Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

11.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3425 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

240 А С И М П Т О Т И К А О П Т И М А Л Ь Н Ы Х Т Р А Е К Т О Р И Й [ГЛ . I V

Из предложения 2.11 следует, что элемент х входит в с?+£ тогда и только тогда, когда х ЕЕ % и найдется функционал

/ > 0, для которого
f{x)	= m a x / ( i / ) > 0 .
Непосредственно из определеиия вытекает замкнутость
положительной границы нормального		множества.
Имеет место	14.1. Пусть	последовательность
П р е д л о ж е н и е
телесных нормальных	множеств (\|„)	сходится к телес

ному нормальному множеству

|. Тогда для любого

е >

найдется номер N

такой, что при п >

дЧпСд+1

(где S = {хЕЕ A"|\\i||< 1}).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Предположим,

что

предложение

неверно. Тогда можно считать, не умаляя общности, что при неко

тором е0

д+1п

+ euS

(п = 1, 2, . . .).

Найдем последовательность (х а ), для которой выполняются соот

ношения

^ £ 3 + U

(14.1)

Хп ф

д+Ъ + S-S.

Так

как

хп

ЕЕ

5 + | п ,

то

найдутся

функционалы

/ п

0 такие,

что

! l / l l 5 =

/п {хп)

max /„ (х)

(14.2)

(здесь

J / / L

шах / (у). В

силу

замечания

предложению 2.11

для

/ >

выполняется

|| / ||_ =

шах / (у)).

Не

умаляя

общно-

сти,

считаем,

что

существуют

пределы

l i m хп

—

х,

l i m / п =

- »

I ,

Так

как

| л

1 ,

то

ЕЕ

т.

е.

|] ж ц <

Так

как

|| fn

1, то и || /1|^ =

1. На единичной сфере

б1? =

ЕЕ

ЕЕ (#")*

11| g

Kg =

определим

функционалы

р п

(л =

. . .)

и />, положив

для

g ЕЕ

Рп

(g)

max

g (?/)

(л

1, 2 , . . . ) ,

(g)

иными

словами,

(g)

|| g

max g- (г/).

Так

как

\ п

—* £

до

метрике

Хаусдорфа,

то

(см. предложение

3.9) ^ п

равномерно

§ 14j

Т Е О Р Е М А О М А Г И С Т Р А Л И В С И Л Ь Н О Й Ф О Р М Е

241

стремится к р, откуда вытекает соотношение рп (/„) —»;>(/) = 1. Используя формулу (14.2), имеем

/ (ж) = l i m /„ (хп) = l i m рп (/„) = p(f) = max / (у). v&

Из написанных		соотношений		и неравенства		\|\| х \\^		1 следует,
что	I х \|\|- = 1,	т. е. х £ д\,	а	это противоречит (14.1).				Получен
ное противоречие и доказывает предложение.
Рассмотрим теперь нормальное отображение								a: R+	->
->• П	(i?+). Пусть % = (a:t)j=o ~				конечная	траектория			мо
дели	Неймана — Гейла		Z,	порождаемой		этим	отображе
нием, исходящая из внутренней					точки х0	конуса i?". Как
следует непосредственно				из	определений,		траектория
X оптимальна тогда и только тогда, когда хт ЕЕ д+(ат									{х0)).

Кроме того, в силу принципа оптимальности, из вклю

чения хт ЕЕ д+(ат(х0))

следует

соотношение xt

ЕЕ д+ (а1

(х0))

(t =

1, 2,

. .

.,Т).

Нам понадобится

еще

одно определение.

Пусть

\ —

нормальное

телесное

множество

Конечную

траек

торию х =

(Zi)J=o

модели

рассмотренной

выше,

назо

вем

£ -оптимальной

*),

если

х0

ЕЕ I,

хтЕЕд+{аТ

(|)).

Траекторию % = {xt)

этой модели назовем

^-оптималь

ной,

если

Г-кусок

х П Р И

любом натуральном Т

является

g-оптимальным. Нетрудно проверить,

что для

конечных

|-оптимальных траекторий верен принцип оптимальнос ти. (Это можно показать с помощью тех же рассуждений, что и при доказательстве теоремы 11.1, более того, по скольку рассматриваемое отображение а суперлинейно, то эти рассуждения можно существенно упростить.)

Символом Жт (Е) обозначим множество тех элементов, содержащихся в из которых исходит хотя бы одна Г-шаговая ^-оптимальная траектория. Таким образом, по определению,

3Er® = a - T ( 0 V - ( i ) ) n g .

(14.3)

При всех натуральных Т

*) В более общей ситуации ^-оптимальная траектория была определена ранее в § 12.

242

А С И М П Т О Т И К А О П Т И М А Л Ь Н Ы Х Т Р А Е К Т О Р И Й

[ГЛ . I V

Кроме того, как непосредственно следует из принципа оптимальности,

^(Е)=>зев в й)з...=.жт (|)=>...

Через Жа (!) обозначим совокупность тех элементов, со держащихся в |, из которых исходит хотя бы одна ^-оп тимальная траектория. Используя канторовский диаго нальный процесс, легко проверить, что

Г ( £ ) = р, Гт{1).

Используя формулу (14.3), нетрудно убедиться в компакт ности множеств Х т Ш {Т = 1, 2, . . . ); отсюда непосред ственно вытекает, что £ а (|) непусто. Заметим также, что, в силу предложения 3.8,

Жат(1)->Г(1).		(14.4)
2. Формулировка теоремы о	магистрали	в сильной

форме. Леммы. Наша цель заключается в доказательстве следующей теоремы.

Т е о р е м а 14.1 Пусть а — нормальное суперлинейное отображение конуса Д™ в П (R+), причем

1)существует телесный выпуклый компакт |, для ко торого а| = а (£), где а — темп роста модели Z, порож даемой отображением а,

2)найдется функционал р из r i я а , принимающий на множестве Жа (£.) постоянное значение.

	Тогда	если точка х0 ЕЕ Д+ такова, что l i m a - ' а '			(х0)	=
=	\, то для любого е >		0 найдутся	натуральные числа
L±	и L2,	обладающие следующим свойством: для всякой
конечной		оптимальной	траектории	(x,)iL0 , Т >	L±	+
+	L 2 ,	исходящей из точки х0, выполняется

если L-L <[ t <	Г	— L 2 .
З а м е ч а н и е		1. Если	модель Z,	порожденная	отображе
нием а, имеет состояние равновесия (а, (х,				ах), р), где р^>	О,	О,
то телесный выпуклый компакт \|, удовлетворяющий условию						а \| =
= а (§), заведомо	существует		(см. § 7).

§ 14] Т Е О Р Е М А О М А Г И С Т Р А Л И В С И Л Ь Н О Й Ф О Р М Е 243

З а м е ч а н и е 2. Так как отображение а~ха непрерывно (см. предложение 7.1), то из существования предела у последователь

ности (а~'а(	(х0)) вытекает,	что этот предел является собственным
множеством	отображения	а, отвечающим собственному числу	а.
Не умаляя общности, считаем в дальнейшем, что а =			1

(в'^противном случае вместо отображения а можно рас

смотреть отображение	аг1а).
Положим bt = а' (х0)	(t = 1, 2, . . .). Так как bt -*• £

и множество £ телесно, то, начиная с некоторого номера,


каждое из множеств bt		телесно. Будем считать, что телес-
ны все множества Ьх,	Ь2, . . .,bt,			. . . Положим также
ЗД\|)=ь?			4*,fc =		i , 2 , . . . ) .
Заметим, что а1: (bt)	=	at+k	(х0).	Это позволяет сформули
ровать определение	Ь1} в		несколько		иных	терминах; а
именно, ft? совпадает		с множеством			точек х	из bt, обла

дающих следующим свойством: найдется оптимальная

траектория % =		(хх)^0,	исходящая			из	х0 и	такая,		что
х = xt.	Доказательство теоремы				14.1 опирается				на	сле
дующие	леммы.
Л е м м а 14.1 Для			любого	е >> 0 найдется				натураль
ное число Тк такое, что при				t >	Tk
	Ь? CZ (о-* ( П )		Г Ш +	»S		(й =	1, 2, - . ),
где S — единичный шар пространства							Rn.
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Покажем прежде				всего,		что
по данному е найдется % >				О, для		которого		*)
or* {дЧ + 4S)		П (6 +	С	(<г*	(д*£) f\| 6) +			iS.	(14.5)

Предполагая противное, найдем для любого п элемент уп

такой, что
« . e [ ^ ( ^ + 4 - s ) ] n ( 6 + 4 - e ) . l		( 1 4 . в )
K,«((a-*(94)T1E) + »S)-	>
Не умаляя общности, считаем, что уп -*- у.	Тогда,	как

нетрудно проверить, первое из соотношений (14.6) пока зывает, что у принадлежит множеству а~к (<9+|) |~] £» а

*) Под символом a~k ( 5 + | + e 1 i ' ) понимается множество а~к

+ e,S) П Д >

244

А С И М П Т О Т И К А О П Т И М А Л Ь Н Ы Х Т Р А Е К Т О Р И Й

[ Г Л . J V

второе, что у не принадлежит этому множеству. Таким образом, наше предположение неверно, т. е. включение

(14.5) имеет

место при некотором е± >

Так как

|, то bt

CZ £ +

SiS

при всех t,

больших

некоторого числа 7". Кроме того, из предложения

14.1 вы

текает включение

d+bt е д%

е,5

(14.7)

при всех

больших некоторого числа

Т".

При

t~> Т"

справедливо

соотношение

а~к [d*bt) CZ о~к

[д*1 +

ex S).

(14.8)

Из (14.5), (14.7) и (14.8)

вытекает

*),

что

число,

равное

max (2", Т"

+ к)

является искомым.

Лемма

доказана.

Для произвольного числа

6 ЕЕ (0,

функционала

р >• 0 положим

Q (б, t) =

{ж ЕЕ Ь, | р (ж) > ( 1 -

б) max р (г/)}

(* =

1, 2,...),

			(14.9)
Q (б) = {жЕЕ11Р(ж) > ( 1	-	б)maxр(у)}.	(14.10)
Л е м м а 14.2. Имеет место соотношение
l i m (2 (б, t)=Q		(б).

{— 0 0

До к а з а т е л ь с т в о . Положим

с, =	maxp(i/)	(£ = 1,2,...), с =	max p(z/).
Так как bt	-*> £: то ct	с. Множества (? (б. г) компактны;
кроме того, последовательность (О (б, £))			ограничена. В

силу теоремы Бляшке из этой последовательности можно


выбрать сходящуюся			подпоследовательность (О (б,						th)).
Покажем, что множество ц				=	l i m О (б, tk)		совпадает		с
Q (б). Пусть		ж ЕЕ п. Тогда		найдется		последовательность
(xtk)	такая,	что x( f c	ЕЕ Q (б,		th) и	х1к->	х.	Поскольку
<? (б,	th) CZ	то и ж,А ЕЕ b( / f , откуда .следует, что х ЕЕ £.
Кроме того, р (ж( к )			(1 — 6)c<fe и потому р (ж) >					(1 — б)с.

*) Здесь использована формула Ъ}[ = а~к (cf'6( + ! c ) f)

§ 1'Л Т Е О Р Е М А О М А Г И С Т Р А Л И В С И Л Ь Н О Й Ф О Р М Е 245

Таким	образом,		х ЕЕ Q (б) и, стало				быть,	т) (Z Q (б).
Пусть	теперь	точка		z ЕЕ \| такова,		что	р (z) >	(1 — б)с.
Так как z ЕЕ \|,			то	найдется	последовательность				(z;.),
						Zj, ЕЕ Ьк			л
обладающая тем			свойством,		что			и 2/„	z.
						К	К	К
Положим е = p(z) — (1 — б)с и найдем номер К								такой, что
при /с> К выполняются соотношения
( l - 6 ) c > ( l - d ) c « k — i - ,					p ( Z t f c ) > j p ( * ) _ - £ - .
Имеем при к>		К
Р(\)>Р00			~ \ = (1 -		б)с + ±->(1 -			б ) V

Таким образом, для рассматриваемых номеров к

		%	ЕЕ Q (б, tk),
откуда	вытекает включение z ЕЕ т).			(1 — б)с}
Мы показали, что множество {z ЕЕ £ \| р (z) >
содержится в		T J . Так	как множество т] замкнуто,		то и
О (б) =	{z ЕЕ Е \| р (z) >		(1 — б)с} содержится	в и.	По
скольку	т) — произвольная предельная точка последова
тельности (Q (б, г)), то эта последовательность				сходится
и l itm Q (б, t) =		Q (б),
Лемма доказана,

3. Доказательство теоремы 14.1		. Рассмотрим	собст
венное множество \|, фигурирующее		в условии теоремы.
Используя формулу (14.3), получим
П® = а-Цд+1)Г\1	(ft =	1 , 2 , . . . ) ,
и потому, как вытекает из (14.4),
«г» (05) n Е- 26е (б>.			(14.11)

Выберем достаточно малое положительное число v и, используя (14.11), найдем номер ки, при котором

где S, как и раньше, единичный шар пространства Rn. По лемме 14.1 при достаточно больших t

246

А С И М П Т О Т И К А О П Т И М А Л Ь Н Ы Х Т Р А Е К Т О Р И Й

[ Г Л . I V

и потому при этих t

bf°dT(l)+^vS. (14.12)

Рассмотрим теперь функционал р, фигурирующий в условии 2) теоремы, и с помощью этого функционала построим по формулам (14.9) и (14.10) множества Q (v, t) и Q (v). Покажем, что при всех t

(G? (v, t) + vS)f]btCZQ

(v {l + M j

, *j

(14.13)

(где ct определено, так же как и при доказательстве лем мы 14.2, формулой с, = max р (у)). В самом деле, если ж

принадлежит	множеству,				стоящему в левой части вклю
чения (14.13),	то	ж =	хг	+	ж2,	где
Р (xi)	>	(1 -r<y)ct!			р	(ж2) >	— v\\p\\.
Таким образом,
	р(х)>		' l	-	v ( l	+	M С/,

откуда и вытекает 1,14.13).

Будем считать в дальнейшем, что функционал р нор

мирован так, что \|\| р \|\| =			с =	max р (у).		Поскольку,		как
отмечалось	при	доказательстве		леммы	14.2, С( -> с,			то
1 _[_ JzJL ^	з П	р И достаточно больших			t.	Для	таких	t,
как следует	из	(14.13),
	« ? ( v , t) +vS)		r\b,cr.Q (3v, t).				(14.14)

Отметим еще. что из условия 2) теоремы вытекает включение

rmciQfy). (14.15) Привлекая лемму 14.2, в силу которой при достаточно больших t выполняется Q (v) (Z Q (v, t) + -jvS, и ис пользуя формулы (14.14) и (14.15), имеем для номеров t, больших некоторого t',

( X е © + 4~v 5 ) П Ь« С (<? (v) + 4-v5) П Ь« С

e ((?(v, t ) + v 5 ) n b , C ( Q ( 3 v , t ) ) .

Т Е О Р Е М А О М А Г И С Т Р А Л И В С И Л Ь Н О Й Ф О Р М Е

247

Привлекая теперь (14.12), убедимся в следующем: най

дутся натуральные Т0 и к0	такие, что при всех	t~^T0
ЪЬ С	Q (3v, t).	(14.16)

Выберзм теперь произвольное положительное число е > О

и, используя лемму 13.1, найдем число S >- 0 ;			обладающее
тем свойством, что р (у)		< (1 — б) р (х)	для	любого
процесса	(ж. у) ЕЕ Z,	удовлетворяющего		условию

р ("j^Y"' M»j > е - Положим" в формуле (14.16) v = -|- б2 } таким образом, при t > Т0 справедливо включение

bf°CC?(62 , t).

Поскольку последовательность (с,) = (max р (у)) сходит-

ся, то число Т0

можно

считать

настолько

большим,

что

при

У о выполняется

неравенство

шах р (у) <

(1 + б) max р (у).

Рассмотрим

конечную траекторию

% =

{xt)J=0,

длина

которой

Т превышает

Т0

&<>• Пусть

— / г 0 >

Та.

—р—|— , Naj

имеем

Р ( ж 0 < ( 1 — в ) р ( я / - 1 )<

(1 — 6Z ) max р

(у).

(1 — б) max р (у) ^

Таким образом, xt ф О (б2 ,

и,

стало

быть,

х, ф

bf°.

По определению,

Ь?° =

^ 0 ( Ь ( ) =

а-^(а+ 6( + ,0 )П^-

Так

как

х, ЕЕ

(

то

_ f r o

( + f r o

Пос

сс её of

леднее

означает,

что

аК> (xt)

d+bt+ko

ф,

т.

е.

из

точки Xt

нельзя выйти за к0

шагов на положительную гра

ницу множества

bt+ko

a'+K'° (х0);

частности,

х1+ка

ф 3+ я( + ! с » (х0) п. следовательно, [t

+ /с0)-шаговая траектория

(а;т )^о не оптимальна. Тем более и исходная траектория X = (XT)TLO не оптимальна. Итак, наше предположение влечет неоптимальяость траектории %; стало быть, для

248 А С И М П Т О Т И К А О П Т И М А Л Ь Н Ы Х Т Р А Е К Т О Р И Й [ГЛ . I V

любой

оптимальной

конечной

траектории

(а;( )( =0 (Т \

^> Т(,

/со) выполняется

{ X t - 1 , X t )

Na)<s

(T-k0>t>T0).

Теорема

доказана.

4. Некоторые замечания, Приведем некоторые замечания к

теореме

14.1

З а м е ч а н и е

1. Рассмотрим модель Z,

обладающую

состоя

нием

равновесия (а, (х,

ах),р),

где

2 >

О,

0. Как уже отме

чалось выше, эта модель имеет телесный собственный

компакт,

от

вечающий собственному числу а.

Применительно

модели

теорема

сильной

форме

доказана

при

двух предположениях.

Во-первых,

считалось,

что

существует

l i m аг1а!

(ха)

(при

этом

автоматически

является

собственным компактом); во-вто

рых,

предполагалось, что указан

ный компакт % обладает тем свой

ством,

что

для

некоторого

с=

S r i

хса

выполняется р

(х)

const

(х

Зса

(I)).

Следующие

ниже

примеры показывают, что

каждое

из

этих

предположений

суще

ственно.

П р и м е р

Рассмотрим

подмножества

£х и £2

конуса R * ,

определенныеформулами (рис. 26)

Ei = { * e f l J | 2 ** + z * < l } ,

Ь = { * е л £

1^ + 2

Для]

1 6 ^

положим

о (i) =

х1^

х%.

Легко

проверить, что

(a, (S,

ах),

р),

где

(1,

1),

=(1, 1), является состоянием равновесия модели Z, порожденной

отображением а.		Рассмотрим точки х'		= (1, 0), х"=	(0, 1). Очевид
но, что а	(х') =	%и а (х") = £2 ,	заметим еще, что а (\|х)		=	£2,	а	(\|2)=
= \| х . Из	сказанного следует,		что	последовательность		а1	(х1)	не

сходится. Пусть	Т — произвольное натуральное число. Рассмот-
рим траекторию	% •.	fa)*=o	«одели	Z,	где
			1		г ( ( = 2 г ,2 Т + 1,
= х" (г = 0, 1, . . .		Т - 1 ) ,	xt: = у		г ( ( = 2 г ,2 Т + 1,
4Г). Так	как у	х е	Э + (a4 i (ж'))	=	d + Е2, то траектория^ %

') Это отображение рассматривал Р. Рокафеллар [1].

ТЕО РЕ МА О МАГИСТРАЛИ В СИЛЬНОЙ

ФОРМЕ

249

оптимальна.

Заметим,

что

(х')

(х"),

поэтому

процессы

(t =

1, 2,

. . ., 2 Т

— 2)

лежат

в грани Na.

Кроме того,

(xt, xui)

при t = 2 Т,

2 Г +

1, . . ., 4 Г — 1. Процесс же

(^х",

" ! " 2 ^ = (X2T-i' ^гт) г

Р а н

ив принадлежит. Так как Т

про

извольно и процесс (xiT_v

i 2 y ) лежит посредине траектории, то в

рассматриваемом

случае теорема

о магистрали

в сильной

форме

не имеет места.

Отметим в

заключение,

что отображение

имеет собственное

множество £, обладающее тем свойством, что Э£° (£) с

р~г

(с). (В ка

честве множества | можно взять, например, треугольпик {xEiR\

\ х1-^-

Ц-)

П р и м е р

2. Рассмотрим отображение а:

П (Д+),

оп

ределенное

формулой

a (z) =

<0, г>.

Модель

порожденная

отображением а,

имеет

единственный

темп

роста

1. При этом,

как

нетрудно

проверить,

j t a

= ( Я *

) * \ { 0 } . Пусть х0—

произвольная внутренняя точка конуса

R\.

Тогда

при всех

натуральных

а1

(х0) = <0, х0>

и,

стало

быть,

предел

li m а1

(хо)

суще

ствует

равен

множеству

% =

<0, хэ>.

Множество <3+£ состоит из точек х

таких,

что

0 <

х0

и либо х1

= х1,

либо х2

=2д(рис. 27). Любой функционал р из r i л;а

принимает на <?+ | разные значения. Пусть

Т— произвольное натуральное число. По

ложим

хх =

(хд,

-L х*)

И рассмотрим тра-

Рис. 27.

екторшо

х =

(*()(=(,'

г Д е

!0 (* =

Так как х 2

Т =

1, .

. .,

Т), xt

хх (t

Т +

1, . . ., 2 Т).

то

траектория

% оптимальна. При любом р

(*,)

= р

(xt+1)

{t =

0, 1, . . ., Т

Т +

2Г),

(*г) > i > (*r+l)'

так что процессы (xt,

x^J

=j= T)

лежат в грани Na,

процесс

(хт,

х т + 1 ) в этой грани не лежит. Таким образом, в модели Z

теоре

ма о магистрали в сильной форме не имеет места.

З а м е ч а н и е

2. Пусть a — нормальное отображение

i ? " —>•

- * П (Д"), причем модель

определяемая

этим

отображением,

имеет состояние равновесия (а, (2,

у), р),

где р

^> 0. В этом случае а

имеет собственный компакт |, отвечающий

собственному

числу а,

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3425 26 27 28 29 30 31 32 33 34 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20233.42 Mб5Макареня, А. А. Александр Александрович Байков.pdf
#
23.10.20238.39 Mб30Макаров Г.В. Уплотнительные устройства.pdf
#
25.10.202316.68 Mб18Макаров Е.С. Изоморфизм атомов в кристаллах.pdf
#
23.10.202327.11 Mб10Макаров, А. Д. Износ инструмента, качество и долговечность деталей из авиационных материалов учебное пособие.pdf
#
22.10.202314.98 Mб4Макаров, В. А. Теоретические основы телемеханики.pdf
#
22.10.202311.97 Mб6Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf
#
29.10.20231.69 Mб24Макеев Ф.Я. В помощь маляру.pdf
#
22.10.202310.52 Mб30Макиенко, Н. И. Производственное обучение слесарей механосборочных работ метод. пособие.pdf
#
23.10.202319.57 Mб196Макиенко, Н. И. Слесарное дело с основами материаловедения учебник.pdf
#
29.10.20234.92 Mб12Маковецкий П.В. Радиотехнические методы измерения скорости учебное пособие.pdf
#
20.10.20238.14 Mб42Макогон, Ю. Ф. Гидраты природных газов.pdf