Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

11.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3416 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

150	О П Т И М А Л Ь Н Ы Е Т Р А Е К Т О Р И И	[гл. n i
Итак,	объект 58}*, определенный формулой	(8.3),

действительно является технологической моделью. Будем говорить, что $ftx — подмодель модели 9К, порожденная точкой х.

П р е д л о ж е н и е 8 . 1 . Пусть		х, у ЕЕ К0.	Подмодели
и §W, порожденные точками х		и у соответственно,
совпадают тогда и только тогда, когда Т% =			Го-
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Если	ffix =	ffl",	то	и
Го = T Q . Докажем обратное утверждение. Так как Гц					=
= Гц, то у ЕЕ Гц, и потому, как	следует из формулы			(8.2),

найдется такое число % ^> О, что %у ЕЕ <0, ж>. Отображение

nat<0

возрастает, и потому natt0

(х)

ZD natt0

(Ку).

Из сказанного вытекает, что

Со (nai, о (х))

ZD Со (/га,, „ (\у))

Со (/га,,0

(у))

Г".

Поскольку х я у полностью

равноправны,

то

Г" I D Г; Т

и, стало быть, Tt =

Г". Полученное

равенство и доказы

вает

предложение.

Если конус К 0 многогранен, то модель

С л е д с т в и е .

59J может иметь лишь конечное число различных

подмо

делей.

Если х — внутренняя точка конуса К0,

то,

как

нет

рудно

проверить, Шх

= 2D?.

В самом деле, как следует из предложения 4.7, в нашем

случае

и потому Г (atlQ

{х))

= Kt.

Кроме

того, T j =

К0.

Отметим еще, что

каждая траектория

подмодели

SR*

является траекторией модели SK; обратно, каждая

траек

тория

модели

931, исходящая

из

точки,

лежащей

на

грани

Гц, является

траекторией модели СТО*.

Оптимальные

траектории

в моделях

первого

рода.

Рассмотрим

модель

первого

рода:

{Е, ( Х , ) , е Е , (Kt)tes,

( a , , , ) ( T i ( ) c ? } .

Положим Т

— sup Е.

Напомним,

что, по

определению,

Т ЕЕ Е.

назовем слабо оп

Траекторию

% =

(#*)*=£

модели

тимальной,

если найдется отличный от нуля

функционал

О Б Щ А Я	Т Е Х Н О Л О Г И Ч Е С К А Я М О Д Е Л Ь			151
/ из конуса К*т такой, что
f{xT)=		max	f{y).	(8.5)
Из любой точки х0	конуса К0 исходят слабо оптимальные
траектории (это	вытекает	из	компактности	множества

ят,о (хо))-

Если трактовать элементы конуса Кт как цены «про дуктов» в момент Т, то слабую оптимальность можно интерпретировать следующим образом: траектория % слабо оптимальна, если найдется такой ненулевой вектор цен в конечный момент Т, что конечное состояние этой траектории имеет большую стоимость (по указанным це нам), нежели любой другой выпуск, который может быть получен из начального состояния траектории за весь период времени функционирования модели.

Про траекторию %, удовлетворяющую равенству (8.5), будем также говорить, что она слабо оптимальна в смысле f.

Заметим, что класс слабо оптимальных траекторий в некотором смысле слишком обширен. В самом деле, пусть точка х0 ЕЕ К0 такова, что множество ат,0 (х0) содержится в гиперплоскости некоторого функционала, скажем /, положительного на конусе Кт- Тогда каждая траектория, исходящая из точки х0, будет слабо оптимальной (в смыс


ле /). Если / (у) >				0 (г/ ЕЕ ат,о (^о))> т 0 такое положение дел
достаточно		естественно:			каждый элемент у		множества
ат,о ixo)	является в некотором смысле «экстремальным эле
ментом»	этого		множества (например, %у QE ат,0					(хв) при
К ] > 1). Если			же / (у) =		О (у ЕЕ ат,о (^о))) т 0		и з	точки х0
могут выходить				оптимальные		траектории,	приходящие
в заведомо		«неэкстремальный				элемент» (в указанном вы
ше смысле).!

В связи со сказанным представляет интерес описать траектории, «приходящие в экстремальный элемент».

Траекторию % = (xt)a=E модели 59J, исходящую из точки х, назовем оптимальной (эффективной), если она слабо оптимальна, как траектория подмодели Ж*; иными словами, если найдется функционал / из пространства

(L),	положительный на		конусе Г*, отличный от нуля и
такой,	что
	f(xT)=	max	f(y)=	max f(y).	(8-6)


152	О П Т И М А Л Ь Н Ы Е			Т Р А Е К Т О Р И И			[ Г Л .	I l l
Указанную траекторию будем иногда						называть	опти
мальной	в смысле /. Отметим, что оптимальные траектории
исходят из любой точки х конуса					К0.
Так как х является внутренней точкой конуса Гц, то
(предложение 4.7)		множество ат,0			(х) содержит внутрен
ние точки конуса		Г 7-,	и потому для оптимальной в смысле
/ траектории % = [xt)i^E				выполняется		max	/ (у)	=
=f(xT)^>0	(здесь и в дальнейшем мы считаем, что ат,0 (х)Ф
ф {0} и,	стало быть,		Г т ф	{0}).
Имеет место			8.2. Каждая оптимальная траек
П р е д л о ж е н и е

тория модели £К является и слабо оптимальной траекто рией этой модели.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть % = (xt)tSE — траек тория модели ЗК, исходящая из точки х и оптимальная в смысле /. Предположим сначала, что множество аТ^ „ (х) содержит внутренние точки конуса Кт- Тогда Тт = Кт,

ипредложение очевидно. В противном случае (если

ат,о(х) П i n t	= 0 ) ,	используя	теорему отделимости,
найдем функционал / такой, что
	шах	/ (у) = inf	/ (z) = 0.

Функционал / GE КТ и % — слабо оптимальна в смысле /. Предложение доказано.

З а м е ч а н и е . Если х g; int К0, то классы слабо оптималь ных и оптимальных траекторий, исходящих из точки х, совпадают. (Это справедливо, поскольку в данном случае 9ЛЖ = 9Л.)

Продолжим изучение оптимальных траекторий, исхо

дящих из точки		х. Нам понадобятся следующие	опреде
ления.
Если	\| — подмножество векторного пространства
X (&ф	ф, {0}),	то элемент х множества £ назовем	гранич

ным сверху (соответственно, граничным снизу) элементом

этого множества,		если	Кх бг \ при % ^> 1		(соответствен
но, при 0 <	X <	1).		Траектория	% = ( x t ) l e E
П р е д л о ж е н и е			8.3.
модели SR,	исходящая		из точки	х, оптимальна тогда и

только тогда, когда х? является граничным сверху элемен том множества пат,о (х)-

О Б Щ А Я Т Е Х Н О Л О Г И Ч Е С К А Я М О Д Е Л Ь	153
Д о к а з а т е л ь с т в о . 1) Пусть траектория	% оп

тимальна в смысле функционала / (где / ЕЕ (Гт*)*). Тогда

(предложение				2.5)
			f(xT)		=	m a x	/(у) =		m a x	/(у)
(где		пат, о (x )		— нормальная				оболочка		множества	ат, о(х)
в смысле			конуса		Тт,	или,	что то же самое, конуса Кт)-
Покажем,			что	хт — граничный сверху						элемент множест
ва пат, о (х)-				В	самом деле,			предполагая противное, най
дем	число		Х^>1		такое,		что	%х? ЕЕ пат, о (х )-			Так как
/ (хт)		> 0, то
		1(хт)=			m a x Д у ) > / ( Л л т )				= Л,/(жт )>0,
что	невозможно.							что хт — граничный
2)		Предположим				теперь,					сверху
элемент множества пат, о Iх)'								и покажем, что траектория %
оптимальна. В силу предложения 2.12 множество											ат,0(х)
Содержит			внутреннюю (в				пространстве			Ьт) точку	грани
Тт	=	Г (ат, о (х)).			Отсюда		вытекает		телесность множества
пат, о (я). Обозначим						это	множество через Q и введем в
пространстве Ьт норму								единичный шар S которой
имеет вид S =				Q — Q. (Эта норма изучалась в п. 12 § 2;

там было показано, в частности, что эта норма монотонна

относительно		конуса	Тт	и,	кроме		того,	что	Q	равно
множеству	{у ЕЕ Гт\|\|г/\|\|п <				1}.)
Так как хт — граничный сверху элемент Q, то \\хт\\п =
= 1. Привлекая теперь предложение 2.11,								найдем функ
ционал / ЕЕ (Тт)* такой, что
f(xT)	= \\xT\\n		= l,		1/1=		m a x f(y)	=	i.
Траектория	х оптимальна в смысле /.
Предложение доказано.
Иногда нам будет удобно использовать предложение
8.3 в следующем виде.				8.3'. Траектория						(xt)t*=E
П р е д л о ж е н и е				8.3'. Траектория				% =		(xt)t*=E
модели ffi,	исходящая		из	точки		х,	оптимальна		тогда и
только тогда,		когда
		\\'Хт 1кт,о№ =				1-

154		О П Т И М А Л Ь Н Ы Е Т Р А Е К Т О Р И Й								ЕГЛ.	III
Доказательство предложения 8.3' по существу совпа
дает с доказательством предложения 8.3.
Оптимальность траектории % = (xt)t^E								была определе
на в терминах ее конечного состояния хт.								Полезно описать
оптимальность в терминах начального состояния											х0.
Справедливо							Траектория		% = (xt)i<=E
П р е д л о ж е н и е					8.4.
модели Ш, исходящая					из	точки	х, оптимальна			тогда	и
только	тогда,	когда		х	является		граничной		снизу	точкой
множества (пат,0)~г				(хт)-
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть траектория % оптималь
на. Если х0ае		является граничной снизу точкой множества
(ггаг,0 )- 1	(хт), найдется КЕЕ(0,					1) такое, что Хж0 е(пат,0 )_ 1 (ят).
В этом	случае		уЯт£Епат1 0 (:Е0 ), что невозможно, так как
(предложение		8.3)	хт — граничный сверху						элемент мно
жества^ пат,о (хо)-			( М ы		использовали здесь				полояштель-

ную однородность отображения пат,о-) Подобными аргу ментами доказывается и обратное утверждение.

Предложение доказано.

Приведем экономическую интерпретацию этого пред ложения, предполагая, что отображение ат,0 нормально. В этом случае множество (пат,о)~г (хт) = (ат,о)- 1 (хт) интерпретируется как совокупность всех затрат, при ко торых возможен выпуск хт. Предложение утверждает, что оптимальность траектории % равносильна следующему:

при затратах Хх0				(X <С 1) выпуск хт невозможен.
Из предложения 8.4 следует
Т е о р е м а				8.2 ( п р и н ц и п			о п т и м а л ь н о
с т и ) .	Если % =			{xt)ie.E —	оптимальная			траектория мо
дели Ж =		[Е,	(at ) ( )(T ,()e s},		то	при любом 0 £Е Е,				8 ^> О
семейство %о = (#*)(<=Е,/<О является оптимальной									траекто
рией	модели
		Шй	=	{Е П [0, 0], (ат ,,),, /евп». о* x>j}.
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Так как		%	оптимальна, то
х0 — граничная				снизу точка		множества		(пат^У1		(хт).
Поскольку
(па0, о) - 1		(io) с		(па0, о)- 1 ° {пат, оГ1 (хт)			= (пат, оГ1		(хт),
то х0	является			граничной снизу точкой и множества
(пае,о)- 1 (^е),			откуда следует справедливость теоремы.

О Б Щ А Я Т Е Х Н О Л О Г И Ч Е С К А Я М О Д Е Л Ь	155
Опишем еще одно свойство оптимальных траекторий,
вытекающее из предложения 8.4.
П р е д л о ж е н и е 8.5. Если траектория % =	( ж * ) ( е Е

модели Ж оптимальна, то найдется ненулевой функционал f из конуса К0 такой, что

				/ ( * ) =		min	f(y).	(8.7)
Д о к а з а т е л ь с т в о . Будем считать,								что прост
ранство Х0			упорядочено с помощью конуса К0.					Множест
во (пат,о)-1			(хт) выпукло и замкнуто. Так как О ЕЕ пат,0						(х)
при всех х ЕЕ К0,					то (см. предложение 4.11) отображение
na-rl0 возрастает,					и потому (предложение 4.8)			множество
(пат,о)'	1	(хт)		является		7(Г-устойчивым. Отсюда следует,
						0
в частности,				что	это	множество	телесно. Поскольку		х0

является граничной снизу (н, следовательно, граничной) точкой множества (/гаг > 0 )_ 1 (хт), то найдется функционал f<E=XQ такой, что / =j= О и

f(x0)	=	min	f(y).
Поскольку
х0 +	К0	а (пат, о ) - 1	(хт),

то / ограничен снизу на конусе К0 и потому положителен. Предложение доказано.

З а м е ч а н и е . Попутно мы показали, что каждый линейный функционал /, удовлетворяющий условию (8.7), принадлежит ко нусу к*0.

Предложение 8.5 означает, что для каждой оптимальной

траектории % =	(xt)t^E		найдутся			такие цены в начальный
момент, что вектор х0			является наивыгоднейшим по этим
ценам вектором затрат, из которых в момент Т								получается
данный выпуск хт-
Следующий ниже пример показывает, что предложение
8.5 не допускает обращения.
П р и м е р .	Рассмотрим модель
5№ =	{{0,	1}, № ) ( = о		л	,	(K,)l=0iV	a 1 0 },
где Х0 = ХГ = R2,	К0	=	КГ — Л 2	;	отображение a l l 0			определено на

156	О П Т И М А Л Ь Н Ы Е	Т Р А Е К Т О Р И И	[ГЛ. I I I
.ff2h	формулой (рис. 17):
	«1, о (*) = {У е R\ \| !/2	< Л У1 + У2 <*Г	+ *2}-

Более общее отображение рассматривалось в примере 3 п. 8 § 4. Там было показано, что это отображение двойственно к некоторому

Рис. 17. Рис. 18.

суперлпнейному и, стало быть, суперлинейно и нормально. Очевидно, для у £= R* (рис. 18)

аГ,Хо М	= ix е	R l \ х* >	»*•	х Х +	х" >уг	+ у*)-
Рассмотрим	теперь	траекторию		% =	( я , ) ( _ 0	х модели	ffl, где
х0 = (0, 1), zj =	(1/3, 1/3). Точка		хх	является		внутренней	точкой
множества а ъ 0 {х0)	(рис. 19), и потому траектория % не оптимальна

Рис. 19. Рис. 20.

(и даже не слабо оптимальна). В то же время функционал /, для ко торого выполнено (8.7), существует. Таким функционалом является,

например, / =	(1, 0) (см. рис. 20, на котором гиперплоскость,	опре
деляемая этим функционалом и проходящая через точку х0,		совпа
дает с осью О	хг).

О Б Щ А Я Т Е Х Н О Л О Г И Ч Е С К А Я М О Д Е Л Ь

157

6. Правильные модели. С экономической точки зрения наибольший интерес представляют технологические модели

	Ж =	{Е,	( X , ) l e E l	(Kt)
такие,	что	Xt	(t ЕЕ Е)	— арифметическое пространство,
Kt (t ЕЕ	Е) — конус векторов пространства Xt				с неотри
цательными компонентами.
Модели, обладающие указанным свойством,					будем на

зывать правильными. Следующее предложение показыва ет, что в правильной модели первого рода оптимальность траектории можно сформулировать в терминах функцио

налов из конуса (К?)*		(а не конуса (Г'т)*).
П р е д ло ж е н и е		8.6. Пусть SR =		{Е,	( a T \| ) ) t ( ( _g}		—
правильная модель первого рода и точка х					из	конуса	К0
такова, что ат,0 (х)	=j= {0}		(здесь Т =	sup Е).		Для того
чтобы траектория	% =	(xt)t^E	модели	была оптималь

на, необходимо и достаточно, чтобы нашелся функционал / из конуса Кт такой, что

	f(xr)=		max		/ ( i / ) > 0 .		(8.8)
	Д о к а з а т е л ь с т в о .			1) Необходимость.			Так как
траектория % оптимальна,				то	найдется	функционал		/,
положительный на конусе Тт и такой, что
	/ > т ) =		max		f ( y ) > 0 .
	Как следует из определения правильной модели, конус
Г т	является гранью конуса Я" . Определим на Rn						функцио
нал /, положив для х ЕЕ			Пп
где	х — проекция	элемента		х	на подпространство Ьт			=
=	Гт — Гу. Функционал		/ положителен			и
	f(xT)	=	max		f(y)>0.

2) Достаточность. Пусть функционал / удовлетворяет условию (8.8). Сужение f этого функционала на простран ство Ьт отлично от нуля (ибо / (хт) ^> 0). Ясно, что траек тория % оптимальна в смысле f.

Предложение доказано.

158

О П Т И М А Л Ь Н Ы Е Т Р А Е К Т О Р И И

[ГЛ. Ш

7. Оптимальные траектории в моделях второго рода. Перейдем к изучению траекторий в моделях второго рода. Прежде всего введем одно важное в дальнейшем опреде ление.

Пусть

Ш = {Е, К , , ) ( т , 0 е £ }

— технологическая модель. Пусть, далее, Т ЕЕ Е, Т ^> 0. Положим Ет = Е f] [0, Т] и рассмотрим модель

Ыт={Ет, К 0 ( т , О е Е т } -

Траектории модели ЗКт мы будем называть Т-тпраектпо- риями модели 9К. Таким образом, /-траекторией модели

называется семейство хг = (#;)(<=Ет такое, что

х, ЕЕ К„ хт ЕЕ ат ,, (х,) ((т, t) ЕЕ 2?, t < Г).

Естественным образом определяются оптимальные (слабо

оптимальные)	/-траектории.
Если х =	(^f)feE	есть	траектория модели	Ж, то
/-траекторию	хт =	(zt)i<=ET	этой модели будем	называть

Т-куском (или просто куском) траектории х-

Заметим, что в новых терминах принцип оптимальности для моделей первого рода (теорема 8.2) может быть сфор мулирован так: если траектория % оптимальна, то и %-куски этой траектории (т ЕЕ Е, т ^> 0) оптимальны.

Будем считать теперь, что модель ЗК — второго рода. Благодаря принципу оптимальности естественно дать следующее определение.

Траекторию х модели 50J назовем оптимальной (эф фективной по другой терминологии), если при любом / ЕЕ

ЕЕ Е, Т ф 0 ее	/-кусок оптимален как траектория моде
ли 5Кт-
При исследовании оптимальных траекторий в модели
первого рода мы	использовали множество (пат,0)~г (ху).

Введем в рассмотрение аналог этого множества. Если % =

— (xt)ts=E — траектория модели 5SR, то		положим
( n a ) - 1 ( x ) = ' U	(паи о Г 1	^ ) -
(ев, оо

Заметим, что множество ( п а ) - 1 (х) не совпадает со всем конусом К0 (ибо 0 §Ё ( п а ) - 1 (х))- Это множество, вообще го-

§ 8] О Б Щ А Я Т Е Х Н О Л О Г И Ч Е С К А Я М О Д Е Л Ь 159

воря, не замкнуто и его замыкание может совпадать с К0 (соответствующий пример приведен в н . 5 § 9).

Заметим еще, что в обозначении указанного выше мно жества ие отмечено, какой моделью оно определяется; из

контекста всегда ясно, о какой модели идет речь.
Если		точка х0 ЕЕ К0	такова, что	at)Q (х0) =/= {0}		при
всех	t ЕЕ	Е, t =f= 0, то,	как нетрудно	проверить,	траекто
рия	% модели Ш, исходящая из х,			оптимальна	тогда	и

только тогда, когда х является граничным снизу элемен том множества (?га)- 1 (%).

Перейдем к доказательству существования оптималь ных траекторий. Будем рассматривать точки х ЕЕ К0 такие, что аг ,0 (х) =£= {0} (t ЕЕ Е, t 4= 0)- (В противном слу чае существование оптимальной траектории, исходящей из точки х, очевидно.) Рассмотрим вначале дискретную модель

®ld = {E, (ar,t )( ,i 0 eg}-

Не умаляя общности, можно считать, что Е совпадает с

множеством неотрицательных				целых	чисел.
Л е м м а		8.1. Из каждой точки х конуса К0					исходит
оптимальная траектория модели 9J?d.
Д о к а з а т е л ь с т в о .				При	каждом		натураль
ном	Т	рассмотрим	оптимальную			Г-траекторию
%т =	(х, х[,.	. ., хт) модели		исходящую		из	точки х.

Используя теорему 8.2 (принцип оптимальности), получим,

что t-кусок	траектории %т при					любом		натуральном		t,
не превышающем		Т,	является оптимальной ^-траекторией
модели *) 9J}d. Из предложения 8.3' вытекает, что
Wxll^	о ( х ) =	1	(Г =	1, 2 , . . . ;		* =	1, 2 , . . . , Т),
а потому последовательности (xj)r=t						{t	=	1, 2,. . .) огра
ничены.
Применяя диагональный процесс, выберем подпоследо
вательность	номеров		Тг,	Т%,.	. ., Тк, . . . так,				чтобы	су
ществовали пределы
l i m x^k	= xi,	l i m x^k		=	x2,...,	limxfk		=	xh ...

*) T o есть оптимальной траекторией модели (SOtd)f-

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3416 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20233.42 Mб5Макареня, А. А. Александр Александрович Байков.pdf
#
23.10.20238.39 Mб30Макаров Г.В. Уплотнительные устройства.pdf
#
25.10.202316.68 Mб18Макаров Е.С. Изоморфизм атомов в кристаллах.pdf
#
23.10.202327.11 Mб10Макаров, А. Д. Износ инструмента, качество и долговечность деталей из авиационных материалов учебное пособие.pdf
#
22.10.202314.98 Mб4Макаров, В. А. Теоретические основы телемеханики.pdf
#
22.10.202311.97 Mб6Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf
#
29.10.20231.69 Mб24Макеев Ф.Я. В помощь маляру.pdf
#
22.10.202310.52 Mб30Макиенко, Н. И. Производственное обучение слесарей механосборочных работ метод. пособие.pdf
#
23.10.202319.57 Mб196Макиенко, Н. И. Слесарное дело с основами материаловедения учебник.pdf
#
29.10.20234.92 Mб12Маковецкий П.В. Радиотехнические методы измерения скорости учебное пособие.pdf
#
20.10.20238.14 Mб42Макогон, Ю. Ф. Гидраты природных газов.pdf