книги из ГПНТБ / Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия

т. е.

/7 ( * - * , ) > / ? „ (и).

(11.17)

Полошим

т. =

min

g (и).

geict+r

и с !i =

i

Так как и — внутренняя

точка

конуса

Ktn, то т > 0.

Используя (11.17), имеем

с, Их - г, ||> I/J Ц-Цг - г, || >П(х-

xt)

>

> /?«(") = ,r^K (u>' I II > m

I "'

II U+i II

с,

Т последовательности

-^-||ж —

Итак, при всех]

/, (х) -

ft (Xt) >

ft+1

(у) -

(xt+1)

((х, z/) 6Е Q,).

При этом || /т || =

1- Покажем, что /< =^ 0 (г >

Т).

Дейст­

вительно, / т

ф 0. Предположим,

что ft ф 0 при некото­

ром

t~^* Т.

Тогда

если

ft+1

=

0,

то при

всех

х £Е Рг х Я г

выполняется /(

(х)

>

/t

(Xt).

В частности,

полагая а: =

0,

получим, что /(

(xt)

=

0. Заметим,

что fj

(Xt)

=

max

ft

(у)

VSa(0(Xo)

при

любом

т !>

а

потому

и

/, (xt)

=

max

ft

(у).

veat<0(x„)

Так как Х0Е=

i n t iT0 , то множество

a t ) 0

(ж0) содержит

внут­

реннюю точку конуса Kt.

(В

этом легко

убедиться,

при­

менив предложение 4.7 к отображению at)0,

построенному

при доказательстве теоремы 11.3.) Из сказанного

следует,

что равенство ft

(Xt)=0

может иметь место лишь в случае,

когда ft = 0, что

невозможно. Таким образом,

ф

0.

Рассмотрим теперь номера t =

0, 1, . . . , Т — 1. Так

как Г-кусок %т траектории % оптимален

в

смысле

/т,

то, в силу теоремы 11.3, найдутся функционалы

/„, . . .

и числа v 0 , . . ., VT-I

такие, что семейства

(/о. • • м/г- 1,

/т)

и (v0 ,

. . . , v T

_ l t

0)

212

О П Т И М А Л Ь Н Ы Е

Т Р А Е К Т О Р И Й

[ Г Л . I I I

Uq

непусто;

при. этом

для

любого

х

S

К

q (.г) =

inf

A

(х).

heue

Доказательство этой теоремы см. Хермандер [1].

Совокупность всех суперлпиейных функционалов, определенных

на К, обозначим через Q

(К).

Введем в Q (К) естественным образом

отношение порядка; тем самым Q (К)

превращается в упорядоченное

полулинейное пространство.

Непустое подмножество U пространства Л" назовем

К'-устойчи­

вым,

если

U

-f- К'

С

U;

подмножество U

этого пространства

назо­

вем К-опорным,

если оно выпукло, замкнуто, .йГ'-устойчиво и, кроме

того,

inf

h

(х)

>

—

оо. Совокупность всех

Т-опорных

множеств

обозначим через IIQ (К).

Введем в IIQ (К)

отношение

порядка,

по­

ложив Ui

^> U2,

если

иг с U2 (иъ

U2

е TLQ

(К)).

Естественным

образом введем в UQ

(К)

операцию утюжения на положительное

число. Кроме того, положим О- U —

К'.

Если

Ux, U2

е

IIQ (К),

то

через

иг-\-

U2

обозначим замыкание (в

X')

множества

Ux

+

U2.

жения на неотрицательные числа IIQ (К)

является

упорядоченным

полулинейным

пространством.

Т е о р е м а 12.2. Отображение

q

-+UQ

является

изоморфизмом

упорядоченных

полулинейных

пространств

Q (К)

и

HQ

(К).

Функционал р,

определенный на К,

назовем сублинейным,

если

—р

является суперлинейным функционалом. Линейный функционал

А называется опорным

к сублинейному функционалу р,

если h (х) ^

<J р

(х) для всех х

пз К.

Множество всех линейных

функционалов,

опорных к сублинейному р, обозначим так же, как и для

суперлп-

ложим также U* =

Up

П К'• Сублинейный функционал р назовем

вполне

положительным,

если

р

(х)

=

sup А (х)

(х е

К).

Легко проверить, что каждый монотонный функционал р

вполне по­

ложителен (монотонность р

означает, что р (х)

>

р (у),

если х —

у е

S К).

Обратное утверждение удается доказать лишь в следующих

двух случаях: 1) конус К

телесен, функционал р

непрерывен, 2) ко­

нус К

миниэдрален *),

операция /+:

х —>

х+

непрерывна.

При изучении вполне положительных функционалов важную

роль

играют нормальные

множества.

Рассмотрим локально выпуклое пространство X,

в котором вы­

делен

выпуклый замкнутый конус К. Подмножество Q конуса К

*)

Конус К называется миниздральным,

если отношение поряд­

ка, индуцированное им в пространстве X,

таково, что любые

два

элемента из X имеют верхнюю грань (супремум). Если К

миниэдра­

лен, (то каждому

можно сопоставить элемент х+

=

sup (х,

0).

Б Е С К О Н Е Ч Н О М Е Р Н Ы Е М О Д Е Л И

Й13

назовем; нормальным

(в смысле К), если Q — К f]

К = й . (Здесь

отрезок <0, я> (в этом

случае й — К =

Й —

К).

Нормальной

оболочкой

подмножества Q конуса К

назовем пере­

сечение всех нормальных множеств, содержащих й.

Нормальную

оболочку

й обозначим

символом

пй.

П р е д л о ж е н и е

12.1. Если

й С

К,

то

лй =

й —

К

f \

К.

Рассмотрим теперь

снова сублинейные функционалы • па

кону­

се К.

Имеет место

Т е о р е м а

12.3. Пусть

р

—

сублинейный

функционал,

опре­

деленный

на конусе

К

и

обладающий

следующими

свойством:

найдется

подмножество

|

конуса

К'

такое,

что

р

(х)

=

sup h

(х)

(х

£Е

К).

Тогда

1)

функционал

р

вполне

положителен,

2)

множество

Up

сов­

падает

с

нормальной

оболочкой

(в

смысле К')

выпуклой

оболочки

мно­

жества

3.

Точечно-множественные

отображения.

Пусть

Хх

и

Х2

—

означает,

что

sup {К

\ у

+

Xz

GE a (х)} <

оо для

всех

у ЕЕ а (х)

и

z

€Е Х2).

Так же, как в конечномерном случае, отображение а

конуса

Кх

в П (К2)

назовем замкнутым,

если график Z

этого

отображения

является

замкнутым

(в

пространстве

Хх

X

Х2)

множеством. Если

а

— замкнутое

отображение, то для любого х ЕЕ Кх

множество а

(х)

замкнуто.

Введем теперь определение замыкания отображения. Если а

—

отображение конуса ^ в П

(К2),

то замыканием этого отображения

назовем отображение а конуса ^ в П

{К2),

график которого Z сов­

падает с

замыканием

графика

Z отображения

а.

П р е д л о ж е н и е

12.2. Замыкание

вогнутого

отображения

вогнуто,

замыкание

положительно

однородного

отображения

положи­

тельно

однородно.

Важную роль в дальнейшем играют отображения, которые назо­

вем полунепрерывными

сверху.

Будем говорить, что отображение а

конуса Кх

в П (К2)

полунепрерывно

сверху,

если

для

любого

g

ЕЕ К г функционал

qs,

определенный на

Кх

формулой qg

(х)

=

=

s u p g (у),

принимает лишь конечные

значения и

полунепрерывен

214

О П Т И М А Л Ь Н Ы Е

Т Р А Е К Т О Р И И

[ГЛ .

I I

Если а вогнутое, положительно однородное, полунепрерывное

сверху

отображение,

то функционал

qg

(g €= К%)

является

супер"

линейным.

П р е д л о ж е н и е

12.3.

Если

а —

супераддитивное,

полуне­

прерывное

сверху

отображение,

то

оно

является

гейловским.

Отметим еще, что имеет место

П р е д л о ж е н и е

12.4. Замыкание

полунепрерывного

сверху

отображения

полунепрерывно

сверху.

Следующие предложения показывают, что класс полунепрерыв­

ных

сверху

отображений

достаточно

широк.

П р е д л о ж е н и е

12.5.

Если

отображение

а

полунепрерывно

сверху

в

смысле

Бержа

(см. Берж

[1]), то

оно

полунепрерывно

сверху.

П р е д л о ж е н и е

12.6. Если

отображение

а

таково,

что

мно­

жество

а

(х)

замкнуто,

выпукло

и

ограничено

для

любого

х £

К\

и,

кроме

того,

а

непрерывно

как

однозначный

оператор

со значениями

в

пространстве

выпуклых

множеств

*),

то

а

полунепрерывно

сверху.

Вогнутое замкнутое отображение а конуса Кх

в П (К2)

(Ki

—

конус в пространстве Х\

(£ =

1, 2)) назовем вполне

замкнутым,

если

пространства

Хх

и Х2

метризуемы и образ а

(£) любого слабо ком­

пактного

подмножества

| конуса

Кх

является слабым

компактом.

П р е д л о ж е н и е

12.7. Вполне

замкнутое

отображение

по­

лунепрерывно

сверху.

Важную роль в дальнейшем будут играть нормальные и вполне

нормальные

отображения.

Вогнутое отображение а конуса Кх

в П (К2)

назовем

нормаль­

ным,

если для любого х

6= Кх

множество а (х)

нормально. Нормаль­

ной оболочкой вогнутого отображения а назовем отображение

па,

которое

каждому х

из Кг

ставит

в соответствие множество

па (г).

П р е д л о ж е н и е

12.8. Если

отображение

а вогнуто,

то

и

отображение

па

вогнуто.

С л е д с т в и е .

Нормальная

оболочка

вогнутого

отображения

является

нормальным

отображением.

Отметим

три

простых

свойства

нормальной оболочки.

1) Если отображение о полунепрерывно сверху, то и отображе­

ние

па

полунепрерывно

сверху.

Вогнутое отображение а конуса

Кх

в П (Кг)

назовем

вполне

нормальным,

если

график

Z

этого

отображения

таков, что

Z -

({0} X

Ке) П (Кг

X

f 2 )

=

Z.

П р е д л о ж е н и е

12.9. Вполне

нормальное

отображение

зам­

кнуто

и

нормально.

Указанное предложение в некоторых случаях допускает обра­

щение.

П р е д л о ж е н и е

12.10. Пусть

конусы

Кх

и

К2

телесны,

а —

замкнутое

нормальное

отображение

конуса

Кх

в

П (Kg),

обла-

Б Е С К О Н Е Ч Н О М Е Р Н Ы Е

М О Д Е Л И

215

дающее

тем

свойством,

что

множество

а

(К\) содержит

внутреннюю

точку

конуса

К2.

Тогда

отображение

а

вполне

нормально.

П р е д л о ж е н и е

12.11. Вполне

замкнутое

нормальное

отоб­

ражение

является

вполне

нормальным.

Ниже показано, что нормальное,

полунепрерывное сверху,

по­

вательно,

замкнуто).

Пусть а — вогнутое отображение

конуса

Кг

в П (К2)

и Z

—

график этого отображения. Отображение п0а

назовем

вполне

нор­

мальной

оболочкой

а,

если его график

Z0

совпадает

с пересечением

всех подмножеств конуса Кг

х

К2,

содержащих

Z

и

являющихся

графиками вполне нормальных

отображений.

П р е д л о ж е н и е

12.12. Если

а

—

вогнутое

отображение,

то

отображение

поа

вполне

нормально.

П р е д л о ж е н и е

12.13. График

Z0

вполне

нормальной

обо­

лочки

п0а

вогнутого

отображения

а

имеет

вид

Z„ =

Z

-

({0} X

К2)

П

(Кг

X

К2),

где

Z

—

график

отображения

а.

Будем теперь рассматривать (иногда не оговаривая этого особо)

лишь вогнутые положительно однородные отображения конуса Кг

в

П (К2).

Если а

— такое отображение и Z

— график отображения

а,

то двойственный

к конусу

Z

конус

Z +

определим так же, как в ко­

нечномерном

случае,

формулой

Z +

= {(/,

g)

S

Кх

X

К'г

| / (х)

>

g

(у)

для

любой пары (х,

у) 6Е

Z}.

Легко

видеть, что Z + — выпуклый замкнутый в Xi

X

-Хг конус.

Заметим,

что конус Z +

непуст и,

более того, Ргх

Z +

=

К\.

Отобра­

жение

а'

конуса К\ в П (К2),

графиком которого является конус Z + ,

назовем

двойственным

по

отношению

к отображению

а.

П р е д л о ж е н и е

12.14.

Отображение

а'1

(конуса

К\

в

П

(А'2))

вогнуто,

положительно

однородно

и

вполне

нормально.

Так как а' вогнуто п положительно однородно, то имеет смысл

говорить об отображении, двойственном к а'.

Это отображение мы

будем обозначать символом а" и называть вторым

двойственным

по

отношению к а. По определению,

а"

(х)

=

{у

е= К2

|g/ (х)

>s g (у)

для

любого

/ 6= Ki

и

любого

Имеет

место

? s s ' (/)}

(х

е

кх).

Т е о р е м а

12-4. Отображение,

второе

двойственное

к

отобра­

жению

а,

совпадает

с вполне

нормальной

оболочкой

а.

Иными

словами,

а

=

поа.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Обозначим

через

Z

и

Z +

+

графики

Z++

=

Z

-

({0}

X

К2)

П

( # i

X

К2).

Из предложения

12.14 следует,

что

Z++ 3

Z

-

({0}

X

К2)

П

(Кг

X

К2).

216

О П Т И М А Л Ь Н Ы Е Т Р А Е К Т О Р И И

[ГЛ . I l l

(х,

у ) ф

г -

({0} х К2)

П №1 X

.ад-

Нетрудно

проверить,

что

(х, у) ф

Z

— ({0}

х

К2);

учитывая, что

множество

Z

— ({0} X

К2)

является

конусом, найдем

функционал

(/,

g) €5 Xi

х

Х'ч

такой, что

/(*)

+ g ( t f ) < 0 =

(и,

inf

f(u)

+

g(v).

(12.1)

г>)ег-((о)хад

Из правой части

(12.1) легко

следует,

что

/ e . t f i ,

е

Кг,

/ (и) >

(»)

((и, »)

G

Z).

(12.2)

Из

(12.2)

вытекает,

что

(/,

—g)

(Е Z + ,

и

потому, учитывая, что

(a;,y)GZ+ 1 ",

получим / ( х ) >

— g ((/),

что

противоречит

левой

части

(12.1). Полученное противоречие и доказывает теорему.

Перейдем теперь к изучению двойственного

и второго двойст­

однородных отображений конуса

Кг

в П (К2)

обозначать символом

А и

(Ki,

К2).

Т е о р е м а

12.5. Если

а

£ЕАи

(Кг,

К2),

то

а'

(К\)

=

К2.

При

этом

для любых

х

из

Kt

и

g

65

Кг

sup

g(y)—

inf

j(x).

iea(*)

te(a')-'te)

Т е о р е м а

12.6. Если

a

€=.<4U

(Klt K2),

mo

a"

=

na.

Доказательство

можно

провести,

опираясь

на

теоремы

12.3

С л е д с т в и е

1. Если,

а

ЕЕ А и

{Къ

К2)

и

а

нормально,

то

а

вполне

нормально

(и, следовательно,

замкнуто).

С л е д с т в и е

2. Если

а

65 A v

(Кг,

К2),

то

и

а" (=Аи

(Кх,

К2).

Символом A v

(йГц К2)

обозначим

совокупность

всех

вогнутых

положительно однородных отображений

а конуса Кг

в П (К2)

, об­

ладающих

теми

свойствами,

что

1)

а (Кг)

=

К„

2)

для

любого

/ 65 Кг

функционал

pf.

Pf{y)=

inf

/(*)

(yeuli

сублинеен

и

вполне

положителен,

3)

0 е

а

(х)

(х

65 к%).

Из

теоремы

12.5 следует, что отображение а',

двойственное

к

отображению ажгАи

(К^

К2),

принадлежит множеству А „

(К\,

Ki).

Действительно, в силу этой теоремы, a'

(Ki) =

Кг

и, кроме того, из

соотношения

inf

/ ( х ) =

sup

g(y)

/e(o')-'(g)

V&[x)

Б Е С К О Н Е Ч Н О М Е Р Н Ы Е

М О Д Е Л И

217

следует, в силу теоремы

12.3, что для2любого а: из Ку

функционал рх:

Px(g)

=

inf

f(x)

(gei('2),

сублинеен

и

вполне

положителен.

Имеет

место

Т е о р е м а

12.7- Если

а£.А„

(Ку,

К2),

то

а'

е

А и

(Ку,

Kz).

При

этом

inf / ( я ) =

sup

g(y).

aea-'(V)

gea'(/)

Т е о р е м а

12.8. Если

а

£Е А и

(Ку,

К2),

то

а" =

а.

Приведем теперь результаты, относящиеся к произведению полу­

непрерывных

сверху

отображений.

Т е о р е м а

12.9. Пусть

щ

ёЕ А и

(К„

Ki+1)

(£ =

1,2) и,

кроме

того,

для любого х

ЕЕ Ку

множество

ах

(х)

слабо

компактно.

Тогда

агоау^Аи

(Ку,

К3)

и

(а2°ау)'

=

аъоау

(12.3)

(здесь

черта

означает

замыкание

отображения

в

пространстве

Х'у X

Хз).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Отображение

a2 °Oi

вогнуто п поло­

Пусть

fee

Кя.

Рассмотрим

функционал

git:

gh (х)

=

sup h

(z ) (x S

Ki).

Используя

теорему 12.5 и теорему

о минимаксе,

имеем

g

(х) —

sup

h (z) =

sup

sup

h (z)

=

zeai(a,(x))

уеа,(ж)

zea2 (v)

=

sup

inf

g(y)=

inf

sup

g(y) =

=

inf

inf

f(x)=

inf

f(x).

(12.4)

gSCaj)-1 (h) I/6=(ai)-»(£)

/e(ai)-402)-»(h)

Из

формулы (12.4) следует, что функционал q^

полунепрерывен

сверху. Это и

означает,

что отображение а2°ау

полунепрерывно

сверху.

Перейдем к доказательству

формулы

(12.3).

Если

h е К3, то

множество (ai)~1o(a2)~1 (h)

выпукло

и ^-устойчиво. Его замыкание

inf

/ (х) = qh (х) > — оо.

/ е (о,)_ 1 о(а„)-ЧЛ) / (ее) =

i n f

218

О П Т И М А Л Ь Н Ы Е Т Р А Е К Т О Р И И

[ Г Л . I I I

Из сказанного следует, что множество ( a i ) - 1 ° ( a 2 ) 1

(А) является

Л^-опорным и (теорема 12.2)

и потому

((a 2 o f l l )') - i (Л) =

( a i r M e i r 1

(^)-

(12.5)

Рассмотрим

отображение

( a i ) -

1 " ^ ) - 1 — замыкание

отобра­

жения

(ax)- 1 °(aa)~1 в пространстве Хз X Х'г.

Непосредственно из

определения

замыкания

и (12.5)

вытекает, что для А 6 : Кз

( а д Г М в Й - 1

(A) Z3 ( « Г М в я Г 1

(А) = ( ( а ^ ! ) ' ) - 1

(А).

Снова используя определение замыкания и учитывая замкну­

тость

отображения

((ae°ai)')- 1 , получаем, что

откуда

в спою

очередь

следует, что

(a.o«i)' =

((чГМв!)-1)-1-

Для

завершения доказательства

осталось

сослаться иа ра­

венство

( ( a i r M e a r 1

) - 1 =

a2 °ai,

справедливость

которого

проверяется

непосредственно.

Теорема доказана.

С л е д с т в и е

1. Пусть

отображения

аг и а2

удовлетворяют

условиям,

теоремы

и,

кроме

того,

1) 01 и

а2 полунепрерывны

сверху,

2) для

любого

f £Е Кi

множества

а% (/) и az°ai

(/) компактны

(в Х%

и Хз

соответственно).

Тогда

{агоа^\'

=

аг»в1.

В

самом деле, из полунепрерывности сверху отображений ах и

а'ч и компактности а[ (/) следует

полунепрерывность

сверху отоб­

ражения

агоа'у.

Используя компактность множества

аъ°а\

(/), не­

трудно

проверить, что это множество

нормально. Следствие 1 из

теоремы 12.6 показывает, что отображение oaoai

замкнуто, откуда и

следует

наше утверждение.

С л е д с т в и е

2.

Если

множество

(ai)~1o(a2)~1 (А)

замкнуто

(в Xi)

для

любого

А €Е Кз, то

отображение

аг°а%

замкнуто.

Б Е С К О Н Е Ч Н О М Е Р Н Ы Е

М О Д Е Л И

219

ва, Кх

и К2

— выпуклые конусы в пространствах Х х

и Х2

соответст­

венно . Положительно однородное отображение а конуса ^ в П

(К2)

назовем

ограниченным,

если

sup || 2/ IK оо.

sup

» = К ь

M < 1

1/еа(х)

С л е д с т в и е

3. Пусть

в условиях

теоремы

пространства

Х\

(£ =

1, 2) банаховы,

отображение

ai

ограничено

(как

отображение

К\

в

П (Кг)).

Тогда

(a2 °ai)'

=

a2°ai.

Чтобы показать справедливость этого следствия, достаточно

проверить, что для любого h ЕЕ Кг

множество (ai)~1o(a2)~1

(К)

замк­

нуто в Xi,

а затем сослаться на следствие 2. Так как пространство

Хг

банахово, то (см. Бурбаки [1]) множество (ai)~1o(a2)~1

(h)

будет

слабо замкнутым, если слабо замкнуто каждое из множеств]

( a i ) - 1 o ( a a ) - 1 ( ^ ) n ^ i

(X

>

0),

(12.6)

где Si

—

единичный

шар

пространства

Х\.

Замкнутость множеств (12.6) легко проверить, используя огра­

ниченность

отображения

ai-

В

связи со следствием 3 представляет

интерес

следующее

П р е д л о ж е н и е

12.15. Пусть

Хг

и Х2

—

нормированные

пространства,

К-^и К2

—

выпуклые

замкнутые

конусы

в

пространст­

вах

Xt

и Х2

соответственно,

причем

пространство

Х2

полное, а ко­

нус

К2

воспроизводящий.

Пусть,

далее,

а —

вогнутое

положительно

однородное

отображение

конуса

К± в П (К2),

обладающее

тем

свойст­

вом,

что

при

некотором

X > 0

па

(S*)

3

(где

S* =

{х е

Xi | || х

||

<

1} (i

=

1, 2)).

Тогда

отображение

а'^ ограничено

(как

отображение

ЛГ* в

П (<)) •

Отметим еще справедливость следующего утверждения.

П р е д л о ж е н и е

12.16. Пусть

а\ —

полунепрерывное

сверху,

нормальное

отображение

конуса

Ki

в П (-Kj+ 1 )

(' =

1, 2), причем

для

любого

х

из Кх

множество

аг

(х)

слабо

компактно.

Тогда

отображение

а2оа1

вполне

нормально

(и,

следовательно,

нормально

и

замкнуто).

Справедливость предложения легко следует из следующей тео­

ремы.

Т е о р е м а

12.10. Пусть

а\ €E.Av(Ki,

ЛГ; + 1 ) (£ =

1, 2) и,

кроме

того,

для

любого

/ ЕЕ

множество

ах

(/)

компактно

в К^.

Тогда

a2oaL

Е Е Л 0

(Къ

К3)

и (а2°а,)'

=

а'^а'^