книги из ГПНТБ / Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия

Теорема 9.5 описывает траектории,

допускающие ха­

рактеристику в терминах множества (пат>

0)~г (хт). Напом­

5. Характеристика

траекторий

модели второго

рода.

Предположим теперь,

что модель

(9.1) — второго

рода.

Будем говорить,

что траектория % = {Zt)ieE

этой

модели допускает

слабую характеристику, если найдет­

ся

семейство

ф = {]т)тЕ {ft ЕЕ К],

t ЕЕ Е)

такое,

что

а) для любой

траектории

% =

(xt)ISE

модели

ЗК

функция h : t ->• ft

(xt)

{t EE E)

убывает,

б) функция h- постоянна,

допускает характеристику.

Указанное семейство ф назовем слабой

характеристи­

кой

(соответственно,

характеристикой)

траектории

%.

Наша цель

заключается в доказательстве

следующей

теоремы.

§ 9]

ХАРАКТЕРИСТИКА ОПТИМАЛЬНЫХ ТРАЕКТОРИЙ

171

Т е о р е м а

9.6.

Для

того

чтобы

траектория

%— (£t)i<=E модели

$Ш допускала

слабую характеристи­

ку, необходимо

и достаточно, чтобы нашелся функционал

f из конуса К0

такой, что

а)

m i n

f(ij)

=

f(s0),

(9.8)

ue(na)-»(X)

б)

a',,0(f)=f={0}

(t(=E,

* > 0 ) .

(9-9)

(Напомним, что (па) 1

(%) =

U

("а,,о)_ 1

(£()•)

(еЕ,г>о

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Достаточность.

Доказа­

тельство достаточности мы проведем в два

этапа.

пШт = { Е Т

, (nat, 0 ( t , O e f T },

где

Ет =

{0, 1, 2, . . . ,

Т).

зуя

Так как г0 Е= ("Яг.о)- 1

($т) cr (zza)- 1 (х), то, исполь­

(9.8),

получим

m in

_ f{y) = f(X0).

/ (So) = /Г («i) = ••• = /? (%)•

(9-10)

модели

и, стало быть, является слабо оптимальной

рией 5D?T. В противном случае

fT {Хт) = / (я"0) =

0 и

вместо

семейства фт можно

рассмотреть траекторию ф~г

модели

С&т, исходящую из

/ и

приходящую в

/ ? —

1т

ристикой

траектории %т , и,

кроме того (см. предложе­

ние

8.3')

она оптимальна.

Мы

будем считать, что уже

сама

траектория фх выбрана

оптимальной. Используя

||/Г|ко(/) = 1

(t =

1, 2, .. . ,

Г) .

Построим траекторию фт для каждого натурального

Т

и рассмотрим последовательности

( / I " ) T = I ,

{}1)т=г, • • -, (/(Т)г=(, • • •

Каждая

из этих

последовательностей

ограничена;

более того,

при любом натуральном t

111

=

1.

(9.11).

Применяя диагональный

процесс, найдем номера

Ти

Тг, • . , Th,

. . . так, чтобы существовали пределы

l i m ffk

= J,

( * = 1 , 2 , . . . ) .

Из (9.11) следует, что ft=j=0

при всех натуральных

/.

Последов ательность

является траекторией модели

W. Кроме

того,

/(ж0) = / 1 ( г 1 ) =

. . .

=

/,(2( ) = . . .

е множества

Е

и дискретное разряжение Ше

модели

Ш.

Семейство %Е

=

( Я ( ) , е е является траекторией

модели

$01°.

Поскольку

пщ, о (S,) а пат, „ (жт)

((т, f) ЕЕ £ )

ие конфинально, то (па)"1 (X) =

(па)'1 (Хе ).

Из сказанного, в частности, следует, что для траекто­

первую

часть

доказательства,

получим,

что

траектория

Хе

допускает

слабую характеристику. Более точно, най­

дется траектория

ср = (/<)<е

модели

(5К

е

)'

такая,

что

Р

е

функция

постоянна.

Здесь

(t)

= /, (xt)

(t ЕЕ

е).

Нетрудно видеть, что модель (Же )' является дискрет­

ным разряжением

модели

351';

иными словами, (ШЕ)'

=

=

(ЗК')е,

а

потому

найдется

траектория

Ф =

(/OJ&E

модели S0J' такая,

что

/, =

/, (t

ЕЕ

е).

Функция Тг, определенная на Е

формулой

Необходимость.

Пусть

ф =

(/<)П=Е — слабая

характе­

ристика траектории X. Тогда семейство фт = (Jt)ieE

п [о,т]

является

слабой

характеристикой

Т-куска

Хт

этой

траектории

(ТЕЕЕ,

Т >

0). Из теоремы 9.4 и замечания

к

ней вытекает, что

m i n

_

f , ( j ) = / 0 W ,

я'т,о(/°)=тЧ°}-

Ввиду произвольности Т из полученных соотношений

вытекают условия (9.8) и (9.9).

Теорема

доказана.

Рассуждая так же, как при доказательстве этой тео­

ремы, нетрудно показать, что имеет место

_

Т е о р е м а

9.7. Для

того

чтобы траектория

X =

=

(£,),<=£

модели

SJJ допускала характеристику,

необ­

конуса К*0 такой, что

m i n / (у) = / (г0 )

0.

!/e("<x)-i (J)

174

О П Т И М А Л Ь Н Ы Е

Т Р А Е К Т О Р И И

[ГЛ .

Ill

В некоторых случаях теорему 9.6 удобно формулиро­

вать следующим

образом.

Т е о р е м а

9.6'. Для

того

чтобы

траектория %

модели

второго

рода 592 допускала

слабую

характеристи­

ку, необходимо и достаточно,

чтобы Т-куски этой траек­

тории

допускали слабую характеристику

(как

траекто­

рии

модели 5 ) J T )

при любом Т

G 5 Е, Т =f=

0 .

Достаточность условий теоремы доказывается так же,

как и в теореме 9.6. Необходимость

очевидна.

В качестве следствия из теоремы 9.6' приведем следую­

щую

теорему.

9.8. Оптимальная

траектория

% модели

Т е о р е м а

второго рода Ж, исходящая из внутренней

точки

х0

конуса

К0, допускает характеристику.

слабую характеристику ср. Так как х0

GE i n t К0,

то

ср

является

характеристикой.

Теорема

доказана.

Заметим, что для траекторий,

допускающих

характе­

ристику,

аналог теоремы 9.6' неверен; иными словами, да- -

же если каждый Г-кусок траектории допускает характе­

ристику, сама траектория может

ее не допускать. Приве­

дем пример,

подтверждающий

это

обстоятельство.

П р и м е р .

Рассмотрим

модель

т

=

[Е,

(A-T ) t e

E , {к, ) <

е в ,

к , ( ) ( t f ( ) е 2

} ,

где Е — множество неотрицательных целых чисел,

Xt =

R2,

Kt

=

= R\ (t

G

E);

для

t<=E

и

x 6= R\

a

M . l (*)

=

iv e

I V* < *2> <r

- *» <

st (x1 -

У1)},

(9.12)

где («()( ™0 — монотонно убывающая числовая

последовательность,

причем l i m st

=

0. (Заметим, что отображение

вида (9.12) рассмат­

ривалось

ранее

в п.

8 § 4

и п. 5 §

8.)

Если

(т, /) (=

Е.

то,-по

определению,

I. =

<Ч т - 1

° А * - 1 , т-2 °

• • • ° я(+1.

С

Опишем

прежде

всего

отображение

( .

Имеем,

используя

(9.12), для

у е

R'i

«7+1,

i U/) = {* е

R\ | * » > у-,

х° -

.'/- >

*, (у1 -

.

(9.13)

ej^i

обладают следующими

свойствами:

а)

! / 6 < i ( ( . v )

0/е Л*, t е

£);

б )

« Г « ,

H I (г') з

ajlu,

(у)

(у

е л ' ,

« е

Я);

в)

если

г/ е «ГД,, (г),

то а7

_ (>/)

С

a ^ i , / (

)•

+11

(

г

Из этих

свойств

вытекает,

что

для

натуральных

t

(»*t,0)-4y)

=

=

"

^

- i

(•/)•

(9.14)

Рассмотрим элемент х

из конуса

х =

(1,0) .

В

силу

(9.12) последовательность

% =

(а:|)< е Е , где

xt = х (t =

тория не допускает

характеристики. В самом деле, учитывая, что

l i m st

= 0, л привлекая формулы (9.13) и (9.14) , получим, что мно­

жество (па)-1

(%) представляет собой конус Л^

с вырезанным из него

отрезком <0, .?> (рис. 24), а потому

2 i

не найдется

нп одного

линейного

'

положительного

функционала,

строго отделяющего

(па)-1

(%) от

нуля. Наше

утверждение

следует

теперь пз теоремы 9.7. С другой

стороны, в силу

теоремы 9.5 каж­

дый У-кусок этой

траектории до­

пускает характеристику. Заметим,

что траектория

% допускает сла­

бую

характеристику,

ею

может

служить,

например,

семейство

Ф =

(//)г<=Е, г Де /г =

(0,1)

( * 6 Я ) .

6. Согласованные

траек­

тории. Введем в рассмотрение

еще

один

класс траекторий

Рис. 24.

модели второго

рода СТО.

Пусть

ф =

( / ( ) ( S E

— траектория

модели

9R', двой­

ственной

к

Ж.

Траекторию

% =

(Я|)*<=Е

модели 5№

*) Запись lim ft (xt)

равносильна записи l i m /< (xt),

где

1<=E

t—T

Т = sup Е. (Напомним,

что Т ф Е.)

двойственности,

max g (хт) =

inf

/ (х) =

g&Ti0U)

хе{ат

Л)-Цхт)

=

inf

/ ( £ ) >

inf f{x) — q-

.te(7iaTi0)-i(a:r)

xe(«a)-i(x)

= (fo, • • м /т) модели

Ж, исходящая из

точки, / и та­

кая, что

/о (*о) > /Г

>..->/? (х'т) >q.

(9.15)

l i m /fk = fu

l i m

/JK = /я, • • •, Hm /Г* =

/ „ . . .

Последовательность

ф =

(/,

Д,. . . , /,, . . .)

является

траекторией модели

При этом, как следует

из

(9.15),

/, (хд

>д

(t ЕЕ £•),

а потому и l i m /, (xt)

>

g >

0.

Теорема доказана

З а м е ч а н и е 1.

Попутно

мы доказали следующие

утвер­

ждения .

iaf

/ „ ( ж ) > 0 .

(9.16)

.те(пл)-Чх)

б) Пусть траектория % и функционал /0 таковы, что выполнено

(9.16). Тогда

найдется траектория ср модели

исходящая из /0 и

образующая

с траекторией

% согласованную

пару.

рассмотренная

в этом

примере,

обладает тем свойст­

вом, что замыкание множества (па)'1

(%)

совпадает с ко­

нусом К0.

(/,)( е Е модели

Рассмотрим

теперь

траекторию

ф =

согласование, означает,

что

найдется траектория

% =

= (#,)((= Е модели (Ж)' =

п 9К такая, что l i m /( (xt)

^> 0.

Покажем, что имеет место

г ей

Если траектория

П р е д л о ж е н и е

9.3.

ф =

траектория % модели

такая, что

Игл /, (xt) ^> 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Будем

считать, что модель

ml

f (х) = inf

inf

/ (х) =

— inf max fT(у)

= с^>0.

Т 1/еаТ о (.-с)

Из сказанного следует, что при каждом натуральном Т

найдется Г-траектория (х,

х[, . . . , х\) модели

такая,

что

Пусть ср — траектория

модели SO?', допускающая

сог­

ласование. Будем говорить, что точка

х из

конуса

К0

согласована с траекторией

ср, если

inf

/ (х) ^> 0.

te(na)-i (tp)

(Это определение понадобится в следующей главе.)

Из доказательства предложения 9.3

легко

вытекает,

полученные

в

предыдущих

двух

параграфах.

1. Модель

Неймана — Гейла. Рассмотрим модель Ней­

мана — Гейла Z, определяемую производственным отоб­

ражением

а: К ->- П

(i?+)

(где

К

— Ргх Z — выпуклый

замкнутый

конус,

содержащийся

в

7?"). Как уже было

отмечено в § 5, траекторией модели Z называется после­

довательность

% =

(xt),

удовлетворяющая соотношениям

(xt, х1+1) ЕЕ Z

(t =

0, 1, . . .) или, что то же самое, соотно­

шениям xt ЕЕ К,

х1+1

ЕЕ а (ж,). Конечная последователь­

ность хт =

(^i)[%i члены которой удовлетворяют тем же

Т-шаговой)

траекторией

рассматриваемой

модели.

Наряду с моделью Z рассмотрим дискретную

техноло­

гическую модель второго

рода

*»z = {Е,

(X,)leE,

(Kt)lsE,

К , ) ( х > 1 ) е 1 г } ,

(ЮЛ)

где Е — множество неотрицательных

целых чисел, К0

=

= К, . Kt

= а'(К)

П Kit

= 1 , 2 , . .

.),

Xt =

K t -

К,