Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

11.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3417 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

160	О П Т И М А Л Ь Н Ы Е Т Р А Е К Т О Р И И							1гл. ш
Последовательность			% =	(х,	xv	. . . , xt,		. . .) является
траекторией модели			ffld.	При этом
			И\|па,,оМ =			1,
и потому	£-кусок	траектории			х	является оптимальной
^-траекторией при любом натуральном							t. Последнее		озна
чает, что траектория % оптимальна.
Лемма	доказана.
Рассмотрим теперь снова произвольную конечномер
ную модель второго рода Ш—					{Е, (aT ,t)( t - i ( ) 6 _^}.
Т е о р е м а 8.3. Из				каждой точки х конуса К0					исхо
дит оптимальная		траектория модели СЮ.
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Пусть		е —	конфинальное

дискретное подмножество множества Е. Рассмотрим

модель

?Юе — дискретное

разряжение

C0J

(см. п.

3).

силу

леммы

8.1

существует

оптимальная

траекто

рия

{x't)t£e

модели

5Ше,

исходящая

из

точки

х.

Как

было

отмечено

п.

3, • найдется

траектория

X =

(xt)t<EE

модели СЮ такая, что xt

= х[

(t ЕЕ е).

Покажем, что траектория % оптимальна. Предполагая

противное, найдем ТЕЕЕ

так, что т-кусок %х траектории %

не будет оптимален. Поскольку е конфинально, то сущест вует т'ЕЕе такое, что т ' > т . Из определения траектории %' следует, что т'-кусок этой траектории является оптималь ной траекторией модели (£0Г)Т', а потому т'-кусок траек тории % является оптимальной траекторией модели £ЮТ'. Применяя принцип оптимальности, получим, что траек тория Хт модели 9КТ оптимальна, что противоречит на шему предположению. Полученное противоречие и дока зывает теорему.

§9. Х А Р А К Т Е Р И С Т И К А О П Т И М А Л Ь Н Ы Х ТРАЕКТОРИЙ

1.Двойственная модель. Пусть

5R = {Е, ( Х , ) , Й В , {К,)1ЕЕ,

К 0 ( т , о е в >

( 9 Л )

— технологическая модель. Наряду с моделью СЮ рас смотрим объект

w = {Е, ( х ; > е В , (к;)1еЕ,

к « ) ( , , o d g }

§ 9] ХАРАКТЕРИСТИКА ОПТИМАЛЬНЫХ ТРАЕКТОРИЙ 161

(где a^,t — отображение, двойственное к aXj t) и покажем, что S3?' также является технологической моделью. Отме тим прежде всего, что Kt — выпуклый замкнутый выс тупающий и телесный конус. Далее, привлекая предложе

ние	4.16, получим,	что отображение	а'х,( суперлинейно;
точнее говоря, ах > (		6Е A (Kt, KJ; в	силу теоремы 4.2
a'r,	t = (ас, v ° at; 0' = <«', г ° «Я«		(", ',<<==#, * < *' < О

откуда следует, что семейство суперлинейиых отображе ний (af,i)( t ( ) е Ё удовлетворяет условию согласования.

Итак, мы проверили, что объект 51?' действительно является технологической моделью. Будем называть эту

модель	двойственной			по отношению к 59?.
Как непосредственно вытекает из определения, траек
тория op =		[ft)i<=E	модели СО?' обладает следующим свой
ством:	для	любой		траектории		% = (Ж()<<=Е	модели SO?
выполняется
Иными словами, функция hx,					определенная на множестве
Е формулой
		hx(t)		= f,(xt)		(t(=E),
убывает.
Поскольку €0?' является					технологической моделью, то
имеет смысл говорить о модели						€0?", двойственной к SB?'.
Из теоремы 4.3 следует, что
	W={E,{Xt)leE,			( Я , ) ( е		Е , ( n a , , « ) ( T l 0 e S } -
В связи		с этим модель €0?" будем называть					нормальной
оболочкой	модели		€3? и обозначать символом nSO?.

Каждая траектория % модели €3? является и траекто рией модели nSO?. Из предложения 8.3 следует, что каждая оптимальная траектория модели €0? оптимальна и как траектория нормальной оболочки гШ; обратно, если % — оптимальная траектория моделиreSO?и в то же время % —

траектория модели S3?, то х — оптимальная		траектория
этой	модели.
Отметим еще, что, как вытекает из предложения 2.14,
(пЩх	= п (S9?*) для любой точки х из конуса	К0.

6 В. Л . Макаров, A . M. Рубинов


162		О П Т И М А Л Ь Н Ы Е		Т Р А Е К Т О Р И И			[ГЛ . I I I
2.	е-характеристика		слабо	оптимальных		траекторий.
Будем	считать в этом пункте, что модель 9К, определенная
формулой (9.1), является моделью первого						рода.	Поло
жим, как обычно, Т =			sup Е. Имеет место
Т е о р е м а 9.1 ( о б				е - х а р а к т е р и с т и к е
с л а б о		о п т и м а л ь н ы х			т р а е к т о р и й ) .
Пусть	Х0ЕЕК0,	/ г ЕЕ К'Т	(х0 ф О, / т ф 0) и X = (xt)leE				—
траектория		модели ffi, исходящая из точки х0. Для того
чтобы	траектория % была слабо				оптимальна в смысле

функционала /т, необходимо и достаточно, чтобы для любо

го	е ^> 0 нашлось семейство Фе = (/()/ев (/< €Е К ( , t ЕЕ
ЕЕ	Е) такое, что
	1)	для любой траектории		% = {xt)iSE	модели 59} функ
ция hx • t-*-			ft (xt) (t EE E) убывает,
	2)	Л - ( 0 ) - ^ ( Г ) < е ,
	3)	ЯфО	(t EE E), fT =	fT.
	Д о к а з а т е л ь с т в о .			1) Необходимость. Рассмот

рим отображение ат,0. В силу теоремы двойственности (теоремы 4.1) множество (ат,о)- 1 (/т) непусто и

/ т ( 2 т ) = max	fT{y)=	inf	g{x0).	(9.2)
ve*r,№		ge(aTiQ)-4fT)
Из (9.2) следует, что по данному		е	О найдется Функ
ционал/\|j из множества (аг,о)- 1 (/т) такой, что
/оЫ</т(Жт) - ! - е .
Используя теорему 8.1, найдем траекторию срЕ =				(ft)tt=E
модели ?К', исходящую	из точки fQ		и приходящую (в

момент Т) в точку f T . Так как атЛ — гейловское отображе

ние и /т Ф 0, то и ft		Ф 0. Траектория <ре является иско
мым	семейством.			Е > 0
2)	Достаточность.	Пусть	теперь для любого	Е > 0
найдется семейство сре = (ft)i^E,			удовлетворяющее	усло

виям теоремы. Тогда если у ЕЕ аг,о (х0), то найдется траек тория % модели SEU, соединяющая точки х0 и у, и потому (условия 1) и 3) теоремы)

Ы П = / т 0 / ) < / о Ы = = М 0 ) .

§ 9]

Х А Р А К Т Е Р И С Т И К А О П Т И М А Л Ь Н Ы Х Т Р А Е К Т О Р И Й

163

откуда ввиду произвольности е и следует, что траектория

X оптимальна в смысле fr-
Теорема	доказана.
Теорему 9.1 можно переписать в форме теоремы двойственности-
Пусть Р — пучок			траекторий	модели	Щ},	Р	— совокупность
всех семейств	ф =	(fi)leE	[ft £Е К\,	t S Щ	таких,		что	для	любого
элемента % =	( z / ) (	f = B множества Р		функция		:	t —• /,	(xt)	{t e E)

убывает. Очевидно, что V непусто: это множество включает в себя

пучок Р' траекторий модели 9JJ' и совпадает с этим пучком в случае, когда ат1 (Kt) = Л"т . Пусть xQ е -К"о. /т S К'т (ха ф О, / т ф 0). Сформулируем следующие задачи.

З а д а ч а		I . Найти элемент X множества Р такой, что P r 0		X =
= х0	и
		/г (pi>0C) =	max
З а д а ч а		I I . Найти	элемент ср множества Р такой,	что
Pr T (p	= / т и

(Pro ф) (х„).

(Pro ф) (."Го).

3.Траектории, допускающие характеристику. Теорема

9.1дает повод для следующего определения. Будем гово рить, что траектория % = (s,)t e E модели первого рода Ш

допускает	слабую	характеристику,	если	найдется		семей
ство ср =	(/f)«=E (ft	ЕЕ К*, / ( ф 0 ,	t E E E )	такое, что
а) для	любой	траектории	% модели		9К функция
hx : t->- ft	(xt) (t EE E ) убывает,
б) функция hx постоянна (т. e. hy (0) =					\ (Т)).
Указанное семейство ф будем называть					слабой	харак
теристикой	траектории %.

164

О П Т И М А Л Ь Н Ы Е

Т Р А Е К Т О Р И И

1ГЛ. I l l

П р е д л о ж е н и е

9. 1. Если траектория % =

(я^ев

допускает

слабую характеристику

ср =

{ft)te=E,

'«о

/т (жт ) =

max fT (у),

fo(xQ)=

mi n /о (у),

l/ea-i ^Я т )

Доказательство

очевидно.

С л е д с т в и е .

В условиях предложения

траектории

X слабо оптимальна

в смысле функционала /т.

Оказывается,

что траектория,

допускающая

слабую

характеристику,

не обязана

быть

оптимальной;

в свою

очередь

оптимальная траектория

не обязана

допускать

слабую

характеристику.

Подтвердим

высказанные ут

верждения

примерами.

П р и м е р 1. Рассмотрим

модель

ЗЯ = { { 0 , 1 } , ( X t ) t = o v

( A ' , ) i = 0 1 , ah0},

где Х0 = X, = R-,

Кх

= Кг

= R\,

e l l

(*) = <0, *> (х е Д+Ь

Рас

смотрим

траекторию х = (*о> ^ I ) модели <Щ, где хх

(1, 0), i 2 =

(1/2, 0). Траектория хне оптимальна, хотя и слабо оптимальна; тем

не

менее,

эта траектория

допускает слабую характеристику

ф =

(/, /), где / =

(0, 1).

П р и м е р

2. Рассмотрим

модель

{{0, 1}, (X,)lim0tV

alt „},

где, как и выше, А'о =

Хх

=-. Л 2 ,

К0 = К1 =

Л * . Отображение

в^о

определлм

следующим

образом:

alt0^)

= i y e R l \ y < ( V ^ ' - \ - x \

У*&)}

( я е Л ^ ) .

Положим

в„ =

(1, 0). Так как а 1 ) 0 (я0 ) = {у е

Д£ | т/ < я 0

} , то

траектория х =

(х0, х0) модели д}}

оптимальна. Покажем, что эта

траектория не допускает

слабой

характеристики.

Предположим

противное, и пусть

<р = (/0, f{) — слабая характеристика траекто

рии х- Тогда для любого » £ ^ J

имеем

> /J (

*i) + £ У

и,

кроме

того,

/J =

Из полученных соотношений

следует

(при

а»

/S >(/! + « ) 1^5-•

§ 9]

Х А Р А К Т Е Р И С Т И К А О П Т И М А Л Ь Н Ы Х Т Р А Е К Т О Р И Й

165

Последнее неравенство должно выполняться при всех числах х± 5» О И 1 2 > 0. Это, однако,'невозможно, ибоД ф 0, и потому /* + ;> 0.

Итак, наше предположение оказалось неверным и, стало быть, оп тимальная траектория % не допускает слабой характеристики.

Пример 1 дает повод для следующего определения. Бу дем говорить, что траектория % = ($t)t<=E допускает ха рактеристику ф = (/()(ев, если ф является слабой ха рактеристикой этой траектории и, кроме того, функция %

(являющаяся		постоянной) положительна.
Нетрудно		проверить,			что	траектория,		допускающая
характеристику,			оптимальна.				(Обратное,	разумеется,
неверно.)
Важное свойство				характери
стики описывает следующее
П р е д л о ж е н и е					9.2.
Пусть	% — ( x t	) t e E	—траектория
модели 9Й, допускающая					слабую
характеристику ц> = (ft)ti=E- То
гда для любого т ЕЕ Е, т =j= 0, Т
выполняются		соотношения
max	U {У)	= U О )		=
1/еат, о(-г<>>					/х (у).
	=		m i n				Рис. 21.

Если	ф является характеристикой %, то члены напи

санного выше равенства положительны (рис. 21). Доказательство следует из предложения 9.1 и того

обстоятельства, что т-кусок траектории, допускающей характеристику (слабую характеристику), также допус кает характеристику (слабую характеристику).

4. Теоремы о характеристике в моделях первого рода. Как легко следует из доказательства теоремы 9 . 1, траек

тория % = (xt)lfEE,	слабо оптимальная в смысле функцио
нала / 7 , допускает слабую характеристику			ф = (Jt)t<=E
такую, что fx =	/т тогда и только тогда, когда реализует
ся инфимум в формуле		(9.2). Положим для	х ЕЕ К0
	q (х) =	max fT (у).	(9.3)

Так как отображение ат>0 суперлинейно, то и функ ционал q, определенный на конусе К0 формулой (9.3),

166	ОПТИМАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ	[ГЛ. I I I
суперлинееи;	при атом множество опорных к q совпадает
с множеством (ят.о)- 1 - Иифимум в формуле		(9.2) реали

зуется тогда и только тогда, когда функционал q имеет опорный в точке х0. Привлекая эти замечания, приведем некоторые достаточные условия, при которых оптималь ная траектория допускает характеристику.

Т е о р е м а		9.2. Пусть х0 — внутренняя точка ко
нуса К0.	Тогда любая оптимальная в смысле функционала
/т траектория, исходящая из х0,			допускает характерис
тику ф =	(/<),(=Е	такую, что /т	= /г.
Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу теоремы 2.3 функцио
нал д, определенный формулой			(9.3), имеет опорный /0
в точке х0. Так		как х0 6Е i n t К0,	то /0 (ж0) ^> 0.
Теорема доказана.
Прежде чем привести еще одио достаточное условие существо

вания характеристики, введем понятие о дифференцпруемостп то

чечно-множественных отображений по направлениям. Пусть

—

конечномерное

пространство,

/<Г4 —

воспроизводящий

выступаю

щий конус в пространстве

(i =

1, 2), а

— суперлинейиое

ото

бражение

конуса

Кг

в П

(Кг).

Подобно тому, как это было сделано в и. 5 § 3, отождествим мно

жество

(х)

функционалом

ра ^

определенным на

единичной

сфере б1*

пространства X *

формулой

Pa(x)(f)=

m a

Ш -

V<=a(x)

Это позволяет отождествить отображение а с функцией ра,

переводя

щей

точку

х ЕЕ Ку

элемент

р а ^

ра (х)

пространства С

(S*).

Элемент

пространства Xi

назовем допустимым

направлением,

точке

ЕЕ К\,

если

пайдотся число

а и >

0 такое, что отрезок

{х

аи

| a

g= [0, аи]}

входит в Кх.

Совокупность всех допустимых

в точке х

направлений является выпуклым, вообще говоря, незамк

нутым конусом. Заметим, что этот коиус содержит все элементы ко

нуса Къ

а также элемент — х.

Отображение а называется

диффе

ренцируемым

в точке х

из Кх

по (допустимому) направлению и,

если

найдется такая функция р'а

(х,

и)

в пространстве С

(S2),

что

Ра

(х

+ cut) =

ра (х)

ар'а

(х,

и) + оз с > и (а)

( а > 0 ) ,

(9.4)

причем

1ии

a-v+o

Будем говорить, что отображение а непрерывно

дифференцируемо

в точке х,

если

1) найдется такой замкнутый выпуклый коиус L x

допустимых в

точке х

направлений, что Кг

L x ,

—х

ЕЕ L x и по любому направле

нию и

6= L x

отображение

дифференцируемо,

§ g]

Х А Р А К Т Е Р И С Т И К А О П Т И М А Л Ь Н Ы Х Т Р А Е К Т О Р И Й

167

2)отображение ц —»ра (х, и) (определяемое формулой (9.4))


конуса Lx	в пространство			С (S^) непрерывно.
Имеет место
Т е о р е м а		9.3. Пусть		точка х0 из конуса К0 такова, что ото
бражение аТ	Q непрерывно дифференцируемо в этой точке. (Мы					рас
сматриваем по-прежнему			технологическую модель (9.1).) Тогда			каж
дая слабо оптимальная в смысле /у траектория,					исходящая из точки
х0, допускает		слабую	характеристику "ф =		( / j ) ( e E такую,	что

1т = 1т-

•

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Нам достаточно показать, что функ

ционал q, определенный формулой (9.3), имеет опорный в точке

хй.

Заметим,

что

q (х)

= рат

(Х) (fT).

(Мы считаем, что АЕЕ^*.)

Покажем, что

дифференцируем

в точке х0

по

конусу

Lx;

иными

словами, для

любого

и ЕЕ L

существует

предел

Я (хо +

сш) — q (хи)

<x->-f-0

самом деле,

используя

(9.4),

имеем

(q (х0

+ au) — q (xQ))

l i m

—

cc->-|-0

~ ' { ? а Г - О

~ Р а т . °( 'Г 0 ) ^

Д 0

4 "

' ^ « г , о { х о

и ) ( / ^

"*..»(«)) = Рат,

о { Х 0 '

и )

Тем самым нужный нам предел существует; при этом

1xa(u)

PaTi0(xo,

") (/г>-

(8-6)

Выясним теперь некоторые свойства функционала q'Xo, опреде ленного на конусе L формулой (9.5). Непосредственно из определе ния вытекает, что qx, положительно однороден. Покажем, что этот функционал супераддитпвен. В самом деле,

.		g (до + а (щ + ИЗ)) — g (До)
q (MI + иа) = Ь т						=
	а-Н-о
=	lirn^			-1-	(KI + к2 ) j — q (xt)) j		=
=	li m	- 7 - (</ ((z0		+ а т ) + (я?о +		ак2 )) — 2q (х0)) >
а-Н-0		а
		1
>	Ь т — (q (хо +			авд) — q (ха))		+
а-Н-о		а
	+	Н т	—	(у (Жо +	ам2) —	q (.г-0)) = q'	(ui) -[- (7' (м2 ),
		а—-(-о	а				°

168

О П Т И М А Л Ь Н Ы Е

Т Р А Е К Т О Р И И

[ Г Л .

I l l

откуда п следует супераддитивность этого функционала.

Наконец,

как непосредственно следует из (9.6) и условия

теоремы, дХо

— не

прерывный

функционал.

Из сказанного вытекает, в частности, что функционал дХо

супер

линеен

(о суперлинейности

qXt имеет смысл говорить, так как этот

функционал задан на замкнутом выпуклом конусе LXa).

В силу тео

ремы 2.1 существует

линейный

функционал /0 , опорный к qx0.

По

кажем, что /о опорен к q в точке х0.

Пусть и €Е Кй.

Так как К0

L..,

то д

дифференцируем по направлению

и,

и потому

(х0)

(и)

< q

{х0

au) =

(х0)

aq'^ (и) +

(а)

Ч (*о)

«/о

(")

° х „

откуда

9 (И) <

/о (И) +

Из

последнего неравенства

следует, что /0

€Е Uq.

Покажем

теперь

что

/0 - (xQ)

q (хв).

Учитывая,

что

— аг0 g

LXt>,

имеем

q'~ (—

я0 ) -

l i m

—

(хо

—

ax0)—q

(х0))

—

(х0).

а-Н-0

Предполагая,

что

(х0 ) >

q (х0 ),

получим

/о (—*о)

—/о

(*о)

— <7 (*о)

д'Хо

(—

*o)i

что невозможно, так как /0 опорен к д .

Мы показалп, таким образом, что функционал q пмеет опорный в точке х0, откуда и следует справедливость теоремы.

Следующие теоремы полностью описывают траекто рии, допускающие слабую характеристику (соответствен но, характеристику).

Т е о р е м а 9.4. Для того, чтобы траектория % = = (xt )ieE модели C0J допускала слабую характеристику, необходимо и достаточно, чтобы нашелся функционал / из конуса К0 такой, что

1) f(x0)=

min

f(y),

2)a T l 0 ( / ) = H O } .

До к а з а т е л ь с т в о . 1) Достаточность. Пусть

/— функционал, фигурирующий в условии теоремы. Так

§ 9]	Х А Р А К Т Е Р И С Т И К А			О П Т И М А Л Ь Н Ы Х		Т Р А Е К Т О Р И Й			169
как отображение			я т 0		суперлинейио, то		(теоремы		4.1
и 4.3)
max	g(xT)	—	m i n		/(z) =	m i n	f(x)	=	f(x0).
									(9.7)
Пусть	функционал f из а'т,0 (/) таков, что f						(хт)	— f	(х0).
Так как а Т ) 0		(/) =^= {0},		то можно считать, что f =j= 0. Сое

диним точки / и / траекторий ср модели ЭУ. Эта траекто

рия

является

слабой

характеристикой

траектории

Необходимость.

Пусть

% допускает

слабую

харак

теристику

ф =

(ft)tf=E.

Тогда

если х

ЕЕ К0,

у ЕЕ ят,о (ж),

то

/ 0

(я) >

/ т

(г/). Таким

образом,

/ т ЕЕ oV,0 (/0),

и пото

му

аг,о (/о) =г= {0}-

Отметим

еще, что (паТ,0)'

= а'т,а-

Из

сказанного следует, что fT

ЕЕ {пат,0У

(/о)

и .

стало'быть,

для любого у ЕЕ (пат^У1

(хт)

МУ)>ТТ

(«г) =

fo(«o)-

Таким образом,

/о(жо)=

min

f0 (i/).

l/e(na T | 0)~Ч.хт)

Теорема

доказана.

З а м е ч а н и е .

Попутно мы доказали справедливость следу

ющих

утверждений:

а) если для траектории % найдется функционал /, удовлетворя

ющий условиям 1) и 2) теоремы, то существует слабая характерис тика этой траектории, которая является траекторией двойственной модели, исходящей из /;

б) если траектория % допускает слабую характеристику ср =

=( / ( ) г е Е . т 0 функционал /0 удовлетворяет условиям 1) и 2) теоремы.

Отметим еще, что в условии теоремы можно не требовать поло жительности функционала /. (Как следует из замечания к предложе нию 8 . 5, эта положительность автоматически вытекает из условия 1) теоремы.)

Т е о р е м а		9.5. Для	того	чтобы траектория % =
= (xt)t<=E	модели 59? допускала			характеристику,	необхо
димо и достаточно, чтобы нашелся функционал f					из ко
нуса К0	такой,	что
	/ ( * „ ) =		m i n	f(y)>0.
		VS(naTi	0)-Кх-т)

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.4*

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3417 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20233.42 Mб8Макареня, А. А. Александр Александрович Байков.pdf
#
23.10.20238.39 Mб96Макаров Г.В. Уплотнительные устройства.pdf
#
25.10.202316.68 Mб40Макаров Е.С. Изоморфизм атомов в кристаллах.pdf
#
23.10.202327.11 Mб23Макаров, А. Д. Износ инструмента, качество и долговечность деталей из авиационных материалов учебное пособие.pdf
#
22.10.202314.98 Mб17Макаров, В. А. Теоретические основы телемеханики.pdf
#
22.10.202311.97 Mб22Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf
#
29.10.20231.69 Mб39Макеев Ф.Я. В помощь маляру.pdf
#
22.10.202310.52 Mб91Макиенко, Н. И. Производственное обучение слесарей механосборочных работ метод. пособие.pdf
#
23.10.202319.57 Mб953Макиенко, Н. И. Слесарное дело с основами материаловедения учебник.pdf
#
29.10.20234.92 Mб35Маковецкий П.В. Радиотехнические методы измерения скорости учебное пособие.pdf
#
20.10.20238.14 Mб122Макогон, Ю. Ф. Гидраты природных газов.pdf