ 1 п (п =

1> 2, ...).

Положим

£ =

П£п-

(Заметим,

что

£ =j= ф.)

Тогда

£п

стремится к

£ (по

метрике

Хаусдорфа).

Предположим теперь, что Q =

рассмотрим

подпростран

ство П с

метрического пространства П (X),

состоящее из всех выпук

лых компактных подмножеств X. Согласно теореме 2.6 П с

как упо

рядоченное

полулинейное

пространство

изоморфно

пространству

Р {X*)

всех

сублинейных функционалов,

определенных

на

X*.

Пусть

U, V

Пс . Положим

р (U,

а.

Тогда, как

следует

из

(3.3),

aS,

UCV+

aS,

и потому

Ру

Ри

aPs>

Ри

*Ps.

С3'5)

68	Т О Ч Е Ч Н О - М Н О Ж Е С Т В Е Н Н Ы Е					О Т О Б Р А Ж Е Н И Я				[ Г Л . I
(Напомним, что если W е			П с ,	то	p w	—		функционал из		Р	(X*),
определенный формулой pw(f)				= max		f	(х).)		Из неравоисти		(3.5)
вытекает,	что для всех	/ (Е	X*
	\Pu	(f)-Pv			U)\<«Psti)-
Заметим	теперь, что
	Ps (/) =	* e s	/ И	=	\|M\|<i/ (			) =	II / II-
		m a x			m a x		ж
Итак,
	\prU)~Pv	(t)l
	щ		< a	=	p(tf,		У)		(1ф0)
п потому
	max	\PvU)~Pv(f)\					<?(U,		V).		(6.\S)
	max	— :	jj-rjj				<?(U,		V).		(6.\S)

Покажем, что в формуле (3.6) иа самом деле реализуется равенство.

Действительно,

если

max

\Pu(f)-Pv(f)\

= P < p ( f f ,

I I ' II

; е х * , 1¥>о

то, как

петрудио

проверить,

p v

< ра

p > s ,

р,,

< p v

+ p > S i

откуда

С U

fiS,

U С

B.S'.

Из

определения

метрики

Хаусдорфа

теперь

следует,

что

р (U,

<1 р,

что

невозможно.

Итак, в формуле (3.6)	реализуется равенство. Учитывая это обстоя
тельство п используя положительную однородность			функционалов
рц и p v , получим
max.\(pu-Pv)(f)\=p{U,		F ) .	(3.7)
\|\|/ll=i
Заметим теперь,	что, в силу	положительной	однородности,

сублинейный функционал р полностью определяется своими зна

чениями	на	единичной сфере 2 * = {/ е X* \ \|\| / \|\| = 1} простран
ства X*.	Условимся след этого функционала на единичную сферу
обозначать		той же буквой р, что и сам функционал; полулинейпое

упорядоченное пространство всех следов сублинейных функциона

лов на Z*		обозначим том же символом Р				(X*),	что и пространство
самих функционалов. Приняв эти соглашения, отметим, что Р									(X*)
содержится в пространство				С {Z*)	всех	непрерывных		функции,
определенных на Z*; кроме того, формулу (3.7) можно теперь пере
писать	так:
			WPU — PVWCW)		= Р	v ) -
Итак,		мы доказали следующее
П р е д л о ж е н и е				3.9. Отображение			cp: U —* рц		метриче
ского	пространства		П с в	подмножество		Р	{X*)	пространства
С {?;*)	является		изометрией.

Э Л Е М Е Н Т Ы Т О П О Л О Г И Ч Е С К О Й Т Е О Р И И

Пусть

теперь

— выступающий,

воспроизводящий

конус

пространстве

полулинейном

пространстве

ПРт

(К)

всех

нормальных

подмножеств

конуса

введем метрику

Хаусдорфа.

Монотонный сублинейный функционал р,

определенный иа

конусе

К*, отождествим с его следом иа пересечение SK»

конуса К*

и еди

ничной сферы Z*

пространства

X*.

Полулинейное

упорядоченное

пространство всех следов на S K ,

монотонных сублинейных функци

оналов

обозначим тем же

символом

Рт

{К*),

что и

пространство

самих функционалов. Из предложения 2.10 следует, что Рт

(К*)

содержится в пространстве С

всех непрерывных на S K ,

функ

ций. Рассуждая так же, как и выше, нетрудно проверить, что спра

ведливо

3.9'.

П р е д л о ж е н и е

Если

норма

|] •

|| монотонна

(см

п.

12 § 2), то отображение

%'•U

—> Рц метрического

пространства

Y\pm (X*)

в подмножество

Рт

(К*)

пространства

(SKt)

является

изометрией.

Непрерывность по

Хаусдорфу.

Пусть

й х

й 2

—

замкнутые

множества

а:

й г

—>• П (й 2 ) —

отображение,

переводящее каждый компакт в компакт. Будем гово

рить, что отображение а непрерывно по Хаусдорфу,

если

из

соотношений

ЕЕ Щ й ^ ,

\п

£ (п — 1,

...)

сле

дует,

что

а &п)

->- а (I).

Покажем, что отображение а, непрерывное по Хаус

дорфу, является

непрерывным и по Какутанн, т. е. явля

ется полунепрерывным и сверху и снизу. Проверим сна

чала полунепрерывность сверху. Пусть (хп)

— последо

вательность точек из й х , хп

—>- х, уп ЕЕ а {хп),

уп-*-

у. Так

как а непрерывно по Хаусдорфу,

то a (a;n) -»- а (х),

откуда,

используя

формулу

(3.4),

получим

max

р (г/, а (х))—> 0.

J/ea(-vn )

Поскольку

уп

ЕЕ а (хп),

то и

р (уп,

а (х))

Последнее

означает, что

l i m уп

у ЕЕ а (х).

Итак,

полунепрерывно сверху. Покажем, что это отображение

полунепрерывно

снизу. Пусть х ЕЕ й ь

у ЕЕ а (х),

хп

(хп

ЕЕ Й 1 ;

п =

1, 2,

...). Нам

надо

найти

последователь

ность (уп)

такую, что упЕЕа

(хп)

(п

1, 2, ...)

и уп

у.

Так как а (хп)

-*-

а (х),

то р (г/, а (хп))

- v 0, откуда

следует,

что последовательность (г/„), где уп ЕЕ а (хп)

и|| у — уп \\ =

р (у,

(хп)),

является

требуемой.

Таким образом, из непрерывности по Хаусдорфу следует непрерывность по Какутаии. Оказывается, что для ограниченных отображений верно обратное утвер ждение.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 347 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20233.42 Mб7Макареня, А. А. Александр Александрович Байков.pdf
#
23.10.20238.39 Mб67Макаров Г.В. Уплотнительные устройства.pdf
#
25.10.202316.68 Mб32Макаров Е.С. Изоморфизм атомов в кристаллах.pdf
#
23.10.202327.11 Mб18Макаров, А. Д. Износ инструмента, качество и долговечность деталей из авиационных материалов учебное пособие.pdf
#
22.10.202314.98 Mб12Макаров, В. А. Теоретические основы телемеханики.pdf
#
22.10.202311.97 Mб13Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf
#
29.10.20231.69 Mб34Макеев Ф.Я. В помощь маляру.pdf
#
22.10.202310.52 Mб59Макиенко, Н. И. Производственное обучение слесарей механосборочных работ метод. пособие.pdf
#
23.10.202319.57 Mб603Макиенко, Н. И. Слесарное дело с основами материаловедения учебник.pdf
#
29.10.20234.92 Mб26Маковецкий П.В. Радиотехнические методы измерения скорости учебное пособие.pdf
#
20.10.20238.14 Mб89Макогон, Ю. Ф. Гидраты природных газов.pdf