Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

11.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3426 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

250

А С И М П Т О Т И К А О П Т И М А Л Ь Н Ы Х Т Р А Е К Т О Р И Й

[ Г Л . I V

причем этот компакт, вообще говоря, ие обязан быть телесным. Рассмотрим грань Г (£) конуса i ? " , порожденную множеством |, и отображение аГ(^ — сужение отображения а иа грань Г (|). Множество £ является телесным собственным компактом отображе

ния а щ ) . Это позволяет применить

теорему 14.1 для

исследования

асимптотики траекторий модели

исходящих из

точек

конуса

ГШ-

случае,

когда

модель Z

обладает лишь темпами роста а та

кими,

что я а

не

содержит

внутренних

точек

конуса

имеет

смысл рассмотреть модель Za

(см. п. 3 § 13). Эта модель имеет

со

стояние равновесия

вида

(а

(х,

у),

р),

где р ^> 0. Используя ее,

можно изучить асимптотику проекций (xi)JL0

конечной траектории

X =

(xf)jL0 (определение этих

проекций

приведено

в п.

3 § 13).

З а м е ч а н и е

3. Пусть

отображает

в П (Д£)

и не

яв

ляется нормальным. Так как оптимальная траектория в модели

порождаемой

а,

является

оптимальной

в модели

nZ,\порождае

мой

отображением па, то доказательство

теоремы о магистрали в

сильной форме для

модели Z

сводится

доказательству

теоремы

для

нормальной

модели

nZ.

З а м е ч а н и е

4. Если модель имеет строгое состояние равно

весия

(ос, (х,

ах),

р),

то в формулировке теоремы 14.1 вместо не-

xUi)

/и

равенства р \ — J T ^ - J — - ' ' а у ^ е

можно

написать

З а м е ч а н и е 5. Легко видеть, что в условиях теоремы имеет место следующее утверждение для оптимальных (бесконечных) траекторий: по любому е > 0 найдется натуральное L такое, что для любой оптимальной траектории % = (if), исходящей из заданной точки х0 , при всех t ^> L выполняется неравенство

/4*1' xt+i)	д,	\	,Г]	здесь зависит лишь от еиа;0 , ноне
р ^ — p r ~ j j — ,	NaJ		< е . (Число L	здесь зависит лишь от еиа;0 , ноне

от траектории.) Это утверждение уместно назвать теоремой о магист рали в сильной форме для оптимальных бесконечных траекторий.

5. Теорема Никайдо. Теорема о магистрали в сильной форме была впервые доказана Никайдо [1] для моделей, определяемых почти строго выпуклым конусом. Приведем доказательство этой теоремы в несколько более общей си туации (для случая строгого состояния равновесия). Наше доказательство опирается на теорему 14.1 и отлично от доказательства Никайдо.

Т е о р е м а 14.2 (Н и к а й д о). Пусть нормальное отображение а : R+ -»» П (i?+) таково, что порождаемая

§ 14]

ТЕОРЕМА О МАГИСТРАЛИ В СИЛЬНОЙ ФОРМЕ

2 5 1

им модель Z

имеет

строгое

состояние

равновесия

а =

=(а,(ж, ах),

р),

причем ж^>0. Тогда для любого е > 0 найдут

ся числа Lj

и Ьг

такие, что для всякой конечной

оптималь

ной траектории

(xt)J^0,

исходящей

из внутренней

точки

х0 конуса i?+, выполняется

х1

о ,

ИМ

Я* II

если

Lt <.t

<С Г —

L2.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Считаем, не умаляя

общно

сти, что а

1 и

(х) =

1. Доказательство теоремы

ра

зобьем на три части.

Положим

11=[]~иЩ,

£,=

где

т] = {у

ЕЕ

R+1 р (у)

< ; 1 =

р ($)}•

Так

как

сос

тояние равновесия

а — строгое, то

р ^ > 0,т и'поэтому

(см. п. 4 § 7) Ед и 1г

— собственные компакты отображения

а. При этом

Ед CZ

£,2- Кроме] того, поскольку

Ж^>0, то

Ел — телесный компакт. Введем в Rn

монотонную

норму

||-Ц^,, порождаемую нормальным] телесным компактом Ед (см. п. 12 § 2). Наша ближайшая цель заключается в дока

зательстве равенства Ед =				Е,5. Предположим, что				это		ра
венство неверно. Тогда найдется элемент						у ЕЕ	\| 2	такой,
что	у §Ё Ед,	т. е. jl у	=	1 +	2е, где б >	0.	Последнее
неравенство		означает,	что	у	(1 + е)Ед. Так		как		Е2	=
=	П ят (т\|),	то у ЕЕ а т	On) при		любом натуральном				Т,	и,
	т

следовательно, найдется конечная траектория (уШ,. . ., ут).,

где !/	Е	г), ут =	у. При этом
0т
yjф(1	+	е)Ед	(« = 0 , 1 , 2,..., Г; Г = 1, 2,...). (14.17)

В самом деле, так как (1 + е) Ед — собственное множество отображения а (отвечающее числу а = 1), то из включе

ния yj	ЕЕ	(1 +	е) Ед следовали] бы соотношенияТг/i+i ЕЕ
Её a (yj)	CZ	а((1	+ в)!,) = (1 + е)Ед, y£zEE(i	+ в) gl f . . .

Ут — у Е= (1 -+- е)Ед, что невозможно. Применяя канторовский4 диагональный процесс, найдем последова тельность номеров Тг, Г2 , . , ., Th. . . . такую, чтобы

2 5 2	АСИМПТОТИКА ОПТИМАЛЬНЫХ				ТРАЕКТОРИЙ		[ Г Л . I V
существовали пределы
	Уо =	Н т yf*,	ух =	l i m у**,yt	= l i m у? к,...		(14.18)
Последовательность (yt)				является траекторией модели Z.
Так как Z имеет строгое состояние равновесия, то (тео
рема 13.4), существует				предел l i m уи	равный Я.Ж, где X —
некоторое		неотрицательное число.			Из	(14.18)	следует,
что	yt ЕЕ а' (л)		(t = 1, 2, . , .)• Но, по			определению т):

т) ZD а (л) =э а2 (TJ) Z) ... Z ) a ( (л)

следовательно, yt GE т], а потому и l i m у, = Хя GE ть			Еще
раз привлекая определение множества л,		получим
р {XX) < р	(ж),
откуда следует неравенство A, < I 1.
Покажем, с другой стороны, что Х>		1. В самом деле,
переписывая (14.17) в виде \|! yj	;> 1 +	е (£ = 1 , 2 , . . .
7Л.21 = 1, 2, .. .),получим неравенство \|\| yt			1 + 8,
откуда следует, что

l ^ l l ^ l i m f l i / ^ l + e.

Так как Ж GE Si, то |l ж < 1 и, стало быть,

* > ( 1 + в ) . | а ! £ > 1 .

Полученное противоречие показывает, что наше пред

положение неверно; таким образом,
		Si =	5г .			(14.19)
2) Покажем,	что	Ж° (SO = {ж}.		Включение		Ж ЕЕ
ЕЕ 36° (Si) очевидно. Пусть теперь £ E E S u a ; = r = S H %						=
траектория, исходящая из х. Тогда при некотором X							О
выполняется l i m xt =		Я.Ж. Очевидно,		что	А. = l i m р (ж,).
Так как ж =£= Ж и состояние равновесия					о — строгое,		то
l i m р (xt)	р (хг) <		р (ж) ^ max р (ж) = 1.

Таким образом, X <С 1 и, стало быть, при достаточно боль ших t

1 № < | ] ж | 5 1 < 1 .

Последнее неравенство означает, что ж, Sz d+ £i = д*а1 (St ), т. е. траектория % не яиляется Si-оптимальной. Итак, ни

§ 14] ТЕОРЕМА О МАГИСТРАЛИ В СИЛЬНОЙ ФОРМЕ 253

одна траектория, исходящая		из точки	ж. не является
^-оптимальной, т. е. х ЕЕ Ж° (£г ).
Из доказанной нами формулы Ж°			= {ж}		следует,
что собственное множество	\| х	удовлетворяет			условию	2)
теоремы 14.1.
3) Покджем теперь, что для		любой точки ж„ ^ > 0 вы
полняется при некотором л >		0 равенство		l i m а1 (ж0) =
=
Для пормального компакта \| положим
Я, (£) = max {% I	E E l } , ц (I) =			max p (г/).		(14.20)

Функционалы ц. и X. определенные формулой (14.20) на совокупности П£ всех нормальных подмножеств R+, являются, как нетрудно проверить, непрерывными.

Положим для натуральных t

bt = а' (х0),	Xt = X (b^	ц( = ц (&,).
Так как А.( Ж ЕЕ Ь( = а' (Жй) и Ж Е а (Ж), то
%[Х ЕЕ а.	с а (а* (ж0)) =	Ь( + 1 ,
откуда вытекает неравенство л . т Е>		Таким образом,
последовательность (Xt)	возрастает.

Пусть элемент у ЕЕ bi+1 таков, что

Р(у) — l-i(+i= тахр(ж) .

При некотором х ЕЕ &; выполняется г/ ЕЕ а (ж) и потому

Ц-f+i — Р(У)<Р (х) < max р (ж) = р.,.
Таким образом, последовательность		(ц.,) убывает. Из	мо
нотонности последовательностей (Xt)		и (р,,) вытекает	су
ществование пределов l i m Я.( =	и l i m рг = pt. Покажем,
что X — (X. Последовательность	(&( )	ограничена (в про

тивном случае выполнялось бы соотношение ц.( ->• оо). В силу теоремы Бляшке эта последовательность имеет пре

дельные точки	П у с т ь ! — одна из этих точек; I = l i m blr
Так как отображение а непрерывно			(см. предпоже_
ние 7.1), то	а (\|) = l i m и (btl).	Из	непрерывности

254 А С И М П Т О Т И К А О П Т И М А Л Ь Н Ы Х Т Р А Е К Т О Р И Й [ГЛ . I V

функционалов X и \|д, следует, что
Ц\|) = Ца(\|)),	£ =	ц (1) = \|х(а(\|)).
Пусть элементу Е= а (1) таков, что j i =			max р (ту) = р	(у).
Найдем элемент 5f ЕЕ \ такой, что у El			а (%). Покажем, что
£ = %Х. В самом деле, если	это	равенство неверно,		то
либо

1)3 не пропорционален X, либо

2)« = соя, где со<Я .

Впервом случае, благодаря строгости состояния равно весия о, имеем

? = Р ( У ) < Р Й < тахр(ж) = И-(13 — £ s e t

что невозможно.

Во втором случае имеем

Т ? е а ( | г ) = а М с а ( | ) ,

откуда вытекает соотношение

	j l =	max р(гу)> - ^р(г/) = - ^ - ? > \| * ,
		1/Sa(£)
которое	также	невозможно.
Итак,	х — ~КХ. Отсюда следует, что и у =			XX (в	против
ном случае р (у) < р (XX) =			jx).
Из соотношений р (у) =			р (XX) — Кр (х)	= X и	выте
кает равенство
		р =			(14.21)

Для завершения доказательства достаточно проверить, что каждая предельная точка \ последовательности (Ь,) обладает тем свойством, что

b i i C l c f e .

(14.22)

В самом деле, если (14.22) выполнено, то, учитывая ра венства (14.19) и (14.21), име^м £ = Х^ и, стало быть,

I 15] Т Е О Р Е М А О М А Г И С Т Р А Л И В С И Л Ь Н Е Й Ш Е Й Ф О Р М Е 255

	Докажем соотношение					(14.22). Пусть Е =			l i m btr	За
фиксируем			некоторое		натуральное			L .	Поскольку
Ж cz btlo,			то при I >		10
Учитывая, что ат (х) —>- \г, получим, устремляя I к бес*
конечности,			включение		\ ZD л-,, \| г . Устремляя				теперь	10
к бесконечности, получим						§	ЯЕг. С	другой стороны,
так	как	bth	d Щ,от], где			т) =	{у ЕЕ R+ \| р (у) < 1}, то
при	I >	10,	имеем
Поскольку			ат (л)	£а,	то при I ->• оо			имеем	\| CZ [xf f o ^2 .
откуда при			Z0 -э- оо,	получим			g cz jZ£2-	Таким образом,

соотношения (14.22) доказаны. Как уже отмечалось, из этих соотношений вытекает равенство l i m а' (х0) = Я ^ .

Мы показали, что выполнены все условия теоремы 14.1, из которой и следует справедливость доказываемой теоремы.

З а м е ч а н и е	1. Теорема верна не только для точек х0 ^> О,
но и для точек гс0, которые удовлетворяют			условию:
а т (х о) П i n t	П Р Н	некотором	натуральном	Т.
З а м е ч а н и е	2. Пусть	£ — телесный	нормальный	компакт

в .й". Рассуждая так же, как при доказательстве п. 3) теоремы, не трудно проверить, что l i m а1 (£) = Я,|х (где X — некоторое поло жительное число). Отсюда, в частности, следует, что отображение о имеет единственный (с точностью до положительного множителя) собственный компакт. Отметим, что вопрос о единственности соб

ственных множеств подробно изучен Рокафелларом	в работе	[1].
§ 15. ТЕОРЕМА О М А Г И С Т Р А Л И В С И Л Ь Н Е Й Ш Е Й	ФОРМЕ

1. Вспомогательные предложения. В этом параграфе мы покажем, что при некоторых предположениях в мо делях Неймана можно выделить достаточно обширный класс траекторий, обладающих тем свойством, что почти все процессы, их составляющие, лежат в неймановской грани.

256	А С И М П Т О Т И К А О П Т И М А Л Ь Н Ы Х Т Р А Е К Т О Р И И	[ГЛ . I V

Всюду в этом параграфе рассматривается модель Ней мана, определяемая многогранным конусом Z CZ R+ X Л " таким, что Pi'iZ = P r 2 Z = Предполагается также, что производственное отображение а модели Z нормально (если а не нормально, то можно рассмотреть его нормаль

ную	оболочку).
Важную роль в дальнейшем играет следующее
П р е д л о ж е н и е					15.1. Пусть		Na	— нейманов
ская	грань	модели Z,		отвечающая темпу роста					а. Тогда
для любого		натурального			Т	найдется число е > 0, обла
дающее следующим свойством: если траекториях									— (Ж,)(=0
модели Z такова, что *) % =j= О и
			- ,	tf«J<e,		t = (0,		i,...,T-i),
то	найдутся		такие траектории %' =				(xi)i=0		и %"	=
— (я()\|=о модели Z, что
			%t = х\ + x"t			{t = 0, 1 , T ) ,
	Х'ф0,		(x'hx't+1)ElNa			(* = 0, 1		Г — 1 ) .
Д о к а з а т е л ь с т в о						предложения		мы	проведем
в несколько			этапов.
1) Рассмотрим				в		пространстве			(Rn)T+l	=

=Rn х Rn X .. . X Rn множество ZT, элементами которого

т+i

являются все Г-шаговые траектории модели Z. Нетрудно проверить, что Z T — выпуклый замкнутый конус.

Пусть функционал (/, g) ЕЕ (Rn)* X (Rn)* таков, что / (х) + g (у) > 0 для любой пары \х, у) ЕЕ Z, т. е. (/, g) GE GE Z * . Тогда, как следует непосредственно из определения,


функционалы над пространством		(Rn)T+1
Фо = (/,	g, 0, . . .,0), ф 1 = (0, /,	g, 0, . . ., 0), . . .
	. • •, фт-i =		(0, 0, . . /, g)
входят г в	( Z T ) * (т. е. ф \| (X) > 0. если		X ЕЕ ZT, t = 0,
1, . . . . Т — 1). С другой стороны,		если ср = (0, 0, , . .
f,g\	. . ., 0) GE(ZT)*, то (/, g)	GE Z* .

*) Запись X Ф 0 означает, что 50 Ф 0.

§ 15] Т Е О Р Е М А О М А Г И С Т Р А Л И В С И Л Ь Н Е Й Ш Е Й Ф О Р М Е

257

Из этого простого замечания следует, что ZT—

многог

ранный

конус. В самом деле, так как конус Z

многогра

нен,

то он является пересечением конечного числа полу

пространств

вида /<*> (х)

(у)

0 (к

1, 2, . . .,

т),

а потому ZT

является пересечением

конечного числа полу

пространств,

определяемых

неравенствами

ф,№)

(X) >

0, 1, . . .,

Г -

1. 2, ... ., т);

здесь

<р[к)

(0,

0, . . . ,0) .

2) Обозначим через Nl

совокупность

всех

элементов

X =

(х0.

. . ., хТ)

конуса

ZT,

таких,

что (хи

xt+1)

ЕЕ i V u

0, 1. . . . , Т —

1). Множество i V j непусто, так как

оно

содержит

элемент

% =

(г, a

S, .

. ., ат£)

(здесь

Ж — элемент, входящий

состояние

равновесия

( а ,

(г,

аЖ) р ) ; такое состояние существует, так как производ ственное отображение модели Z нормально). Покажем,

что Na

является

гранью конуса ZT.

С этой

целью рас

смотрим

функционалы

р ЕЕ ri па

ф( =

(0,

0, . . .

....

,ар,

— р , 0

0) над пространством(i?n )T + 1 . Положим

Т-1

Ф =

ф|-

Так

как

ф (

(х) > 0

для

любого

элемента

X 6 E Z ~ r

V =

0, .. ., Т

- 1 ) , т о и Ф ( х ) > 0 . Еслиф(х) =

то ф( (х)

0 при всех

Это означает, что % ЕЕ i V j . С дру

гой стороны,

если % ЕЕ N^, то ф (%) =

0. Таким

образом,

множество

совпадает с пересечением конуса

и ги

перплоскости Н<?

функционала ф. Так как ф ЕЕ {ZT)*,

то

Я Ф

является гранью конуса ZT(CM.

П . 13 § 2).

3) Поскольку

ZT — многогранный

конус,

то

он

яв

ляется конической оболочкой конечного числа элементов

Хи	• • ••> %i- Пусть	элементы %t занумерованы так, что
Xi.	Хз. • • %i е Nl,	Xj+i, . . ., X; GE Nl. Обозначим че

рез Q пересечение конической оболочки элементов Xj+ii . . .

. . . , Xi с единичной сферой S пространства					(Rn)T+1.	Так
как ф (х) =	0 (х ЕЕ Nl)	и ф (%) >	0 (% ЕЕ Q)		(здесь	ф —
функционал,	построенный в п. 2)), то множества Na					и Q
не пересекаются, а потому р (Nl,			Q) =	б >	0.
4) Рассмотрим траекторию % = (50,				%п .	. ., Жт ), фи
гурирующую	в условии	предложения.		Эту	траекторию

9 В. Л. Макаров, A . M. Рубинов

258

А С И М П Т О Т И К А О П Т И М А Л Ь Н Ы Х Т Р А Е К Т О Р И Й

[ Г Л . XV

можно рассматривать как элемент конуса Z T . Так как

здесь р ЕЕ	r i я а ,	Я р есть	гиперплоскость функционала
(ар, — р).	Иными	словами, ср, ( J ) <;s\|\|S,\|\| U = 0,			1, ...
. . ., Т —	1). Суммируя		полученные	иеравепства	по t,
получим перавепство
		1=0	(=0	(=0

Не умаляя общности, можно считать, что норма в прост

ранстве	( Д " ) т + 1		введена		таким		образом, что \|\| % \|] =
т			—
= 2)1 г<	II» поэтому		Ф (X)<^ в. Используя предложение 13.4,
(=0			" Х 1 1
получим теперь
	V и х Г			/	Ф (X)		^	е
	V и х Г			/	Х\|\|\|\|Ф\|\| ^			ИФ1
Так как i V j = # ф			f] ZT	и конус Z r			многогранен, то най
дется константа		С	такая, что			р (х,	JVj)	^ Ср (%, Я ф )	для
любого	элемента	% из		Z T ,	имеющего			единичную норму.
Учитывая это обстоятельство,						им-„ем
			\ 11x11		/	И ' 1
5) Пусть число 8 удовлетворяет неравенству е <^									б,

где б = () (Na, Q) > 0 (Р — множество, определенное в п. 3) доказательства). Тогда р ^ ц ~ ц > -Wj^<^6. Это не равенство показывает, что элемент % конуса ZT не входит в конус, натянутый на образующие Xj+ь • • -,Хо н е при надлежащие грани N a - Таким образом, если % представ-

§ 15] Т Е О Р Е М А О М А Г И С Т Р А Л И	В С И Л Ь Н Е Й Ш Е Й Ф О Р М Е 259
I
лен в виде X = 2 ^ X i (^« >	0)>т о п о крайней мере одно

г=1

из чисел А-ц . . ., %} отлично от нуля. Положим

У1

%' =2^гХь X" = 2 ^ХгОчевидно,			что	элементы
	г =Х	г=У-1-1
%' и х" являются искомыми.
	Предложение	доказано.
	Так как конус Z. рассматриваемый нами, многогранен,
то	он является	конической оболочкой	конечного числа
образующих. Не умаляя общности, можно				считать, что
эти	образующие	«конически независимы», т. с. ни одна

из них не входит в коническую оболочку остальных. Эти образующие будем называть базисными процессами и

обозначать через			(as , Rs) (s =			1, 2, . . ., S).
Пусть		%т = (xt)f=0		— конечная траектория модели Z.
Для	траектории		Хт	существует			последовательность
(h,)f=1	(где h, е= R+ (t = 1, . . ., Г)) такая, что
		S				S
		x t = 2	a s f r i + i .		S f + i =		2 Ps^t+i-
		s=0				s=o
Вектор / i ( называется				планом		траектории Хт в период
t, а сама		последовательность				{h,)J=1	— траекторией пла-

нов для %т- Каждой траектории планов ( й ( ) ( = 1 можно со поставить iS-Г-мерный вектор Н = {hx, h2, . . .,hx). Бу дем говорить, что этот вектор порождает траекторию %т. Заметим, что, вообще говоря, траекторию планов для %т можно указать не единственным способом.

Введем теперь следующее определение. Г-шаговую

траекторию Хт = (£/)t=o модели Z назовем базисной, если найдется траектория (u,)t=i планов для %т такая, что

вектор Н = [hlt . . ., kr): порождающий Хт, содержит не более п (Т + 1) отличных от нуля координат.

Траектория планов естественным образом определя ется и для бесконечной траектории. Каждой такой тра ектории х можно сопоставить последовательность Н = = (/&!, h2, hh ...). Про последовательность Н будем гово рить, что она порождает Х- Траекторию х= (хд назовем базисной, если найдется порождающая ее последователь-

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2526 / 3426 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20233.42 Mб5Макареня, А. А. Александр Александрович Байков.pdf
#
23.10.20238.39 Mб31Макаров Г.В. Уплотнительные устройства.pdf
#
25.10.202316.68 Mб18Макаров Е.С. Изоморфизм атомов в кристаллах.pdf
#
23.10.202327.11 Mб10Макаров, А. Д. Износ инструмента, качество и долговечность деталей из авиационных материалов учебное пособие.pdf
#
22.10.202314.98 Mб4Макаров, В. А. Теоретические основы телемеханики.pdf
#
22.10.202311.97 Mб6Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf
#
29.10.20231.69 Mб24Макеев Ф.Я. В помощь маляру.pdf
#
22.10.202310.52 Mб30Макиенко, Н. И. Производственное обучение слесарей механосборочных работ метод. пособие.pdf
#
23.10.202319.57 Mб198Макиенко, Н. И. Слесарное дело с основами материаловедения учебник.pdf
#
29.10.20234.92 Mб12Маковецкий П.В. Радиотехнические методы измерения скорости учебное пособие.pdf
#
20.10.20238.14 Mб42Макогон, Ю. Ф. Гидраты природных газов.pdf