Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

11.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 3419 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

180	О П Т И М А Л Ь Н Ы Е	Т Р А Е К Т О Р И Й	[ Г Л .	Ш
(t =	0, 1, 2, . . .); если (т, t)	ЕЕ Е и а; ЕЕ К,,	то ат , t (х)	=

=а-'

Отображения ат,;, как нетрудно

проверить,

супер

линейны. Покажем,

что

семейство (ат ,,)( 1 . (

)

& g удовлетво

ряет

условию

согласования.

Пусть

t <

£' < 2". Прове

рим, что

отображения а,», , и аг », /' ° я-с, < совпадают на ко

нусе

а1 (К)

,П К.

самом деле,

пусть

у ЕЕ «/",; (ж)

(х ЕЕ

ЕЕ а1

(К)

П К).

Тогда у ЕЕ а}"~1

(х),

потому

найдется

i''-шаговая

траектория

(х0,

хх, . .

xt,

. . .,

xv, . . .

. . ., xi»)

модели Z такая, что xt

= х,

х(-

у. Элемент х^

входит в конусы К

и а''

(К),

т. е. xt> ЕЕ Kf.

Кроме

того,

xt' ЕЕ а{'-'

(х)

и у ЕЕ a'"-1'

(xt').

Это показывает,

что

спра

ведливо

включение

я-rv 0е ) С a r , r ° ai',i

(х)- Подобным

же образом проверяется обратное включение. Итак,

су

перлинейные отображения a( »l f и

a(«tf°at'A

совпадают на

конусе а1 (К)

П К;

отсюда

следует,

что

они

совпадают

и на замыкании Kt

этого конуса.

Очевидно, что пучок траекторий модели ?KZ

совпадает

с совокупностью

всех траекторий модели

Для изучения конечных (Г-шаговых) траекторий моде ли Неймана — Гейла можно привлечь дискретную модель

первого		рода
	ml	= { { 0 , 1 , . . . ,			г ] , ( х ,)£.„,		(K,)Lo,		(я,.«)о<«<т<т},
где	пространства			Хи	конусы	К,	(t <	Т)	и	отображения
о Т ) ,	(t <Z т <		Т)	таковы же, что			и в модели			(10.1):
		Кт	= ат {К),		Хт = КТ	— Кт,		aTft	=	а?-1.

Сказанное позволяет естественным образом определить в модели Неймана — Гейла те объекты, которые рассмат ривались в технологических моделях. В частности, будем говорить, что траектория (конечная траектория) модели Z обладает каким-либо свойством (оптимальностью, до пускает характеристику и т. д.), если она обладает этим


свойством,	как траектория		модели	Шг (модели		SKz).
Эти определения		согласованы	в том	смысле, что		если
Г-кусок траектории % модели Z обладает одним из рассмат
риваемых	свойств	в смысле модели		5Rz, то он	обладает
этим свойством и в смысле 93JzВсе				результаты	первых

двух параграфов этой главы, относящиеся к технологичес ким моделям, справедливы и для модели Z. (Формулируются

§ 10] Т Р А Е К Т О Р И И В К О Н К Р Е Т Н Ы Х М О Д Е Л Я Х 181

они в терминах модели 93?z (или СК1); поскольку, однако> связь между производственными отображениями моде лей Z и Ш% достаточно проста, зти результаты нетрудно перевести на язык модели Z.)

Отметим, в частности, что из каждой точки х конуса К исходят оптимальные траектории (см. лемму 8.1). Если


х ЕЕ i n t К,			то каждая			оптимальная	траектория, исходя
щая	из	х,	допускает		характеристику (см. теорему 9.8).
В случае, когда Z — модель Неймана, последний резуль
тат может быть существенно усилен.
Т	е о р е м а			10.1.	Пусть Z — модель Неймана и точка
х ЕЕ К		такова,		что	при всех натуральных t множество
а1 (х)	пересекается с К					и а1 (х) [)К	ф {0}. Тогда каждая
конечная оптимальная						траектория,	исходящая из	точки
х, допускает характеристику; каждая оптимальная								тра

ектория, исходящая из х, допускает слабую характерис тику.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как Z — многогранный конус, то конус ZT — график отображения аТ (Т = 1, 2, . . .) — также многогранен. Непосредственно из опре

деления следует, что график

Z y j 0 производственного

ото

бражения

ат,о модели

имеет вид ZT,O — Z r

П (К

X i?"). Из многогранности Z следует, что конус К

Ргх

многогранен,

а потому и конус Z T i 0

многогранен. Из мно

гогранности

ZT,O

следует

свою

очередь

что

конус

ат(К)

— Рг2 ZT,O многогранен. Это означает, что конус Кт,

фигурирующий в определении модели SffiJ,—

многогра

нен.

Используя,

наконец,

то

обстоятельство,

что

график

nZr,о

отображения пат.о выражается через

Z r , 0

n o

фор

муле

nZT,0 =

(Z r , 0

({0}

Кт))

П ( i f

X Кт),

получим, что и конус

HZT,O

многогранен.

Рассмотрим теперь оптимальную Г-шаговую траекто

рию

х =

(xt)J=o,

исходящую

из точки х.

Поскольку

ко

нус

IIZT.O

многогранен,

то

и множество

(пат, о) - 1 (%т) —

— {Ж ЕЕ К\($,

хт) ЕЕ nZr,o}

многогранно. Используя

оп

тимальность % и то обстоятельство, что ат,о(х)Ф

{0},

получим, привлекая предложение 8.4, что

х — гранич

ный снизу элемент множества

(пат.оУ1 (хт)-

182 О П Т И М А Л Ь Н Ы Е Т Р А Е К Т О Р И Й [ГЛ. Ш

Из	сказанного		следует,		что	выпуклое			множество
(Яа;)хе(0,1) не		пересекается с многогранным							множеством
( « a T j 0 ) _ 1 ( x j ' ) ,		и потому,		используя		теорему			отделимости,
найдем	функционал / такой, что при % ЕЕ (0, 1)
		/ ( t e ) < c =			miu	f(y).			(10.2)
				!/S(naTo)-i(.vT)
Из	замечания		к предложению				8.5	вытекает,		что
/ ЕЕ К0-	Так	как	я ЕЕ (ияг,о)- 1 (^г), то,					используя		(10.2),
имеем
		/ (х) > с > / (Кх)				> 0.				(10.3)
Кроме того, снова привлекая					(10.2), получим
			/ (х) =	l i m / (Кх) <			с.			(10.4)
				X—1-0
Из (10.3) и (10.4)			вытекает,		что
		0 < / ( i ) =		c =	m i u		/(у).
				V & n a T		л)->(хт)

Таким образом, траектория % удовлетворяет необхо димому и достаточному условию характеристики (теоре

ме 9.5) и, стало		быть, допускает характеристику.
Первая	часть	теоремы доказана.
Пусть	теперь	% — оптимальная	траектория модели
Z. Рассматривая		% как траекторию модели 9Kz, нетрудно
установить, рассуждая так же, как			при доказательстве

первой части, что каждый Г-кусок % допускает характе ристику. Для завершения доказательства осталось сос латься на теорему 9.6'.

2. 12™-оптпмальные траектории.	Среди ^-шаговых
траекторий хт = (^г);=о модели	Неймана — Гейла Z

наибольший интерес с экономической точки зрения пред

ставляют те, для которых		существует	функционал
/ ЕЕ (-R+)* такой, что
f(xT)=	max	f(y).	(10.5)

Эти траектории будем называть слабо Я^-оптималъными. Если, кроме того, хотя бы при одном /, удовлетворяющем равенству (10.5), выполняется неравенство / (хт) > 0, то траекторию % назовем Щ-оптпималъной. Интерес к

Т Р А Е К Т О Р И И В К О Н К Р Е Т Н Ы Х М О Д Е Л Я Х

183

этим траекториям вызван тем, что именно функционал / из (R+)* уместно трактовать как цены (при этом коорди ната /* функционала / интерпретируется как цена едини цы i-ro «продукта»). Очевидно, что слабо ^"-оптимальная траектория % слабо оптимальна. Если, кроме того, / (хт) ^> О, то эта траектория оптимальна.

сожалению,

для

/?"-оптимальных Г-траекторий

не

всегда

выполняется

принцип

оптимальности,

т.

е.

i-кусок

.й"-оптимальной тра

ектории

не

обязан

быть

R+-

оптимальным.

Приведем

пример, подтверждающий это

обстоятельство.

П р и м е р .

пространств

R-

рассмотрим

конус

{х

Л 2

\х"- >

х1}

н множество

(рис.

25).

Рассмотрим модель Неймана — Гейла Z,

определяемую

произ

водственным

отображением

: А' —» П (Л2 .),

где

(х)

(яа

—х 1 )

Отображение

суперлинейно;

оно

аддитивно

(т.

е. а

(ху +

х2)

a (xj)

-f- а

(х2 )); нетрудно проверить, что конус Z

многогранен и,

стало

быть, Z — модель Неймана.

Исследуем 2-шаговые траектории модели Z.

С этой целью

по

строим модель

Поскольку

{К)

Л 2 ,

то

Ш\ -

{{0,1,

2}, (Л',),= 0 > 1 ,2 ,

(/c,),=0,li2,

к ,

, ) 0 < « ^ , Ь

где

Х0

Ху

Л% =

В2,

К0

Ку

= А", А'2

Л 2 ,

Д 1,о (х)

о (г)

К,

а г л

(х)

в (г),

а2 , 0 =

а-

(х).

Положим as 0 =(l, 2). Тогда

( х 0 ) = § , a 2

(a;0) =

(х2-

х1)

Каждая Л2 -онтимальиая 2-шаговая

траектория %2, исходящая

из

точки

.г0,

имеет вид

ул

= (х0 ,

хх,

я2 ),

где ^

(0, 1),

х2 =

(2,

X),

причем

0 <^ X

2: 1-кусок Xi =

(хо,

-Ч)

траекторпн

у_о оптимален,

но

не

Л2 -оптимален.

Этот пример показывает также, что Л"-оптимальная траектория не всегда допускает характеристику

184 О П Т И М А Л Ь Н Ы Е Т Р А Е К Т О Р И И [ Г Л . I I I

Ф = (/,)iLo такую, что /, ЕЕ (it1™)*. Действительно, траек тория %2, рассмотренная в примере, исходит из внутрен ней точки конуса X и потому допускает характеристику ф = (/0, /ц/о). При этом функционал fx обладает тем свой ством, что fx (хх) = max fx (у). Все функционалы, обладаю-

щие этим свойством, не принадлежат конусу (i?+)*. Представляет интерес описать те модели Неймана —

Гейла, в которых Л+-оптимальные Г-траектории обладают «хорошими» свойствами. Одна из этих моделей рассмат ривается в следующем пункте.

3.Правильная' модель Нейиаиа — Гейла. Модель

Неймана — Гейла назовем правильной, если конус	К =
= PrxZ совпадает с Д+- Наряду с моделью (10.1) для	изу

чения траектории правильной модели можно использо

вать	модель
	3JZ = {Е, ( Х (	( 1 )	) , е Е ,	(K^)teB,	( а $ ) ( х . ц е В } ,
где, как и раньше, Е		=	{0, 1, 2, . . .},			XJl)	= Rn,	К$° =
= R+	(t ЕЕ Е), а% =	дг -(		(т, t)	ЕЕ Е).	Очевидно, -что
2RZ — правильная конечномерная					модель		второго	рода,

пучок траекторий которой совпадает с совокупностью всех

траекторий модели		Z. Из		предложения 8.6 следует, что
Г-траектория % = (xt)f=0				модели	3?z, исходящая		из точ
ки х такой, что	ат	(х)	-j=	{0},	является	оптимальной
Г-траекторией этой		модели тогда и только				тогда,	когда
X Л+-оптимальна,	как		Г-гдаговая		траектория модели Ъ.

Это простое замечание позволяет легко установить спра ведливость следующих утверждений.

1)Для Д"-оптимальных Г-шаговых траекторий пра вильной модели Неймана — Гейла Z выполнен принцип оптимальности.

2)Из каждой точки х конуса R\ исходит Д"-оптималь- ная траектория модели Z (т. е. траектория, обладающая

тем свойством, что каждый ее Г-кусок Л"-оптимален).

3)Если Л""оптимальиая траектория % исходит из

внутренней точки х конуса

то она допускает характе

ристику ф = (/() такую, что ft ЕЕ (#+)*.

§ 10]

Т Р А Е К Т О Р И И В К О Н К Р Е Т Н Ы Х М О Д Е Л Я Х

185

4) Если Z — модель Неймана, то каждая /^-опти мальная траектория %, исходящая из точки х, для которой а1 (х) Ф {0} при всех t Ф 0, допускает слабую характе ристику ф = (/() такую, что /, £5 (i?+)*; каждая ^ - о п тимальная Г-шаговая траектория, исходящая из х, до пускает характеристику, обладающую тем же свойством.

4. Модель типа Неймана — Гейла. Рассмотрим дина мическую модель нестационарной экономики, функцио

нирующую	в	дискретном времени, которая				называется
моделью типа		Неймана— Гейла. Она определяется как
последовательность			выпуклых замкнутых конусов				(Z,)^0 ,
где Zt С	Д ?	X ЁТ\	(0,	у) $ Z,	при у ф	0 и Pr2 Z, f]
f] i n t	Ф	ф. (Иногда		под	моделью	типа	Нейма

на — Гейла понимают модель, определяемую лишь конеч ным числом конусов (см. § 5); эта модель, однако, очевид ным образом вкладывается в определенную выше, и мы ее отдельно не рассматриваем.) Траекторией модели Ней

мана — Гейла		называется	последовательность % = (xt)
такая,	что (xt,	x i + 1 ) Е- Zt (t	= 0, 1,. . .). Нетрудно пост
роить,	подобно	тому, как это было сделано в п. 1, техно

логическую модель второго рода, пучок траекторий ко торой совпадает с совокупностью всех траекторий рас

сматриваемой модели.	Если Pr x Zt	=	i?"',	т.	е. модель
типа Неймана — Гейла	правильна,	то	для	ее	изучения

можно использовать правильную технологическую мо дель второго рода, построенную так же, как и в п. 3.

Модель Неймана — Гейла является частным случаем модели типа Неймана — Гейла (в этом случае последо вательность (Zt) постоянна). Исследуя траектории модели Неймана — Гейла, мы по существу нигде не использо вали ее специфику (т. е. постоянство последовательности (Zt )), поэтому все результаты пп. 1 — 3 верны с естествен ными оговорками и для случая модели типа Неймана — Гейла.

5. Модель, функционирующая в непрерывно» времени. Траектории рассматриваемой модели определяются с помо щью дифференциального включения вида х Ez а (х) — х. Покажем прежде всего правомерность такого определения с помощью предельного перехода для последовательности моделей с дискретным временем, когда временной интер вал между двумя смежными моментами стремится к нулю.

186	О П Т И М А Л Ь Н Ы Е Т Р А Е К Т О Р И И	[ Г Л . Ill
Рассмотрим	модель Неймана — Гейла,	задаваемую

конусом Z или соответствующим ему отображением а. Согласно экономической интерпретации модели, изло

женной	в § 5,	вектор		(х,у) ЕЕ Z представляет	собой
процесс	переработки		набора «продуктов» х в набор		у за
единицу	времени.
Предположим,		что	этот	процесс переработки продук

тов во времени происходит равномерно, т. е., например, за половину единичного временного интервала перера батывается только половина набора х в у, а другая поло вина остается неизменной.

Иначе говоря, если единичный временной интервал уменьшить в два раза, то набор х перерабатывается в набор х/2 + у12. В случае, когда в качестве единичного интервала взята Mm часть первоначального интервала,

из набора х делается набор'—— % 4- ^у.

Таким образом, если имеется набор х (£), то возможные «приращения» набора х за время Mm, отнесенные к этому промежутку времени, определяются соотношением

	/	1\	т—1	1
		1М	_	1/т	~~У	Х
где	(х	(t), у)	ЕЕ Z.			у — х,
	Переходя к пределу при т			со, получаем х =		у — х,
где	(х,	у) ЕЕ Z или, что то же самое,			х ЕЕ а (х)	— х.
	Дадим теперь точное определение модели с непрерыв

ным временем. Нам будет удобно считать здесь, что в про

странстве	R71 норма введена следующим				образом: \|х\| =
= 2	Рассмотрим	промежуток		[О,	Т]	и каждому
t ЕЕ [О,	Т] поставим	в соответствие отображение					at ЕЕ
ЕЕ А (Д™, 2?") и линейный оператор				В{:	R"	Rn.	Счи
таем, что почти при всех t
	\at\	+ \Bt\kc	<оо.				(10.6)

Модель экономики, функционирующую в непрерывном времени, можно задать с помощью дифференциального включения

и ЕЕ о, (и) — Btu

(t ЕЕ [0, Л ) .

(10.7)

Траекторией включения (10.7) на промежутке It', t"\

ТРАЕКТОРИИ В КОНКРЕТНЫХ МОДЕЛЯХ

187

назовем абсолютно непрерывную функцию и, определен ную на этом промежутке и такую, что *) u(t) > О, й (t) ЕЕ ЕЕ a-i (и (£)) — Bj и (t) почти при всех t. Вместо выражения «траектория на промежутке [О, ТЪ будем употреблять слово «траектория». В дальнейшем считаем, что выпол нено следующее условие:

(*)	если	х ЕЕ	и	0 ^	t' < t" ^ Т, то	из точки х
исходит		траектория			дифференциального	включения
(10.7)	на промежутке			[f,	t"].

З а м е ч а и и е. Можно показать (Кастайп [1]), что при неко торых естественных предположениях относительно функции F: t —<• —> щ + В,, для каждой точки t' g= [0, Т] найдется е > 0 такое, что траектория семейства (10.7) на промежутке [t', t' -f- е] существует

При изучении траекторий нам понадобится

Л е м м а 10.1. Пусть		и — траектория				включения
(10.7) на промежутке	[f, t"].	Тогда
\|И01<\|ИО\|И(-''>			(*<=и',П),
где С — константа,	фигурирующая			в	(10.6).
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Положим			у (t)	— \ и (t) \\ —
71
= 2"*(0- Используя	(10.6),		имеем
п
з/(0 = S * () < I w I < с«»				(о и = °у (*)•

Пусть v (£) = Су (£) — у- (£). Тогда функция у является

решением линейного		дифференциального		уравнения
		y =	Cy-v	(10.8)
при начальном условии у (f)			— \и (t')\\. Решая уравнение
(10.8) , получим,	что
			г
у (t) =	««м-)	(\|\|и (^') I _ J gcit'^v		(т) dx) .
			Ь

*) Из абсолютной непрерывности функции и (t) вытекает, что каждая ее координата и1 (t) имеет почти всюду суммируемую произ водную ц* (t). Под й (t) понимается вектор-функция (й1 (t), й2 (t),...

188

О П Т И М А Л Ь Н Ы Е

Т Р А Е К Т О Р И И

[ГЛ .

Поскольку

v (т) >

(т ЕЕ [ f ,

П),

то г/ ( * ) <

|| и (Г) || ес«-<'>

Лемма

доказана.

Каждая траектория и включения (10.7) на промежут

ке W, t"] полностью определяется элементом и

(t')

конуса

R+

и измеримой функцией и. Из леммы 10.1 и

формулы

(10.6) вытекает, что для t

ЕЕ It',

t"]

1 и (t) |К С || и (t) К

СI и (Г) 1 еС('"-»'>,

(10.9)

откуда следует, в частности, что г"г принадлежит

простран

ству Ln вектор-функций,

определенных на W,

t"]

и сум

мируемых там с квадратом.

Через

обозначим

подмножество

пространства

R n

X Ln,

состоящее

из всех

элементов

вида

(и

(t'),

гг),

где

и — траектория

включения

(10.7)

на

промежутке

U',

t"].

(Иными словами,

пара

(х,

z) входит в Q тогда и

только

тогда,

когда

функция

и:

и {t) =

+ J z (т) dx

EE [f,

t"]),

является траекторией

на

t"].)

Л е м м а

10.2. Множество

£2,

определенное

выше,

является выпуклым замкнутым

конусом.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

То

обстоятельство, что Q — выпук

лый конус, вытекает непосредственно из определения этого множест

ва,

вогнутости и

положительной

однородности

отображений

at и

линейности

операторов

В{ (t'

<J t

t").

Покажем, что Q замкнуто. В самом деле, пусть ((xj, zj)) — по следовательность элементов этого множества и (xi, z^) —» (х, z). Так как (ZJ) сходится к z в пространстве Z,2 , то по известной теореме Рисса (см., например, Натаисои [1]) из последовательности (zi) можно выбрать подпоследовательность (г$;), стремящуюся к z почти всюду. Пусть точка t 6Е [*', t"] такова, что z{; (t) —» z (i).

Положим

Щ1 (*) = x\l	+ \	Чг	М dx,		u(t)	= x + ^z (х) dx.
	г					г
Из определения следует, что щ1				(t)	—> и (t),	откуда вытекает, в част
ности, неравенство	и (t)	^	0.	Считаем, далее, что точка t обладает
тем свойством, что при всех I

^ ( » ) б в , к г ( « ) ) - - 5 , ^ ( 0 .

Множество таких точек имеет полную меру.

i iel	Т Р А Е К Т О Р И И			В К О Н К Р Е Т Н Ы Х				М О Д Е Л Я Х		189
Из замкнутости отображений аг теперь следует справедливость
соотношения
		z (О	S	at	(и (0) —	Bt	и	(г).		(10.10)
Таким образом,		функция		и:	(
					(
		и	(£) =		а; + ^ г (т) fit,
					!'
почти при всех t		удовлетворяет включению (10.10). Так как г = й и
нроме того, и (t)		^ 0 при всех t, то эта фупкция является траекто
рией включения (10.7) на промежутке [£', I"].								Тем самым замкнутость
множества	S2 доказана.
С л е д с т в и е .			Выпуклый			конус		Q слабо	замкнут.
Пусть	/ЕЕ	(#+)*.		Траекторию			и	включения		(10.7)
назовем	оптимальной			(в	смысле		/),	если / (и	(Т))	> 0
и / (и(Т))	> / (у (Т))		для любой траектории гу этого вклю
чения, исходящей из точки и (0).
Для изучения оптимальных						траекторий дифференци

ального включения рассмотрим технологическую модель

Ж = {[0, Т], (Xt)0<t<T,	(JT,)o«<r,	(ar.rW<r«T}.	(10.11)
Здесь Xt есть подпространство		пространства Rn,	натяну

тое на орты с номерами из множества /,, которое опреде

ляется так: г ЕЕ It

тогда

и только

тогда,

когда найдется

траектория и включения

(10.7) такая, что и1

(t)

0 (0 ^

t <

Т),

R+ f]Xt

(0 <

t <

Г) ;

отображение

а,»,определено

следующим образом:

точка

х"

входит

в а,", 1> (х')

тогда

и только тогда,

когда

х"

ЕЕ

i f г

най

дется

траектория

включения

(10.7)

на

промежутке

такая, что и (Г) =

ж', к (t")

ж".

Проверим, что

объект

(10.11)

действительно

являет

ся

технологической

моделью.

Покажем сначала,

что

аг,г£=А

(Кг,

Кг).

1) Для любого

ж ЕЕ Kf

множество aj», с

(ж) непусто;

это следует из условия (*).

Кроме того, ar, г (ж') CZ

Кг.

Отображение

вогнуто

и положительно

одно

родно; справедливость этих утверждений следует из су перлинейности отображений а, и линейности операторов Bt.

3)	ar, г — гейловское отображение;	действительно,
если	и — траектория включения (10.7)	на промежутке
[f, t"]	и и (f) = 0, то, как следует из леммы 10.1, и (t") = 0.
4)	at",i> — замкнуто.

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 3419 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20233.42 Mб7Макареня, А. А. Александр Александрович Байков.pdf
#
23.10.20238.39 Mб67Макаров Г.В. Уплотнительные устройства.pdf
#
25.10.202316.68 Mб32Макаров Е.С. Изоморфизм атомов в кристаллах.pdf
#
23.10.202327.11 Mб18Макаров, А. Д. Износ инструмента, качество и долговечность деталей из авиационных материалов учебное пособие.pdf
#
22.10.202314.98 Mб12Макаров, В. А. Теоретические основы телемеханики.pdf
#
22.10.202311.97 Mб13Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf
#
29.10.20231.69 Mб34Макеев Ф.Я. В помощь маляру.pdf
#
22.10.202310.52 Mб59Макиенко, Н. И. Производственное обучение слесарей механосборочных работ метод. пособие.pdf
#
23.10.202319.57 Mб603Макиенко, Н. И. Слесарное дело с основами материаловедения учебник.pdf
#
29.10.20234.92 Mб26Маковецкий П.В. Радиотехнические методы измерения скорости учебное пособие.pdf
#
20.10.20238.14 Mб89Макогон, Ю. Ф. Гидраты природных газов.pdf