книги из ГПНТБ / Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия

220

О П Т И М А Л Ь Н Ы Е

Т Р А Е К Т О Р И И

[ГЛ. I I I

Здесь приняты следующие обозначения: Е — множество

неот­

рицательных

чисел,

причем

0 £ Я , sup Е

=

Т е Е,

У >

О, Ё

=

=

{(т, t) е= Е

х

Е

| т >

(}, Xt

— локально

выпуклое

пространство

(t

(=

Е),

К[

— выпуклый замкнутый конус в пространстве

X j (t

g=

£

Е),

ат (

— вогнутое положительно однородное замкнутое отобра­

жение конуса Kt

в П (JfT ) ((т, t) СЕ 2 ) , причем 1) множество от (

(i)

слабо

компактно для любого х е

Kt

((%,

t)

£

£ ) , 2)

а( „( ,оа( , (

=

= a r >

(

(Г,

i <= £ ,

<"

> * ' > * ) .

Траекторией

модели 3JI называется

семейство

% =

( z j ) l e E

такое,

что а)

х,

е

Kt

(t

6Е £ ) ,

б) а* е

вт_,

(г,) ((т, t)ei

Ё).

Т е о р е м а

12.11. Пусть

у0

е= К0,

уТ

g= а т 0 (i/0 ).

Уогда су­

ществует

траектория

х =

модели

5Ш такая,

что

х0

=

!/0>

=

Уу

Модель sffl

назовем

регулярной,

если

(1)

«

^

е

^

^

Ч

C . t e s ) ,

(2)

объект

W

=

{Д, ( Х ( ' ) ( е Е , ( < ) ( е Е , К , , ) ( Х | | ) е 2 }

является

моделью

экономической динамики.

Условие (2) выполняется тогда и только тогда, когда множества

a'xt

(/)

компактны

(в Х'х)

при всех f &

К'{

и, кроме того,

a t - . t =

a ' r . t ' o

a t ; t

( t " , t ' , t & E ,

« " > * ' > * ) .

Траекторию

% =

( ^ ; ) ( е Е регулярной модели Ш

назовем

слабо

оптимальной,

если найдется функционал / е= АГГ

(/

0) такой, что

/(*т )=тах

to)

f(y).

V&T.O

Про

указанную

траекторию

будем говорить,

что она исходит из

точки х0

и слабо оптимальна в смысле /. Из любой точки х

конуса К0

исходит слабо оптимальная траектория. С помощью

модели 5Ш'

можно,

рассуждая

так

же, как

в

конечномерном случае, дать

характеристику *) слабо оптимальных траекторий

регулярной

мо­

дели

Ш-

Т е о р е м а

12.12. Пусть

х0

е

К0,

/т £

К'Т

(ха

ф

0, /0ф

0)

и X=

( г

< ) ( ^ Е

— траектория

модели

5ЭД, исходящая

из

точки

х0.

Для

того

чтобы

траектория

% была

слабо

оптимальной

в

смысле

функционала

fT,

необходимо

и

достаточно,

чтобы

для

любого

е > 0

нашлось

семейство

фЕ == (/Е)(ев (/Е £ К^)

такое,

что

§ 12]

Б Е С К О Н Е Ч Н О М Е Р Н Ы Е

М О Д Е Л И

221

1) для любой

траектории.

% = (х1)1^Е

модели Ш функция

h^.

3)

/^=£0 (teiE),

fr = 1T-

Т е о р е м а

12.13. Пусть

регулярная

модель

Ш

такова,

что

конус

К0

телесен

и х0

—

внутренняя

точка

К0.

Тогда

траектория

X =

( z ( ) ( e E '

исходящая

из

х и

слабо

оптимальная

в

смысле

функцио­

нала

fT

(fT

£5 КТ,

fT=j=

0), допускает

характеристику

ср =

(/;) ( & Е

такую,

что

JT

—

fT.

Т е о р е м а

12.14. Пусть

регулярная

модель

такова,

что

отображение

а^

Q

полунепрерывно

сверху.

Для

того

чтобы

траекто­

рия

% =

(xt)i^E

этой

модели

допускала

характеристику,

необ­

ходимо

и

достаточно,

чтобы

нашелся

функционал

f из

конуса

/С*

такой,

что

1)

/ ( * „ ) =

m i n

f(y),

2)

a T , 0 ( / o ) = H O } .

tf<=(naTi

„)-< (* x )

,

l "

жем 0, и срок службы, скажем со. Фонды i-vo

вида в момент t описы­

ваются

двумя

функциями

|? и т]^-

Считаем, что

g| 'g= i 2 ([0,

9]),

V i € E L 2

([0, со]). Функцию

Ц можно

рассматривать

как плотность

распределения

строящихся

фондов вида i по степени недостроенно-

сти; если 0

< ( u 2

G, то число

^ |? (и)

du показывает коли-

Ul

чество фондов этого вида, которым осталось

строиться не более

и2

222

ОПТИМАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ

[ Г Л . I I I

если 0 ^ Vf <

i>2

< со,

то интеграл ^ т)| (у)

равен

количеству

фондов, проработаввшх

не более vz

и не менее vx

единиц времени.

Положим %t

=

{%[,

£ ^), т), =

(i^,

rv^). Через zt

обозначим

ния, и что

X естественным образом упорядочено.

Конус

положи­

тельных элементов

этого пространства обозначим

через

К.

Считаем, что рассматриваемая экономика функционирует на

промежутке

[О, Т].

Пусть О ^ ^ т ^ Г , и и момент t

состояние

экономики

задано

вектором xt = (%t, т)( , zt). Часть продуктов zt

вектор

продуктов.

В результате экономика перейдет в новое со­

стояние хт =

(£т , пт , 2Т ). Указанный

переход задается с помощью

производственного

отображения а т ( ,

которое переводит конус К в

П (К).

Относительно этого отображения мы сделаем следующие

предположения.

1) Отображение а_ ( вогнуто, положительно однородно, замкну­

то, и,

кроме

того,

ограничено.

2)

Если

х

К,

то найдется элемент у из а т ( (х)

такой, что

(12.7)

где А.т (

— положительное число, не

зависящее от

х.

Смысл

последнего предположения заключается

в следующем:

в период [t,

т] экономика может «ничего не делать», т. е. быть закон­

12]

Б Е С К О Н Е Ч Н О М Е Р Н Ы Е

М О Д Е Л И

223

Из сказанного вытекает, в частности, что это отображение полу­

непрерывно сверху (предложение 12.7) и для любого х

ЕЕ К множе­

ство

а т ( (х)

слабо

компактно.

Экономические

соображения

подсказывают, что

отображения

ат ( должны

удовлетворять условию согласования

а,„( =

a r , r o a i ' , f

(0 <

i < *' < Г < Т),

зи =

{[0,

т],

№

) 0 < (

< т ,

( K t ) 0 < i < T ,

( f l T , ( ) 0 < ( < T < T } ,

где Х[ = X,

KT

=

K

( 0 <

* <

Г).

жение а'х ( ограничено (как

отображение

конуса

К * в

П (К

*)).

Привлекая теперь следствие

3 из

теоремы

12.9, получим, что

at',f °a't',t =

a't",t

(0

<

« <

г'

< * " <

Т).

Кроме того, для любого f

Е- К

* множество а'х t

(/) (0

t <

т <J

^

Т) слабо компактно. Тем самым и доказана регулярность моде­

ли

5JJI.

Для описания всех

траекторий

модели 3)J, допускающих

ха­

неприменима

непосредственно к модели 2Л, позволит описать

важ­

ный

класс

траекторий,

допускающих

характеристику.

Введем следующее определение. Пусть | — подмножество ко­

нуса К,

f Е= К

*

\

{0}. Траекторию

% = ( i ; ) t e

E модели 5ГО назовем

слабо

оптимальной

относительно

%, в смысле функционала /, если

f(xT)=

max

/(у)

и, кроме

того,

х 0

ЕЕ |.

Если % — слабо компактно, то, как следует из полной замкну­

тости отображения

аТ 0 , слабо

оптимальные

относительно £ траек­

тории

существуют.

L _

Имеет

место

~ Т е о р е м а

12.15. Пусть

£ —

выпуклое

замкнутое

ограничен­

ное

подмножество

конуса

К0

такое,

что

£

р

\S£

при

некотором

% >

0

(где

=

{х

е

К0

|

| х

||<

1}).

_

Пусть,

далее,

/ т

ЕЕ К

*

(/т

=jfc 0) и

] ( =

( 5 j ) ( e g

—

траектория

модели

SDJ, слабо

оптимальная

относительно

| в смысле

функционала

fT. Тогда траектория

%

допускает

характеристику

<р =

( F ; ) i e E l

обладающую

тем

свойством,

что /у =

fT.

224

О П Т И М А Л Ь Н Ы Е

Т Р А Е К Т О Р И И

[ Г Л . I I I

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Наряду

с моделью

рассмотрим

объект

501» = {Е», (27)( & Е о,

(Kf)ieB>.

(«?,,)

},

где

£ ° =

{ -

1} U [О, Т],

X°_t =

R\

Х°

=

X

(t <Е [0, 71 ]),

Л ' ^ ==

= R\,

К«

= К

( J 6 [О, Г]), а » ^

=

М;

(Л, е

= <Ч„Ч -1

(т е

1°.Т

^ аЬ

= <Ч/

(0 <

* <

т <

Г).

Объект

вообще

говоря,

не является моделью,

так

как

miEa

= — 1 . Нетрудно, однако, проверить, что этот объект обладает

всеми свойствами модели

(кроме

указанного),

и потому,

допуская

намики. Нетрудно проверить, что отображение (

((т, t) g= Е°)

ограничено (как отображение конуса (ЛГ(°) * в П ((К°)

*)). Привле­

Рассмотрим семейство

х° = (^i^o, где =

1, 3aL = х{ (t е Е),

Так как х 0

£ = % _ х (1)> то семейство х° является траекторией

модели Ща\

так как

fT ( х т ) =

max fT (у) =

max

/ т (у),

1/eaj- о (£)

и е а Г ] _ 1 (1)

является внутренней точкой конуса К_х

то, в силу

теоремы

12.13,

траектория

%° допускает

характеристику ф° = (7()1 е Ео

такую,

что ] т = / т . Семейство ф =

(7[) ( е [ 0 т]

является

характеристикой

траектории

Теорема

доказана.

226

А С И М П Т О Т И К А О П Т И М А Л Ь Н Ы Х Т Р А Е К Т О Р И Й

[ГЛ . I V

« а =

{Р >

0 | р

65 аа'

(р)}.

Множество па

непусто;

при

этом я а

|J {0}

представляет

собой выпуклый замкнутый конус. Нетрудно

убедиться

в том, что все функционалы

из r i я а

имеют одни и те же

ненулевые координаты. Через Ga

обозначим

множество

всех номеров г из / =

{ 1 , 2, . . . ., п},

для которых р { > 0

(рбЕп я а ) . Отметим еще, что

если р 65 я а

, то

последова­

тельность

фр

=

(р,

а~гР,

• • .,

й~(Р,

• • • )

является

траек­

торией модели 3 l z

, двойственной к 31z-

Будем говорить, что траектория % =

(xt)

модели Z

(или, что

то

же самое,

модели

3lz ) имеет средний

темп

роста а, если эта траектория

согласована с траекторией

ФР

при некотором р 65 r i ла;

иными словами, если

l i m

а~' р

(xt)

>

0

[р

65 r i

ла).

Траектория

% имеет средний темп роста а

в том и только

том случае,

когда

найдется

индекс i

65 Ga,

при котором

l i m c r ' z j

>

0.

Для

р 65 r i я„

наряду с

траекторией фр

рассмотрим

множество

{na)-1(yp)

=

\Jata-t

(р).

t

Из

результатов п. 6 § 9 вытекает

следующее

П р е д л о ж е н и е

13.1. Для

того чтобы

из

точки

х0

исходила

траектория,

имеющая средний

темп

роста

а, необходимо и достаточно, чтобы эта

точка была со­

гласована с траекторией

фр при некотором pEEvi

ла,

т. е.

чтобы

inf

h (х0)

>

0.

С л е д с т в и е . Если 0 ^

х ^

у и из точки х исходит

траектория,

растущая

средним темпом

а,

то и точка

у обладает этим свойством.

Отметим еще, что если Z обладает

состоянием равнове­

сия вида (а,

(х, ах),р),

то траектории, имеющие средний

темп роста а, заведомо существуют.

Эти траектории в некотором смысле близки к опти­

мальным. Мы покажем это в простейшей

ситуации.

П

р е д л о ж е н и е

13.2. Пусть Z обладает

состоя­

нием

равновесия (а, (я,

у), р) таким, что у^>0,

р^>0.

Тогда, для того чтобы траектория % = (xt ) имела средний

пускала

согласование.

В доказательстве нуждается лишь достаточность. Пусть

траектория

ср =

(ft)

согласована

с

%•

Не умаляя общ­

ности,

можно

считать,

что

/0

^

р.

Положим *)

£ =

=

оо

(а')'(р).

Пусть^еЕ! |; тогда^бЕа'

(а')'(р)принекото-

U а'

(=i

ром натуральном t. Так как а*£

ЕЕ а* (х),

то g

(х)

^

р

(х).

Из

соотношения

£ ^ > 0

следует,

что m i n h (%) — т > 0.

Таким

образом,

Мы показали,

что

множество

\ ограничено. Поскольку

р ^ > 0,

то найдется

X >

0, при котором

g a

X < 0,

р >.

Отображение (а'У нормально и, стало

быть,

монотонно.

Учитывая это обстоятельство и неравенство /0 ^

р,

имеем

/ , e M U ) c ( a ' № ) ,

откуда

следует

соотношение

а'/<6Е а'

Таким

образом,

a'ft

^

Хр

при всех

натуральных

t.

Так

как траектория ср =

(ft)

согласована

с

траекторией

% =

(хд> т о

l i m

/ ( ( я * ) > 0 , стало

быть, и

l i m c r ' p

(xt)

> 0 .

Предложение

доказано.

С л е д с т в и е .

В

условиях

предложения

каждая

траектория

%, допускающая характеристику,

имеет сред­

228

А С И М П Т О Т И К А

О П Т И М А Л Ь Н Ы Х

Т Р А Е К Т О Р И Й

1ГЛ. I V

Z. Для р ЕЕ па

положим

# Р

=

{ ( * , у) ЕЕ Rn

X

Rn

\ ар (х)

=

р

(у)}

(Hv

есть

гиперплоскость

функционала

(ар,

—р)).

Если

(а, (я, у), р)— состояние равновесия, то луч

(X (х,

j/))x>0

входит в Нр

при любом р ЕЕ па.

Нетрудно проверить, что

множество

Na-=Z[\(

П

Hv)

является гранью

конуса

Z.

Это множество и называется

неймановской гранью (отвечающей темпу роста а ) .

П р е д л о ж е н и е

13.3. Если

р ЕЕ r i па,

то

Na

=

— Z П

Нр.

(х,

у) ЕЕ Z

f| Нр

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть

и

р'

ЕЕ ла.

Так

как р ЕЕ r i па,

то р

— 8р'

ЕЕ па

при

до­

статочно

малом положительном б. Имеем

Р

(У)

=

(*)>

(Р

—

&>')

(у)

<

а (р

— Ьр')

(х),

откуда следует неравенство р' (у)

!> ар' (х).

С

другой

стороны,

из

соотношения

р'

ЕЕ аа'

(р)

вытекает,

что

р'

(у)

^

ар'

(х).

Таким

образом,

р'

(у) =

ар'

(х),

т. е.

(х,

у)

ЕЕ Нр-.

Так как

р'

— произвольный элемент я а , то

Na

= Z[\(

П

Hp.)zDZ(\Hp.

Обратное

включение

очевидно.

% =

(xt)

(xt

=j= О,

Будем

говорить,

что

траектория

t = 0 ,

1, . . . ) модели Z

стремится

к неймановской

грани

Na,

если

*)

*)

Символом

|| д || ' > LJ

обозначается расстояние

от

элемен-

(х,

у)

та ц д. ц пространства

R n

X

R n до множества

L в этом

простран­

стве. (Считаем,

что

в R n

введена некоторая

норма || -||,

которая

индуцирует B F

X

F

норму, скажем, || (х, у)

||= (|| х

f

+ || у || 2)V

Заметим, что стремление траекторий к неймановской грани не

зависит от того, каким именно образом введена норма в R n .

Иногда