Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

11.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 3414 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

130

М О Д Е Л Ь Н Е Й М А Н А — Г Е Й Л А

[ГЛ . I I

следует, что а (р)=й (р) (/) р, т. е. р является собственным вектором оператора а, отвечающим собственному числу X = а (р) (/) ^ 0.

Теорема доказана.

З а м е ч а н и е . При доказательстве теоремы использовалась лишь непрерывность (по Хаусдорфу) отображения а.

Опишем теперь все собственные числа отображения а

на ПпДля этого нам понадобится			следующее
П р е д л о ж е н и е		7.2. Пусть	а — вогнутое			поло
жительно однородное отображение конуса R+ в					П	(R+),
причем при любом	ж ЕЕ R+ мноокество			а (х)	содержит
с каждой своей точкой у конусный отрезок				<0, у}.	Пусть,
далее, число Х^>0	и ограниченное выпуклое множество \
с непустой внутренностью таковы, что
	Xt (Z	а (£) с Xl				(7.3)

Тогда число X совпадает с неймановским темпом роста вы пуклого конуса Z — графика отображения а.

Д о к а з а т е л ь с т в о . 1) Напомним читателю, что неймановский темп роста а определяется формулой

а =	sup	sup sup {а I cue ^	у}.
Положим
а	(ж) =	sup {а \| и х ЕЕ а (х)},	(7.4)
	а	= sup а (ж)	(7.5)

»= я " \ (0)

ипокажем, что число а, определенное формулой (7.5), совпадает с темпом а. Для этого достаточно проверить, что

		а(ж) =		sup		sup {а [ ах ^ у}.	(7.6)
				yea	(ж)
При любом е >		0
			(а (х)		—	е)ж ЕЕ а (ж),
и потому	а (х)	^	sup sup {а j аж^л/}. Пусть,				с другой
			9SBW
стороны,	число	р > 0		и элемент у ЕЕ а (ж) таковы, что
(Зж *^ у. Тогда		6ж ЕЕ <0, г/> d а (ж), и потому					(5 < а (ж).
Тем самым (7.6)			доказано.

§ 7] С П Е К Т Р А Л Ь Н А Я Т Е О Р И Я О Т О Б Р А Ж Е Н И Й 131

Функция а, определенная формулой (7.4), положитель но однородна нулевой степени. Из условия предложения

следует, что \ содержит	конусный		отрезок <0, ж>,	где
х ^ > 0, и потому sup а (ж) =		sup	а (х). Таким образом,
для неймановского темпа а имеет место равенство
а =	sup	а (ж).		(7.7)
	*es\ <о>

2)Для ж ЕЕ | положим

ц.(х) = sup {ц. I \хх ЕЕ I).

При любом достаточно малом е ^> О выполняется соотно шение (ц. (ж) — е)ж ЕЕ |. Так как ее (([J, (Ж) — s)x) = а (ж), то, используя (7.3), имеем при всех достаточно малых б ^> О (мы считаем, что а (ж) ^> 0)

(а (ж) — б) (|Д, (ж) — е)ж ЕЕ а ((ц. (ж) — е)ж) CZ a (g) CZ л-f, откуда ввиду произвольности е и б следует а (х)ц. (ж)ж ЕЕ

ЕЕЗаметим теперь, что шах {д. | цж ЕЕ А^} = Х\\. (ж).

Таким образом, а (ж) и. (ж) ^ Л[х (ж) и потому а (ж) < ! X.

Привлекая теперь формулу (7.7), получим	а ^ X.
3) Докажем обратное неравенство. Из	предложения

6.3' следует существование функционала р ] > 0, обладаю

щего

тем свойством, что р ЕЕ йа' (р). Пусть

sup р

(ж) = с.

i n t R+ =j= ф, то

net

Так

как

| f)

с >

Используя

(7.3),

имеем

Хс =

sup р (ж) ^

sup р (у) — sup sup р (у)

sup ар (ж) =ас,

откуда и вытекает неравенство X ^

а.

Предложение

доказано.

Т е о р е м а

7.2. 1)

Отображение

а ЕЕ Ап

имеет не

более одного собственного числа X, которому отвечает те

лесный собственный компакт;

2) если телесный собствен

ный компакт | существует, то X совпадает с неймановским

темпом роста а отображения

а: при этом 3) а не имеет

обобщенных темпов роста, отличных

от

а.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Первые

два

утверждения

теоремы

следуют

непосредственно

из

предложения

7.2.

Докажем

справедливость третьего

утверждения.

Пусть

a — обобщенный

темп

роста отображения а. Тогда

най

дется такой функционал

р^>0,

что pEEaa' (р).

Рассуждая

132 М О Д Е Л Ь Н Е Й М А Н А — Г Е Й Л А [ Г Л . I I

так же, как и в части 3) доказательства предложения,

убедимся в справедливости неравенства а >

Так

как

К =

а,

то а

а,

откуда (см. предложение

6.5)

следует,

что

а.

Теорема

доказана.

Пусть £ — собственный компакт отображения а ЕЕ А п.

Рассмотрим грань Г (|)

конуса

R+,

порожденную множе

ством

^ (напомним, что (см. предложение

2.15) Г (|)

= Со £ =

Если % — собственное число, которому

отвечает

£,

то

а(Т(1))

= о(

U |4) =

U я 04) =

№ •

Таким

образом,

если

Я, = 0,

то

а (Г (£1) = {0};

если

X >

0, то а (Г

(|))

= Г (|). Отметим еще, что (см. предло

жение

2.12) £

содержит внутреннюю точку

грани Г (£),

и поскольку § нормально, это множество телесно в про


странстве L	(\|)	=	Г (£) — Г (\|).				Каждую	отличную		от
нуля грань	конуса		i t 1 " можно отождествить с конусом i? +
(где I ^ п).	Из сделанных замечаний и теоремы 7.2 выте
кает справедливость следующего							утверждения.
Т е о р е м а		7.3. Пусть				X	0 — собственное число
отображения		aEzAn		на	П£.		Тогда найдется		грань	Г
конуса R+ такая, что а (Г)					=	Г и X совпадает с нейманов
ским темпом роста				конуса Zp = Z \|~] (Г				X Г),	где Z —
график отображения				а.
3. Собственные числа отображения а на П^. Из теоре
мы 7.1 следует, что				каждое		отображение		аЕЕАп	имеет
собственное число на П^. Справедлива
Т е о р е м а		7.4. Если а ЕЕ А п, то а имеет на п£ лишь
конечное множество собственных чисел.
Д о к а з а т е л ь с т в о						этой теоремы опирается				на
следующую	простую			лемму.
Л е м м а	7 . 1 . Пусть телесное выпуклое множество £

из Ип обладает тем свойством, что с каждой своей точкой х оно содержит конусный отрезок <0, ж). Тогда 1) существует наибольшая (по включению) грань Г конуса R+, содержа щаяся в |. 2) множество т) = Ргг' £ (где Г" — грань, дизъ юнктная к Г) ограничено и телесно в Г', 3) имеют место включения £ CZ Г + т| CZ

С П Е К Т Р А Л Ь Н А Я Т Е О Р И Я О Т О Б Р А Ж Е Н И И

133

Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы . 1) Докажем вна чале первое утверждение леммы. Если множество £ огра ничено, то наибольшая грань Г конуса Д " , содержащаяся в £, существует и равна {0}. Предположим теперь, что £

неограничено. Тогда, в силу леммы 4 . 1 , множество £ содер жит луч (и.ж)ц>0-

Пусть

х=

ж;е4, где

/0 =

{i ЕЕ 1\х1^>0},

через

е*

обозначен

г-й

орт пространства

Rn.

Нетруд

но проверить,

что

множество

£ с каждой своей точкой

у содержит конусный

отрезок <0, у}. Из сказанного сле

дует, что лучи (|хе;)|1>о (i ЕЕ /0 ) входят в 1 -

Пусть i

ЕЕ /0>

f i > 0

и последовательность

(хп)

элементов множества

такова, что хп

- v (ц. + 1)ег . При

достаточно

больших

выполняется

неравенство

ххпе% >

\iet, кроме того,

хп

> а£ег. Таким

образом,

ц,ег ЕЕ <0, хпУ и,

стало

быть.

иег ЕЕ Е- Итак,

£ содержит

луч

(и,ег)н.>о- Обозначим че

рез /множество всех индексов г, для которых (и.ег)у.>оCZ

С Е-

Множество

со (

(u.e«Xt>o) =

{ж ЕЕ Rl | ж =

V-tet)

и является наибольшей по включению гранью конуса

R+,

содержащейся в |.

2) Из рассуждений п. 1) доказательства

немедленно

вытекает,

что

множество т] =

Ргг-

| ограничено. Телес

ность этого множества следует из телесности |.

3) Докажем теперь третье утверждение леммы. Вклю


чение	\| CZ Г +		т] очевидно.			Покажем,			что Г +	т) d \|.
Отметим прежде всего, что, как следует из свойств мно
жества	\. справедливо				соотношение			л CZ \|. Поскольку,
кроме того, Г d			\| и \| выпукло, то при любом а ЕЕ (0, 1)
имеем	ат) + (1 — а)Г =				at] +	Г	с
Пусть		# ЕЕ Г +		г],	х =	и +	v,	где	и ЕЕ Г,	и ЕЕ т).
Так как		при всех		натуральных			п
			. п, — 1		n . r c — 1				^
		и -\		v ЕЕ Г А				п с: £,

134 М О Д Е Л Ь Н Е Й М А Н А — Г Е Й Л А [ГЛ . П

то l i m	-f- п п 1 vj =	х ЕЕ £, чем и доказано третье			утверж
дение	леммы.
Д о к а з а т е л ь с т в о			т е о р е м ы	7.4.	Пусть
а (\|) =	АЕ ( A ^ > 0 ; .	Так как	отображение	а нормально,

то £, с каждой своей точкой х содержит конусный отрезок

<0, хУ. Нетрудно

проверить,

что

множество L

U.E.

v->o

является гранью

конуса /?+. Поэтому, не умаляя

общно

сти, можно

считать,

что

Е. телесно (в противном

случае

следует

вместо а рассмотреть сужение O-L отображения а

на грань

L).

Пусть Г — наибольшая (по включению) грань конуса

R+, содержащаяся в !, Г'—дизъюнктное

дополнение к Г.

Рассмотрим

отображение

Ъ конуса Г'

П (Г'), график

которого совпадает с проекцией конуса

Z — графика

отображения

а — на

грань

Г'

X Г'

конуса

R+

X R+-

Нетрудно

проверить, что

b (и) = Ргг< а (со +

Г)

(шс= Г')-

Так как проекция выпуклого конуса является выпук

лым конусом, то (см. предложение

4.4)

отображение Ъ

вогнуто и положительно

однородно. Положим Т] =

Ргт» £

п покажем, что

Ь| С б ( 1 ) С

Щ.

(7.8)

В самом деле, в силу леммы 7.1,

| С

т| -И1 Г CZ I . и

п о ~

тому АЕ. =

а (£,) CZ я (т1 +

Г) CZ a (£,),

откуда следуют

со

отношения

%т\ а Ъ (г,) с: Ргг< а (I).

Нам осталось проверить включение Ргг-а (f) CZ Щ- Покажем вначале, что a (EJ CZ Я£. В самом деле, пусть

г/ ЕЕ а (Е) и элемент х ЕЕ Е таков, что у ЕЕ а (ж). Выберем последовательность (хп) элементов множества £,, стремя щуюся к я, и, используя полунепрерывность снизу ото бражения а, найдем последовательность (г/71), для которой выполняются соотношения

Уп-> У, Уп^а(хп)	{п =	1, 2, . ..).
Поскольку хп ЕЕ £., то у п	ЕЕ о (Е.) =	АЕ., И потому г/ ЕЕ л\|

С П Е К Т Р А Л Ь Н А Я Т Е О Р И Я О Т О Б Р А Ж Е Н И Й

135

откуда и следует нужное нам включение. Используя те перь соотношение Ргг'1 CZ Ргг£ = ч" (которое легко сле дует из ограниченности г|), получим

Ргг- а (!) с	Ргг-	= X Ргг < I<= %л\.
Тем самым формула	(7.8) доказана. Из этой формулы вы
текает, что отображение Ъ, множество т] и число X удовле

творяют всем условиям предложения 7.2. Применяя это предложение, убедимся в том, что X — единственное соб ственное число, которому отвечает телесное собственное множество, содержащее Г в качестве наибольшей грани. Справедливость теоремы следует теперь из многогранности

конуса		Л".
4.	Собственные множества, отвечающие темпам роста.
Пусть		а	есть темп	роста	отображения a EzAn		и а =
= (а,	(х,		ах), р)—состояние		равновесия модели Z,		опреде
ляемой		отображением а. Положим
			М У =	{у e=R"\P{y)<P		(*>)}.

Через ПУ обозначим совокупность всех выпуклых под множеств множества т]У, содержащих точку х. Упорядо чим ПУ по включению. Это множество является полпой структурой (инфимум любого семейства элементов ПУ сов падает с пересечением элементов этого семейства, супре мум — с выпуклой оболочкой объединения этих эле ментов).

П р е д л о ж е н и е 7.3. Если ц ЕЕ ПУ, то ^ а (и) ЕЕ ПУ.

Д о к а з а т е л ь с т в о .				Покажем		вначале,	что
1	v
- Й ( Т \| )	С Ч « .	В самом	деле,
snp	p(z) =	- jL snp	p(z) =	- i - s u p	sup р(г/)<
			< 4 " sup ap (x)		=	sup p{x) =	p (X),
			u жен			xei)

откуда и следует наше утверждение. Кроме того,

XEE^-a(x)cz:^-a{y]).

Таким образом, т) ЕЕ ПУ.

136 М О Д Е Л Ь Н Е Й М А Н А — Г Е Й Л А [ Г Л . I I

Предложение доказано.

Из предложения 7.3 сразу вытекает, что а является собственным числом отображения а на Пп - Точнее говоря, имеет место

Т е о р е м а 7.5. Темп роста а отображения а явля ется собственным числом этого отображения на Пп. Если

о = (a, (ж, aS),p)	—состояние равновесия с темпом роста
а, то в структуре	ПУ существует наименьшее собственное
множество \| отображения		а, соответствующее темпу а.
При этом
	I = у	or*а' (ж).
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Если r i ' c i j C if+, то при
любом натуральном t
	(аг1а)* (т)') с: (а _ 1 о)' ц.
В частности, из включения Ж ЕЕ оо- 1 а (ж) следует, что
ora (Ж) = (сГ^)' (ж) с: (а^а)'*1			(ж) = о г « + % ' 4 1 (г).
Таким образом,
а_ 1 а (ж) с	сГ2 а2 (ж) с: . . . d		сг'а' (ж) с= .. .

Поскольку, кроме того, каждое из множеств а"'а' (Ж) выпукло, то и их объединение Е также выпукло. Имеем

а (g) = а ( у сг'а' (ж)) = у сг'а'+ 1

(ж) = а 3 сН'+ %'+ 1 (ж) =

а|.

(=i

1=1

(=i

Так как р (ж) >

0, то £ не совпадает с гранью конуса if+.

Таким

образом, а — собственное число отображения а

на

Пп,

которому

отвечает

собственное

множество

Из

предложения

7.3 и того

обстоятельства,

что

Ш '

—

полная

структура,

вытекает

включение

| ЕЕ

П У .

Пока

жем,

что

Е — наименьшее в П^

собственное

множество.

самом

деле,

пусть |'ЕЕПУ>

а (£') =

а|'.

Так

как

Ж ЕЕ

I',

то при любом t

а~*а* (Ж) d

а-'а' (£') =

(а^я)' (£') = Г,

со

и потому \| = (J а~'а' (ж) d	Теорема доказана.
(=i

§ 7] С П Е К Т Р А Л Ь Н А Я Т Е О Р И Я О Т О Б Р А Ж Е Н И Й 137

З а м е ч а н и е . Не всякое собственное число является темпом
роста отображения. Приведем соответствующий пример.
П р и м е р .	Рассмотрим конус Z, лежащий в R^_ X R\	и натя
нутый на образующие ((1, 0); (1, 0)), ((0, 1); (0, 1)), ((1, 1);		(1, 2)),
((1, 0); (0, 0)), ((0,	1); (0, 0)). Отображение а, графиком которого яв

ляется Z, входит в А 2 . Единственным темпом роста отображения а является его неймановский темп роста а = 1. В то же время это ото-

бра?кенпе

имеет

собственное число

% — 2. Соответствующее это

му

числу

собственное

множество

£ совпадает

полуполосой

{х

е R%

| я8 < 1}.

Этот пример показывает, в частности, что собственные числа

отображения

a EzAn

на

П^ могут превышать

неймановский темп

роста.

Особый

интерес

представляет случай,

когда

р^>0.

В этом случае имеет место

П р е д л о ж е н и е

7.4. Пусть

состояние

равнове

сия

а =

(а,

(ж, as),

р)

таково,

что

р^$>0.

Тогда

1) а

является

собственным

числом

отображения

а на П£.

При

этом 2) наименьший в структуре

П У

собственный

компакт

|х

отображения

определяется

формулой

i i

U a ~ ' a <

3) наибольший в На собственный компакт

существует и имеет вид

g s = П a - V ( T ! 0 V )

(где,

как

выше, Г|У =

{у ЕЕ

R+ | Р

(у)

(я)})-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так как р^>0,

то

множе

ство

компактно.

Отсюда

следует,

что

множество

[J а~'а'

(ж) ограничено и, стало быть, £х

£ является

компактом. В силу теоремы 7.5 а (|) =

а|. Покажем, что

и а (|)

а\. Из включения \ZD

\ вытекает соотношение

а (I)

ZD а (I)

о|._

Поскольку

а (|)

— компакт,

то

а (I)

Пусть

теперь

J/ ЕЕ

a (I) и

элемент ж ЕЕ

£ таков,

что

у ЕЕ

я (ж).

Выберем последовательность (жп ) элементов множества |, стремящуюся к ж, и, используя полунепрерывность снизу

отображения а, найдем последовательность (уп),			обладаю
щую	тем свойством,	что уп-*- у, уп ЕЕ а (хп).	Так как
хп ЕЕ	I, то уп ЕЕ а Ш	= <х£ и, стало быть, у ЕЕ	a f . Таким

138 М О Д Е Л Ь Н Е Й М А Н А — Г Е Й Л А [ Г Л . I I

образом, включение a (£) CZ а|, а с ним и равенство а (£) = a t доказаны. Из сказанного следует, что a — соб ственное число отображения а на Щ. Кроме того, в силу


теоремы 7.5, ix =			£ — наименьший собственный компакт
(в структуре		По)	этого отображения.
Докажем		третью		часть	предложения.				Положим
11/ = ог'а1	(г\|У). Множество r\t				является выпуклым ком
пактом. В	силу предложения				7.3 а~1а		(ц)')	С	"цУ, и пото
му a~(t+1)aui		(ца)	— Tit+i с= lit — а~'а1				(ч\„). Отметим еще,
что r\t+1 =	a - 1 a (щ).			Рассмотрим множество					£2, фигури
рующее в условии предложеиня. Так						как \| 2		=	(111*, то (см.
предложение		3.8) \| 2		= Пш r[t	(где	предел		понимается в

смысле метрики Хаусдорфа). Учитывая, что а — непре рывное отображение, имеем

а (£2 ) = l i m a (i]( ) = a l i m r\t+1 = a£2 .

Таким образом, £2 — собственный компакт отображения а. Пусть | — другой собственный компакт этого отображе ния, g ЕЕ ДУ. Тогда | CZ Ца и, стало быть,

	c r V	(£) = g c	ora
откуда следует,	что	£ с: f l a	(цУ) =	Ег-
Предложение	доказано.
5. Собственные числа отображения				о - 1 . Пусть а ЕЕ ^4П

иа"1 — обратное к а отображение. Неотрицательное число

Яназовем собственным числом отображения а- 1 , если най

дется	выпуклое	множество	\ (О §Ё £), при котором
а - 1 (\|) = Я£. При		этом \| называется собственным множе
ством.
По кажем, что число а - 1 , где а — темп роста отображе
ния а,	является	собственным	числом отображения а'1.

(При этом мы будем использовать те же соображения, что и в предыдущем пункте, но «с точностью до наоборот»).

Пусть о — (а, (х, ах), у) — состояние равновесия мо дели, определяемой отображением а. Положим

Через П а л

С П Е К Т Р А Л Ь Н А Я Т Е О Р И Я О Т О Б Р А Ж Е Н И И

139

жеств г) таких, что £ ЕЕ f] CZ f]a • Множество П 0 , упорядо ченное по включению, является полной структурой.

П р е д л о ж е н и е 7.5. Если т) ЕЕ П£\ то аа'1 (т)) ЕЕ

ЕЕП0 Л .

До к а з а т е л ь с т в о . Пусть г| ЕЕ По • Тогда

inf	р (z) =	a	inf	р (z)	=	а inf		inf	р (х)		>
геоа-ч(Ч)		геа-'Сп)					эсеа->(у)
				>	а inf		—	р(у)	= iai	р (у) = р
Таким	образом,		а а - 1 (ч ) CZ т]а •				Кроме		того.
			х ЕЕ аа~х		(х)	CZ а а - 1 (г\|).
Мы показали,		что т) ЕЕ П^.
Предложение			доказано.
Т е о р е м а			7.6. Пусть			а — темп роста					отображе
ния а. Тогда		а"1	является собственным числом отобраоюе-
ния а- 1 . Если		а =		(а, (х,	ах), р)			— состояние равновесия
с темпом роста			с,	то в П^		существует наименьшее соб
ственное множество				\| этого		отображения.				При этом

I = U а'а"' (ж). (=i

Доказательство может быть проведено с помощью тех же рассуждений, что и доказательство теоремы 7.5.

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 3414 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20233.42 Mб8Макареня, А. А. Александр Александрович Байков.pdf
#
23.10.20238.39 Mб85Макаров Г.В. Уплотнительные устройства.pdf
#
25.10.202316.68 Mб39Макаров Е.С. Изоморфизм атомов в кристаллах.pdf
#
23.10.202327.11 Mб22Макаров, А. Д. Износ инструмента, качество и долговечность деталей из авиационных материалов учебное пособие.pdf
#
22.10.202314.98 Mб15Макаров, В. А. Теоретические основы телемеханики.pdf
#
22.10.202311.97 Mб17Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf
#
29.10.20231.69 Mб36Макеев Ф.Я. В помощь маляру.pdf
#
22.10.202310.52 Mб82Макиенко, Н. И. Производственное обучение слесарей механосборочных работ метод. пособие.pdf
#
23.10.202319.57 Mб848Макиенко, Н. И. Слесарное дело с основами материаловедения учебник.pdf
#
29.10.20234.92 Mб31Маковецкий П.В. Радиотехнические методы измерения скорости учебное пособие.pdf
#
20.10.20238.14 Mб103Макогон, Ю. Ф. Гидраты природных газов.pdf