Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

11.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 344 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Т О Ч Е Ч Н О - М Н О Ж Е С Т В Е Н Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я

[ Г Л . I

соотношения х

ЕЕ К

следует, что

(—х,

0) ЕЕ Z).

Далее, в

пространстве X

X R1

задана прямая П

= ((Ь, Х))хе (-«,, +«,),

пересекающая

конус Z.

Рассматриваемая

задача

заклю

чается

следующем:

найти

max {X \ (Ь,

X) ЕЕ £ } .

Предполагаем,

что

решение

существует.

Положим

(Ь, ц.)

z„.

Т е о р е м а

1.6

( т е о р е м а

К у н а

—

Т а к к е -

р а). Пусть выполнено

хотя бы одно

из следующих

двух

условий:

а)

конус Z

многогранен

б) прямая П содержит внутреннюю точку

конуса

Тогда

найдется

функционал

(р, у) ЕЕ X*

такой, что

1) я (г0 ) =

шах я

(г) = 0,

P G К*;

Т> 0.

Доказательство следует из теорем отделимости. За

метим, что в случае, когда Z — не многогранный конус

условие

б) (называемое

обычно

условием

Слейтора)

не

имеет места, можно гарантировать лишь, что вместо стро гого неравенства у ^> 0 выполняется у >= 0.

§ 2. С У П Е Р Л П П Е Й Н Ы Е Ф У Н К Ц И О Н А Л Ы И В Ы П У К Л Ы Е МНОЖЕСТВА

1. Суперлинейные функционалы. Исследование супер линейных точечно-мпожественных отображений, н дина мических моделей экономики, которым посвящена основ ная часть этой книги, существенно опирается на свойства суперлинейных функционалов. В настоящем параграфе устанавливаются эти свойства и связи между суперлиней ными функционалами и выпуклыми множествами.

Функционал q, определенный на замкнутом выпуклом конусе К в векторном конечномерном пространстве X, на зывается суперлинейным, если он

1) супераддитивен: для х, у ЕЕ К

? (я -г у) > q(x) + q (у),

2) положительно	однороден:
q(Xx)=Xq(x)	{х ЕЕ К, X > 0),

3) полунепрерывен сверху.

С У П Е Р Л И Н Е Й Н Ы Е Ф У Н К Ц И О Н А Л Ы

Функционал р, определенный на К, называется суб линейным, если он| субаддитивен, (р (х -\- у) ^ р (х) -j- + р (у) для х, у ЕЕ К), положительно однороден и полу непрерывен снизу. Ясно, что р сублинеен тогда и только тогда, когда функционал q = —р суперлинееи. Таким об разом, изучение*сублинейных функционалов сводится к изучению суперлинейных функционалов (и наоборот). В связи с этим мы иногда будем формулировать и доказы вать интересующие нас результаты лишь для одного из указанных классов функционалов.

Условимся совокупность всех суперлинейных функцио

налов, определенных на выпуклом замкнутом конусе

К,

обозначать

через

(К).

Отметим

некоторые простые

свойства

суперлинейных

функционалов.

1) Если q ЕЕ Q (К),

то

вогнут.

самом

деле,

для

х,

у ЕЕ К,

а,

р >

р* =

1 имеем

q(ax

+ |3г/) >

> g

(os) +

q фу)

(ж) +

рд

(у).

Заметим, что и наоборот, вогнутый, положительно

од

нородный

полунепрерывный

сверху

функционал

супер

линееи.

Из 1) следует, в частности, что

2) q непрерывен на множестве

r i

К.

3) Если q ЕЕ Q (К),

то q (0) =

0. Это равенство следует

из соотношений q (0) =

q (2-0)

2-q

(0).

4) Функционал q, определенный на конусе К,

супер

линеен тогда

только

тогда,

когда

подграфик

Z 3 =

{(х,

X) ЕЕ X

В1

| х ЕЕ К,

К <

(х)}

этого функционала является выпуклым замкнутым ко нусом.

В самом деле, выпуклость Zq эквивалентна вогнутости
q, замкнутость Zq — полунепрерывности				сверху q; поло
жительная		однородность q эквивалентна		тому, что Zq —
конус.		q}, g2 ЕЕ Q {К),	то и gt + g2	ЕЕ Q	(К).
5)	Если
6)	Если	q ЕЕ Q {К), к >	0, то и Xq ЕЕ Q		{К).
7)	Нижняя огибающая ограниченного снизу семейства


суперлинейных		функционалов является		суперлинейным
функционалом. Иными словами, если qa				ЕЕ Q (К)		(а ЕЕ А)
ж	для каждого х ЕЕ К		найдется такое		С. что	qa(x)^>
>	С при всех	а ЕЕ Л,	то функционал		q, определенный

32 Т О Ч Е Ч Н О - М Н О Ж Е С Т В Е Н Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я [ Г Л . I

на К формулой

q (ж) = inf qa (х) (х е К),

а.

суперлинеен.

Для доказательства достаточно отметить, что вогну тость, полупепрерывность сверху и положительная одно родность элементов семейства сохраняются при переходе к нижней огибающей.

2. Примеры. Прежде чем привести несколько примеров суперлинейных и сублинейных функционалов условимся о следующем: символом Rn в этой книге всегда будет обо значаться n-мерное арифметическое (числовое) простран ство; г'-го компоненту вектора х из Rn будем обозначать через х1; символ i?+ обозначает конус векторов простран ства Rn с неотрицательными компонентами; записи х >

!> у, х ^> у и х ^>			у означают соответственно, что я» !> у{
для всех i;	х{ !>	у1	для всех i и хотя бы для одного / вы
полняется	х1' ]>	у';	х1 ^> у1 для всех i.

Перейдем к примерам.

П р и м е р 1. Пусть X — конечномерное векторное пространст во, К = X. Всякий линейный функционал является одновременно сублинейным и суперлннейным на X функционалом.

П р и м е р 2. Пусть X и К такие же, что и в примере 1. Фупкционал р (х) = || х I является сублинейным на X функционалом.

Вчастности, отсюда вытекает

П р и м е р 3. Функционал р,	определенный при г		1 на Rn
формулой
Л . r \ V r
( 2 1*4	'	( * е д п ) ,

сублинеен (субаддитивность этого функционала составляет содер жание известного неравенства Минковского).

П р и м е р 4. Если 0 < г <J 1, то функционал д, определен ный на конусе i ? " той же формулой, что и выше:

1/г

> i=i	*
суперлинеен.
В доказательстве нуждается лишь супераддптивность; иными
словами, надо проверить, что	при любых г,	справедливо

§ 2]	С У П Е Р Л И Н Е Й Н Ы Е Ф У Н К Ц И О Н А Л Ы						33
неравенство
71
\ i=l	'	' i=i	'		> j=l	'
Мы не останавливаемся		на доказательстве			(2.1). Оно приводится,
например, в книге Беккенбаха и Беллмана					[1] (см. § 22 гл. I ) .
П р и м е р	5. Функционал q,		определенный			на	конусе Я "
формулой		п
		п
		»(») = (П«*)1 , В ,
суперлинеен.
В доказательстве нуждается, как и				выше, лишь			суперадди-
							п
тивность функционала		q. Положим		Z = 6		\|	zi = 1}.

i=i

Пусть х ;> 0, i £ Z . Тогда, используя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, получим

.\1,п

2 ^ > ( П - ' Г - . « *

i = i

i= i

Предположим

теперь,

что х ^> 0, и

рассмотрим вектор г

Ч (х)

/ 1

1 \

что z =

я (grad q) (х).) Ясно, что

( —

> • • • » ~гГ г (Заметим,

\ х1

х J

и . .

(х).

i=l

Таким

образом,

выполняется

для х ^> О

<7 (.г) =

m i n - i — ^

x V .

i = i

Пусть

теперь

х ^> 0, у ^> 0. Тогда

q(x

y)=*J-min

(as* +

у1)z*>

zez .^Ч

i = i

J _

fmin

* V +

m i n Y. i / V ) --= q (rr) + ?

(t/).

Из

непрерывности

q следует,

что неравенство

? ( * + ! / ) >

9 С1) +

Ч (У)

выполняется на всем конусе Л™, что и требовалось доказать.

2 В. Л . Макаров, A. M. Рубинов

Т О Ч Е Ч Н О - М Н О Ж Е С Т В Е Н Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я

[ Г Л . I

3. Опорные линейные функционалы. Пусть К — вы пуклый замкнутый конус в пространстве X. Для подмно жества U пространства X* и элемента х ЕЕ К положим

qu(x) = vaih(x).		(2.2)
hf=U
В случае, когда да (я) ! > — °°	для любого х ЕЕ К,	функ
ционал qo, определенный на	конусе К формулой	(2.2),

является суперлинейным. Важнейший факт теории суперлинейных функционалов заключается в том, что справед ливо обратное утверждение: каждый суперлинейный функ ционал представим в виде (2.2). Это утверждение было впервые доказано, по-видимому, Фенхелем [1].

Прежде чем привести точную формулировку теоремы Фенхеля, дадим следующее определение: линейный функ ционал h называется опорным к суперлинейиому функцио

налу q, определенному на конусе К,

если для любого ж ЕЕ i f

h (х)

> q (х). Множество

всех

линейных

функционалов,

опорных к q, обозначим через

Uq.

В этих терминах интересующий нас результат форму

лируется

так.

ь). Если

q ЕЕ Q

(К),

Т е о р е м а

2.1 (В. Ф е и х е л

то множество

непусто]

при этом для любого х ЕЕ К

q(x)

inf

h(x).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим подграфик

{(х, ji)

ЕЕ X

| х ЕЕ К,

р <

q (х)}

функционала

Так как

q ЕЕ О (К),

то Zq

— выпуклый

замкнутый конус. Пусть у — произвольная

точка из

К,

в —

произвольное

положительное

число.

Поскольку

{у. Я (у)

+ Б )

9 = Z g , то, используя теорему отделимости, мож

но указать

функционал

ЕЕ (X

R1)*,

для

которого

((х, ii))

0 ((х, ц)

ЕЕ Zq),

g (у,

q (у)

в ) < 0.

(2.3)

Так

как

g ЕЕ (X

R1)*,

то g =

(/,

с), где / ЕЕ X*,

с ЕЕ

ЕЕ i? 1 .

(Мы

используем

равенство

i ? 1 ) * = X* X

X i?1 .)

Из

(2.3)

теперь

вытекают

соотношения

/ (х) +

са (х) >

(х ЕЕ К),

(2.4)

f (У)

+ с (q

{у)

в ) <

(2.5)

П У 1 1 Е Р Л И Н Е Й Н Ы Е Ф У Н К Ц И О Н А Л Ы

Положим в (2.4) х = у и из полученного			неравенства
вычтем (2.5). В результате имеем — се		0, откуда			следу
ет, что с <С 0. Переписывая (2.4) в виде — (1/с) / (х)					^	q	(х)
{х ЕЕ К), получим, что — (1/с)/ ЕЕ Uq. Таким образом, Uq							=f=
фф. Кроме того, в силу (2.5) — (1/с)/(х)		<Cq(y)	+	е, откуда
ввиду произвольности евытекает равенство q (у)			=	i n f		h(x).
Теорема	доказана.
Наша задача заключается теперь в описании тех под
множеств	пространства X*, которые	можно	рассматри

вать как совокупность всех линейных функционалов, опор ных к некоторому суперлинейиому функционалу, опре

деленному на

К.

4. JT-опорные множества. Непустое подмножество U

пространства X*

назовем К-опорным,

если оно выпукло,

замкнуто

и,

кроме

того,

U +

К*

dU,

(2.6)

inf

h (х)

^> — сю для любого

х ЕЕ

К.

hi=U

Остановимся более подробно на свойстве (2.6). Так как

0 ЕЕ К*, то для любого множества Q справедливо вклю

чение Q + К*

ZD Q- Таким

образом,

если множество Q

обладает

свойством

(2.6),

то

U +

К*

— U.

Множество Q, удовлетворяющее условию Q +

L — Q,

где L — выпуклый конус, мы будем

называть L-устой-

чивым. Нетрудно проверить, что L-устойчивость множества

Q равносильна тому, что с каждой своей точкой х это

мно

жество содержит конус х +

L с вершиной в точке х.

Таким образом, условие (2.6) в определении ^"-опор

ного

множества

U означает,

что

множество U 'является

i f *-уст ойчивым.

Если

U есть it-опорное множество, то для х ЕЕ

по

ложим, как и выше,

qu(x)

iaih(x).

(2.7)

леи

Справедливы следующие

леммы.

Л е м м а

2 . 1 . Если q ЕЕ

Q (К),

то множество

яв

ляется

К-опорным.

Доказательство

очевидно.

36 Т О Ч Е Ч Н О - М Н О Ж Е С Т В Е Н Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я [ГЛ . I

Л е м м а	2.2. Если подмножество U пространства X*
является К-опорным,		то функционал qu, определенный на
К формулой	(2.7),	суперлинеен.
Доказательство		очевидно.

Л е м м а 2.3. Пусть	Uj	и U2 суть К-опорные	под
множества пространства	X*;	qu, и qu, — суперлинейные
функционалы, построенные по множествам их и U2			соот
ветственно с помощью формулы (2.7). Тогда если Ux			=f= U%,
то qu, =f= qVl.
Д о к а з а т е л ь с т в о .		He умаляя общности,	мож

но считать, что найдется линейный функционал g такой, что g £Е Ui и g ^ V\. Так как £/2 выпукло и замкнуто, то,

используя	теорему отделимости, найдем элемент х про
странства	X, для которого*) i n f h ( x ) ^ > g ( x ) .
	леи,
Покажем, что х €= К. Будем считать, что К =j= X (в

противном случае наше утверждение очевидно1*. Если х ф. ф К, то, снова применяя теорему отделимости, иайдем

линейный функционал	/ такой, что / (у) >	0 (у EiK),
/ ( х ) < [ 0 . Пусть fe'€E Uг.	Так как множество	С/2 является

^•-устойчивым и / Е Е К *, то при любом % ^> О функционал

К +	V	принадлежит U2	и потому
		g- (х) < inf h(х) <	inf (h' +	Kf) (x) =	— оо,
что	невозможно. Таким		образом,	х ЕЕ К.	Имеем
		qu, (х) = inf h (х) > g (х) >		inf Л (х) =	qUx	(х),
		Леи»		heUi
откуда		и следует, что qu,=i=qu,-
Лемма доказана.
Совокупность всех Z-опорных				подмножеств		простран

ства X * обозначим через TLQ (К). Для U Е Е П(? (К) поло жим

Ф (U) = qu,	(2.8)
где qu — функционал, определенный формулой	(2.7).

Т е о р е м а 2.2. Отображение <р, определенное форму лой (2.8), осуществляет взаимно однозначное соответствие между множествами TLQ(K) и Q (К).

Доказательство следует из теоремы 2.1 и лемм 2.1—2.3.

*) Мь\ воспользовались здесь тем, что X** = X.

§ 2] С У П Е Р Л И Н Е Й Н Ы Е Ф У Н К Ц И О Н А Л Ы 37

	Приведем		теперь несколько примеров.
	П р и м е р		1. Пусть	X	=	Вп,	К	=	Л " ,
						4=1	'
Как	было показано при исследовании примера 5 в п. 2 для х ^> О,
							•п.
			q(x)	=	mm—		У.	zV,
							1=1
			п
где	Z —	{z е	Д™ \| \| J z * =	1).		Нетрудно			проверять, что для
			i = l
всех х е		Л "
			g (а-) =		inf	_ L	^	А \	(2.9)
							i = i
Рассмотрим в пространстве *)					(R71)*		множество
							п
			^ = { / е ( л п ) * \| П / * > 1 } .
							л
Нетрудно		проверить, что множество					— U является (Д")*-опорным.
							п		+
Кроме того, как легко следует из							(2.9),
			д (х) =			inf	/ (.г).

Таким образом, Uq = — U. На рис. 2 заштриховано это множество

(п = 2). В данном случае Uq совпадает с выпуклым множеством, ограниченным одной из ветвей равнобочной гиперболы.

П р и м е р 2. Пусть	X =	R2,	К = R\,
д (х) = (	+	Vя-)2	(х е Л

*) Выбрав в пространстве (/?")* естественный базис, мы можем интерпретировать элементы этого пространства как л-членные наборы чисел, т. е. как элементы Л п . Нам, однако, будет удобно различать элементы Rn и (Rn)*. Условимся в дальнейшем i-yio координату функционала / обозначать так же, как и в случае век тора из Rn, через /*.

Т О Ч Е Ч Н О - М Н О Ж Е С Т В Е Н Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я

[ГЛ . Г

(см. пример 4 в п. 2). Функционал / входит в UQ тогда и только

тогда, когда для всех 1 Е й ' +

+ fbfl > ( +	ут»)«.
	1
Преобразуя последнее неравенство,	получнм, что - ^ (f1 — 1) 3 * +

+— (Z2 — 1) я2 > y V z 2 , т. е. линейный положительпыйфуикционал

(Z1 —

- у - (/а

1) j опорен к суперлинейному функционалу

			Рис.		2.					Рис. 3.
q	(х) — Yхххг.		Привлекая				результат предыдущего примера, имеем
(У1 —		1) (Z2 —	1) >		1.	Таким образом			(рис.	3),
							(f1	- ! ) ( / * - 1) > 1).
	П	р и м е р		3. Пусть			X — R2,	К =	X.	В этом случае К* =
=	{0}.	Положим		для		i £ X

0 / 2 ^ хг

Рис. 4.

q (я)		=	m i n (2.*1		+	* 2 ,	а:1 +	2х2 ).		(2.10)
Иными		словами, q			{х)	=	m i n (Д (х), /2				(х)),
где	Д	=	(1,2),	U	= (2, 1).
	Нетрудно проверить, что в данном слу
чае	Uq	совпадает с отрезком						О (flt		/а ),	со
единяющим точки /х и /2 (рис. 4).
	П р и м е р			4.	По-прежнему				считаем
X = R2,			К = Л 2 ,		функционал д'				опреде
лен на		конусе		Я *	той же формулой (2.10),
что и		и	примере 3. В			этом		случае		Uq =з

=	0 ( / i , /2) +	( А » ) * (рис	5) .
П р и м е р 5. Конус	.ЙГ совпадает	с верхней	полуплоскостью,

X — Я 2 , функционал q определен на К формулой (2.10).		Множество
Uqип	смьм. наj i a рисрии. 6о.. (Заметим,^оаметиА что в этом случае К* совпадает	с конусом
{(о,	г/) е ( л 2 ) * \| и > 0},)

§ 2]	С У П Е Р Л И Н Е Й Н Ы Е Ф У Н К Ц И О Н А Л Ы	39
	П р и м е р б . Пространство X и функционал q таковы же, что

и	в предыдущем примере, К совпадает с нижней полуплоскостью;
Uq	см. на рис. 7.

Рис. 5. Рис. 6, Рис. 7.

5. Функционалы, опорные в точке. Пусть q ЕЕ Q (К) где К — выпуклый замкнутый конус в пространстве X. Линейный функционал h называется опорным в точке

х	ЕЕ i f к функционалу q, если h опорен к д и , кроме того,
h	(х) = q (х).
	Множество всех опорных к д в точке х функционалов

обозначим через {UQ)x. Заметим, что это множество, вообще говоря: может быть и пустым. Множество (Uq)°, однако, всегда непусто; действительно, поскольку суперлиней

ный функционал в нуле обращается в нуль,				то	{Uq)° —
Имеет место	2.3. Пусть	q ЕЕ	Q (К), х0 ЕЕ	riK. Тогда
Т е о р е м а
множество {Uq)X!i	непусто.
Д о к а з а т е л ь с т в о .		1)	Предположим		сначала,

что К — воспроизводящий конус. В этом случае х0 —

внутренняя точка		К. Рассмотрим теперь подграфик Z =
=	{(х, U-) ЕЕ X X-R^J	х ЕЕ К', \tt ^ q (ж)} функционала q. Из ус
ловия теоремы следует, что Z — выпуклый телесный замк
нутый конус. Так		как (х0, q (ж0 )) — граничная точка ко
нуса Z, то мы можем провести через эту точку опорную к
Z	гиперплоскость.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 344 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20233.42 Mб7Макареня, А. А. Александр Александрович Байков.pdf
#
23.10.20238.39 Mб71Макаров Г.В. Уплотнительные устройства.pdf
#
25.10.202316.68 Mб32Макаров Е.С. Изоморфизм атомов в кристаллах.pdf
#
23.10.202327.11 Mб19Макаров, А. Д. Износ инструмента, качество и долговечность деталей из авиационных материалов учебное пособие.pdf
#
22.10.202314.98 Mб12Макаров, В. А. Теоретические основы телемеханики.pdf
#
22.10.202311.97 Mб13Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf
#
29.10.20231.69 Mб34Макеев Ф.Я. В помощь маляру.pdf
#
22.10.202310.52 Mб63Макиенко, Н. И. Производственное обучение слесарей механосборочных работ метод. пособие.pdf
#
23.10.202319.57 Mб635Макиенко, Н. И. Слесарное дело с основами материаловедения учебник.pdf
#
29.10.20234.92 Mб27Маковецкий П.В. Радиотехнические методы измерения скорости учебное пособие.pdf
#
20.10.20238.14 Mб90Макогон, Ю. Ф. Гидраты природных газов.pdf