книги из ГПНТБ / Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия

где Л' — длоское множество, следует одно из двух: либо Л' = Л, либо Н' = X. Легко проверить, что Л является гиперплоскостью тогда и только тогда, когда размерность

Лна единицу меньше размерности пространства X. Существует тесная связь между гиперплоскостями и

линейными функционалами. Точнее говоря, множество Л является гиперплоскостью тогда и только тогда, когда най­

связи с этим, что в пространстве X введена некоторым обра­ зом норма (каким именно — безразлично, ибо в конечно­ мерном пространстве любые две нормы эквивалентны: из сходимости по одной норме следует сходимость по другой, и наоборот).

Отметим, что аффинное многообразие всегда замкнуто; замкнутые (открытые) полупространства являются замк­ нутыми (открытыми) множествами.

Под аффинной оболочкой множества Q СП X понимается «наименьшее» аффинное многообразие, содержащее Q (т. е. пересечение всех аффинных многообразий, содержа­ щих Q). Точка х называется относительно внутренней

точкой множества Q, если пересечение некоторой окрест­ ности этой точки с аффинной оболочкой Q целиком содер­ жится в Q. Относительная внутренность множества Q

(т. е. совокупность всех относительно внутренних точек

Мы можем теперь сформулировать одно из существен­ ных свойств выпуклых множеств, которое заключается в следующем: каково бы ни было выпуклое множество Q в конечномерном пространстве X, оно имеет непустую от­ носительную внутренность (т. е. r i Q -ф <^>) (см. Рокафеллар [3]).

Мощным аппаратом для исследования выпуклых мно­ жеств являются теоремы отделимости. Прежде чем сфор­ мулировать их, введем следующее определение.

Говорят, что гиперплоскость Н разделяет (соответст­ венно, строго разделяет) множества Qt и Q2> если эти мно­ жества лежат в разных замкнутых (соответственно, откры­ тых) полупространствах, определяемых Н.

Используя связь между гиперплоскостями и линейны­ ми функционалами, можно сформулировать это определе­

Тогда найдется гиперплоскость, разделяющая Q1 и Q2 . Как непосредственно следует из определения, выпук­

лые множества, строго разделяемые некоторой гипер­

ность» одной из ветвей гипер­ болы и асимптота этой гиперболы (рис. 1). Следующая ниже

теорема показывает, что при некоторых дополнительных

22 Т О Ч Е Ч Н О - М Н О Ж Е С Т В Е Н Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я [ Г Л . X

Прежде чем привести еще одну теорему о строгом раз­ делении, введем одно важное определение. Непустое мно­ жество Q в X называется выпуклым многогранником, если оно может быть представлено в виде пересечения конечного

назовем относительно граничной точкой множества £2,

тых полупространств, определяемых этой гиперплос­ костью. (Если Н = {х | / (х) = с}, где / — лииейный функционал, то высказанное определение означает, что

Теорему 1.4 можно несколько усилить; точнее говоря, опорную гиперплоскость можно выбрать так, чтобы она не содержала аффинной оболочки множества Q. Сформу­ лируем это утверждение в аналитической форме.

Т е о р е м а 1.4'. Пусть х — относительно граничная точка выпуклого множества Q. Тогда существует линейный

Доказательства теорем 1.1—1.4' содержатся, например,

вработах Карлина [1]. Рокафеллара [3J.

3.Алгебраические операции над выпуклыми множест­ вами. Совокупность всех выпуклых подмножеств рас­ сматриваемого конечномерного пространства X обозначим через П ь (X). В множестве П(, {X) можно естественным об­ разом ввести операции сложения и умножения на вещест-

венное число (так называемые операции Минковского). Если Qx , Q 2 £ Е П ь {X), то суммой множеств Qj. и Q, назы­ вают множество

нейшем обозначается вещественная прямая), то, по опре­

Нетрудно проверить, что сумма выпуклых множеств и произведение выпуклого множества на число выпуклы. Отметим еще, что сумма ограниченных множеств ограни­ чена, сумма компактных множеств компактна, однако сум­ ма замкнутых множеств, вообще говоря, не замкнута.

Заметим, что конус является выпуклым тогда и только тогда, когда он с каждой парой своих элементов содержит и их сумму.

Пусть К — выпуклый конус в пространстве X. Конус К*, сопряженный в К, определяется как совокупность всех линейных функционалов, принимающих на К лишь неотрицательные значения. В дальнейшем пространство, сопряженное к X (т. е. совокупность всех линейных на X

24 Т О Ч Е Ч Н О - М Н О Ж Е С Т В Е Н Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я [ГЛ . I

Это простое замечание позволяет несколько уточнить теоремы отделимости для случая конуса. Именно, если в теоремах 1.1—1.3 одно из множеств Q2 является ко­ нусом, то гиперплоскость, существование которой эти тео­ ремы утверждают, можно выбрать так, чтобы она прохо­ дила через нуль. В частности, гиперплоскость, опорная к выпуклому конусу в его граничной точке, всегда проходит через нуль.

Так как К* является выпуклым конусом, то имеет смысл говорить о конусе К**, сопряженном к К*. Ис­ пользуя теоремы отделимости, нетрудно проверить, что К** совпадает с замыканием конуса К (при этом, разу­ меется, используется ю обстоятельство, что пространство X**. сопряженное к X*. совпадает с X).

Выпуклый замкнутый конус К в пространстве X на­ зывается выступающим, если из соотношений х, — х 6Е К следует, что х = 0; конус К называется воспроизводящим, если К — К = X. Введенные понятия взаимно двойствен­ ны; иными словами, если К — воспроизводящий конус, то К* — выступающий, если К — выступающий конус, то К* — воспроизводящий.

Из определения непосредственно следует, что К — вос­ производящий конус тогда и только тогда, когда его аффин­ ная (или, что в данном случае то же самое, линейная) обо­ лочка совпадает со всем X. Из сказанного вытекает, что воспроизводящий конус телесен (т. е. содержит внутрен­ ние точки). Ясно, что и наоборот, телесный конус явля­ ется воспроизводящим.

5.Отношение предпорядка, порожденное конусом.

кой структурой X. Будем говорить, что отношение >- по­ рождается конусом К. Нетрудно поверить, что отношение >• является отношением порядка тогда и только тогда, когда порождающий его конус выступает.

конусным отрезком с концами х, у. Нас особо будут ин­ тересовать конусные отрезки вида <0, ж>. Очевидно, что

Если в X введено отношение предпорядка с помощью конуса К, то элементы этого конуса называются положи­ тельными. (Таким образом, нуль — также положитель­ ный элемент; термин неотрицательный здесь не подходит, ибо неотрицательные элементы образуют множество X \

\( - В Д

Элементы конуса К * называются положительными функционалами. (Эта терминология согласуется с введенной ранее, если считать, что отношение предпорядка в X * порождено конусом К *.) Заметим, что функционал / положителен в том и только том случае, когда он моно­ тонен (т. е. / (х) > / {у), если х >> у).

6. Выпуклая и коническая оболочки. Пусть Q — под­ множество пространства X. Выпуклой оболочкой со Q мно­ жества Q называется пересечение всех выпуклых множеств, содержащих Q. Непосредственно из определения следует, что

(здесь /с — любое натуральное число; можно, впрочем, по­ казать, что достаточно рассматривать суммы, содержащие

не более п + 1 слагаемых, где ?<• — размерность простран­ ства X). Используя представление (1.1), нетрудно прове­ рить, что для любого линейного функционала / имеет мосто равенство

Один из основных фактов теории выпуклых многогран­ ных множеств заключается в том, что ограниченное мно­ жество является выпуклым мпогогранником в том и только

пуклая оболочка компакта является компактным мно­

дит в Со й тогда и только тогда, когда найдутся натураль­

ного множества элементов. Многогранный конус К явля­ ется выпуклым многогранником, и, стало быть, К — выпуклый замкнутый конус. Конус К *, сопряженный к

Из этого определения следует, что / выпукла тогда и только тогда, когда ее надграфик является выпуклым мно­ жеством в пространстве X X R1.

Отметим некоторые свойства выпуклых функций.

1)Сумма выпуклых функций выпукла.

2)Произведение выпуклой функции на неотрицательное число является выпуклой функцией.

3)Пусть (/Y )ver — выпуклые функции, определенные на

множестве Q, причем для каждого же= Q существует число С такое, что для всех у £Е Г

/; (х) < с.

Тогда функция /, определенная формулой

f (х) = sup U (&) (я S Q ) i •гег

выпукла.

4)Локальный минимум выпуклой функции f совпадает с

ееглобальным, минимумом.

5)Выпуклая функция / непрерывна в относительно внутренних точках Q.

Свойства 1) — 4) легко следуют непосредственно из определения. Доказательство более сложного утвержде­ ния 5) читатель может найти в работах Карлина [1], Рокафеллара [3].

Функция /, определенная на выпуклом множестве Q, называется вогнутой, если —/ есть выпуклая функция;

28 Т О Ч Е Ч Н О - М Н О Ж Е С Т В Е Н Н Ы Е О Т О Б Р А Ж Е Н И Я [ГЛ . Г

иными словами,

Все изложенное выше с очевидными изменениями перено­ сится на случай вогнутой функции. Отметим, в частности, что / вогнута тогда и только тогда, когда ее подграфик яв­ ляется выпуклым множеством.

Если в (1.2) (соответственно, (1.3)) имеет место строгое неравенство при х =f= у и a, [J ^> 0, то функция / называ­ ется строго выпуклой (соответственно, строго вогнутой).

Важное свойство строго выпуклой функции / заклю­ чается в том, что если она достигает минимума на £2, то этот минимум реализуется лишь в единственной точке.

9. Полунепрерывные функция. В этом пункте сформу­ лируем некоторые простые свойства полунепрерывных функций.

Функция/, определенная на множестве Й в пространст­

сверху (соответственно, снизу) означает, что для любой

В дальнейшем мы говорим лишь о полунепрерывных сверху функциях, имея в виду, что все сказанное ниже с естественными изменениями переносится и на полунепре­ рывные снизу функции.

Мы будем рассматривать лишь функции, полунепрерыв­ ные сверху на всем множестве Q (т. е. в каждой точке Й). Отметим некоторые их свойства.

1)Сумма двух полунепрерывных сверху функций полу­ непрерывна сверху.

2)Произведение полунепрерывной сверху функции на неотрицательное число полунепрерывно сверху.

3)Нижняя огибающая ограниченного снизу семейства полунепрерывных сверху функций является полунепре­ рывной сверху. Иными словами, если функции fy (f ЕЕ Г)

полунепрерывны сверху на Q и ограничены снизу на этом

полунепрерывна сверху.

4)Если Q замкнуто, то функция / полунепрерывна сверху тогда и только тогда, когда ее подграфик за­ мкнут.

5)Если Q компактно, то полунепрерывная сверху функ­ ция /, определенная на Q, достигает на этом множестве максимума (теорема Вейерштрасса).

Доказательство утверждений 1) — 5) легко следует непосредственно из определения.

Взаключение этого параграфа сформулируем теорему

оминимаксе и теорему Куна — Таккера (в нужной для дальнейшего форме).

Пусть I , и 1 3 — конечномерные пространства, Qj — выпуклый компакт в Хг, Q2 — выпуклое множество в Хг. Рассмотрим функцию /, определенную на Qj X Q2 , вог­ нутую по ж и выпуклую по у (последнее означает, что при

£?2). Предположим, далее, что / полунепрерывна сверху по

Доказательство этой теоремы см., например, Пек п Далмидж ГЛ.

Перейдем к теореме Куна — Таккера, дающей двойст­ венную характеристику решения задачи выпуклого про­ граммирования. Будем считать, что указанная задача за­ ключается в отыскании крайней точки пересечения вы­ пуклого конуса и оси. Приведем ее точную формулировку.

В конечномерном пространстве X выделен выпуклый телесный конус К. В пространстве X X R1 задан выпук­ лый конус Z, содержащий множество — К X {0} (т. е. из