Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

11.97 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3413 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

120 М О Д Е Л Ь Н Е Й М А Н А — Г Е Й Л А [ГЛ . I I

(v <.N).			Покажем, что найдется к' такое, что ух = хк — 0
						IV
при всех /с>/с'и!Е						U	№. Предполагая противное, мож-
но,	не умаляя общности,							считать,		что	для некоторого
		N
/ЕЕ		U	№ при всех к выполняется одно из двух соотпо-
шений:
• а)		у{	>	0,	б)	г/1- =	0,	но	4 >	0.
В		первом			случае,		однако,		/ ЕЕ I",		что невозможно,
так. как			№ f] №' = ф				при u. =f=			во втором случае
m i n	(yl/x\)			=	0, что также невозможно, ибо rain (уУ%1) —>

—г- a v .

Таким образом, нужное нам число к' существует. От метим еще, что поскольку Zv — выпуклый конус, то, рас суждая так же, как при доказательстве предложения 6.4, можно показать, что найдется неймановская последова

тельность ((xh, yh)), для которой						у\ ^> 0 при всех к и всех
г ЕЕ I".
	Из сказанного легко вытекает следующее: по любому
Б ]	> 0	найдется		процесс	(г\,, yv)	ЕЕ Z		такой,	что	s\ =
=	yl	=	0, если	v <	iV, i ЕЕ	U	№;	уI >	0,	если
i ЕЕ №;			m i n (ylfsl)	^> a v	— е, если		a v	<; оо. В	качестве
(^vi Ух)			можно	взять,	например,		достаточно		далекий
член неймановской последовательности (хк, уК),									рассмот
ренной выше.
	2)'Будем считать, простоты ради, что v <; N и a v									< оо,
и покажем, что существуют числа							Хи Я,2, . . ., A.v такие,
что	процесс


обладает	требуемыми в лемме свойствами (здесь			(%, у^)
(ц. = 1, 2, . . ., v) — процессы,		определенные в		первой
части доказательства). Положим A,v =			1. Заметим теперь,
что найдется такое достаточно большое число X, что для
процесса	(£, у) = X (2"v _x , yv-i)	+	(*v» Uv) выполнено

§ G] Т Е М П Ы РОСТА М О Д Е Л И Н Е Й М А Н А — Г Е Й Л А 121

соотношение

m i n

7j >

min (a„_i, av ) —

2е.

(6.21)

u Х

самом

деле, если

i Е Е 1^ (u. >

v),

то

у{ = £'

О,

а потому

г/7ж* =

оо;

если

i Е Е i

v ,

то

5v, fi1 =

z/J и,

следовательно,

j/VS* > a v

— е ;

если же i Е Е Z 7 - 1 , то отио-

шение

у /ж =

—

— может

быть

за

счет

выбора

4 -

сделано сколь

угодно

близким

отношению

yl-Jsl^.

Используя определение процесса (£v _i,

y w - i ) ,

можно

найти X, при котором выполнено (6.21). Обозначим

найденное

число

через Х^Г.

Подобным

же

образом

найдем k v _ u , X

V - S

, .

. .,

Лемма

доказана.

Через

T v

обозначим

грань

конуса R+, натянутую

на

орты с номерами *)

г Е Е

/'. Заметим, что Z v

Г,

| J . = V

X T v ,

причем

П r i r

4= Ф

1, 2, . . .,

N).

Будем говорить, что конус Z v

имеет неймановское со

стояние равновесия,

если

найдутся

процесс (£,

у)

Е Е

и функционал

р Е Е Г*

(где

Г* — конус,

сопряженный

к Г , в

пространстве ( 1 \ — T v )

такие, что

1) у >

a v s ,

2) Р

(у) <

avp

(х)

(х,

у)

Е Е Zv,

3) р (у) >

(Если

модель Неймана — Гейла, то это

определение совпадает

с данным

в п.

1.)

Определим подмножество

множества { 1 , 2, . ..,

следующим

образом: v Е Е £ тогда и только

тогда,

когда

конус

обладает неймановским

состоянием равновесия

и (если v ^> 1)

при всех ц <

v выполняется

неравенство

оси >

a v .

Имеет

место

6.2. Для

того чтобы

число а

являлось

Т е о р е м а

темпом роста модели Неймана

— Гейла

необходимо и

достаточно,

чтобы

нашелся

номер

v Е Е 56

такой,

что

а =

a v .

*) Эта грань уже рассматривалась выше (при определении конусов Z J .

122	М О Д Е Л Ь Н Е Й М А Н А — Г Е Й Л А

[гл. it

Прежде чем перейти к доказательству, приведем два

следствия из этой

теоремы.

С л е д с т в и е

1. Модель Z имеет темпы роста тогда

и только тогда,

когда

X =/= ф.

С л е д с т в и е

Модель

Z может

иметь

лишь

конечное число

темпов

роста.

Д о к а з а т е л ь с т в о

т е о р е м ы

6.2. 1)

Пока

жем сначала, что a v

(v Е Е iS) является темпом роста моде

ли Z. Пусть

( a v , (£,

у), р) — неймановское состояние рав

новесия конуса Z v

. Напомним, что р задан в пространстве

Tv — r v .

Через pv

обозначим функционал,

заданный на

всем Rn,

совпадающий

с р на T v

— 1 \ и равный нулю на

дизъюнктном *)

T v

— T v

дополнении.

Очевидно,

Pv (у) ^

avP\ ix)

Для

любых

{х,

у) Е Е Z.

Заметим, что

существует

процесс

(s, у) Е Е Z,

проекция

которого

на

T v — Гv

совпадает с (2, у). Из определения состояния рав

новесия легко следуют

соотношения

m i n

(у1/х1) —

m i n

(i/Vx1) =

av .

i s

I L

»S

U I

1 1

Привлекая

лемму

6.1

учитывая

неравенства

°V > a v

О ) , найдем процесс (х, у) 6Е Z,

для которого

2/1 = ^ = 0 ( i E U Р ) ;

m i n № * ) > a v .

Рассмотрим теперь процесс ( x v , ?/v) = (S, у) + X (x,

у),

где множитель

X выбран настолько большим, что выпол

нено соотношение

m i n (yl/xl)

ct v . Очевидно, y v > a " v

. r v ;

кроме того, p v (y v ) > 0. Таким образом, ( a v ,

( x v , уч),

p v )

является состоянием равновесия и, стало быть, а„ — темп роста модели Z.

2) Покажем теперь, что каждый темп роста а модели Z

совпадает с одним из чисел a v (VEE,2). Пусть (a, ($, у),					р)—
состояние	равновесия	модели Z.	Положим
	£ = { i E E / \| y V ^ = о, Р { > 0 } .
*) Под	дизъюнктным	дополнением	подпространства,	натяну
того на орты с номерами из некоторого множества /' с				Л	пони
мается подпространство, натянутое на			орты с номерами из		Г\1'.

§ fi] Т Е М П Ы РОСТА М О Д Е Л И Н Е Й М А Н А — Г Е Й Л А

123

Из определения состояния равновесия и равенства (6.4) вытекает, что I =j= ф; у1/& = m i n (y'/fi), если i ЕЕ / I

р{ — О, если i (=£ I.

Обозначим через v первый из номеров и,, обладающих

тем свойством, что I

f]I

Ф- Очевидно, / а

[)

№.

Кроме

того,

если

v ^> 1, то,

как

следует

из

сказанного

выше,

рг =

v - l

• Из соотношения

0 для i ЕЕ U

ix=i

У1

av —

sup

m m

(x,v)ez,

{Х.У)ФО

i s

вытекает неравенство

a v !>

а. Если o v

^> а, то

найдется

процесс (х,

у) ЕЕ Z,

для

которого

у1

аж*

при

всех

р,

i GE U ^ • Учитывая

свойства

функционала

получим

!x=v

что невозможно. Таким образом,

a =

a v .

Пусть v ф 1 и ц <

v. Тогда

Z) /, и потому

U / ш

< U = (X

an =

sup

m m

J/*

m m

у1

= a .

(ж, y)eZ \

{0)

N X

i m

1 ш

0)=Н'

O i = [ X

Предположим, что

= а. В этом случае проекция (£*, у)

пары (х, у)

на грань Г|х X I V является неймановским про

цессом (т. е. стационарной неймановской последователь ностью) конуса Zy,, Отсюда следует, что / CZ /*\ Так как,

кроме того, / 0

=f= ф,

то и i > П I"

ф 0 , что невозмож

но. Из полученного противоречия вытекают

неравенства

a v

(]х =

1, 2, . . ., v

—

1).

Для завершения доказательства осталось проверить, что

конус Z v

обладает

неймановским состоянием равновесия.

Покажем, что это состояние

совпадает с ( a v , (х„ yv),

p v ) ,

где

( x v ,

7/V ) — проекция

процесса

( i , у)

на

грань

T v

X T v , p v — сужение

функционала

на

грань

Г„ .

самом

деле,

соотношения

a v x v

< y v

и/>, (yv ) > 0

124	М О Д Е Л Ь Н Е Й М А Н А —		Г Е Й Л А	[ Г Л . II
очевидны. Неравенство же pv		(у)	avpv	(х) справедливо,
	V—1
поскольку	pi = 0 (i ЕЕ U	№)•
Теорема	доказана.

З а м е ч а н и е . Предположим, что модель Z, рассматриваемая нами, является моделью Неймана (т. е. Z — многогранный конус). В этом случае каждый конус Z v многогранен (и, в частности, замкнут); таким образом, при каждом v = 1, 2, ...,N выполняется одно из двух: либо Z v является моделью Неймана, либо Z v содержит элемен ты вида (0, у), где у ф 0. Напомним теперь, что, согласно теореме 6.1, каждая модель Неймана пмеет неймановское состояние равнове сия. Из сказанного следует, что в рассматриваемой ситуации теоре

ма	6.2 принимает		существенно		более простой вид.
	Т е о р е м а		6 . 2' . Пусть Z — модель Неймана. Число а. является
темпом роста этой модели в том и только в том случае,								когда вы
полняются следующие условия:
	1) существует такое V, что а				совпадает с неймановским темпом
роста		конуса Z v ,
	2)	при всех ц. < v		выполняется		<xv.
	5. Обобщенные			темпы	роста.	Говорят,	что	число
а	^> 0, процесс (г, у) ЕЕ Z и функционал р						ЕЕ (#+)* обра

зуют обобщенное состояние равновесия:а модели Неймана — Гейла Z, если

as	<	у, р > 0,
р (у) ^ ар	(£)_	для всех (х, у) ЕЕ Z.

(Иными словами, о удовлетворяет всем условиям, опреде ляющим состояние равновесия, с той лишь разницей, что неравенство р (у) 0 заменено на неравенство р > 0.)

Число а, фигурирующее в этом определении, называет ся обобщенным темпом роста. Предложение 6.3 по суще ству показывает, что обобщенное равновесие существует

в произвольной модели. Опишем все			обобщенные темпы
роста	модели Неймана — Гейла Z.
П р е д л о ж е н и е 6.5.		Пусть	а' — m i n a v		(где
			v=l	N
a v	неймановские темпы моделей Zv,		определенных в п. 4),
а" — неймановский темп роста модели Z. Число				а	явля
ется обобщенным темпом роста модели Z тогда и только
тогда,	когда a ЕЕ [а', а"].
Д о	к а з а т е л ь с т в о .	1) Пусть a ЕЕ [о/, а"]. Обо
значим через (х, у) .неймановский процесс модели					Z и

§ 6]	ТЕМПЫ		РОСТА МОДЕЛИ		НЕЙМАНА — ГЕЙЛА			125
через р функционал такой, что						р =j= О, р (у) ^	а'р (х)
((ж, у)	ЕЕ Z)	(в	существовании		этого функционала			легко
убедиться, применив предложение 6.3' к конусу Zv>,								где v'
таково, что сс' = av <).
Справедливо			неравенство
	ах	<	у,	р (у) < ар	(ж),	(ж, ?/) ЕЕ 2 ,
т. е. а — обобщенный темп роста.
2)	Пусть	теперь		а ЕЕ [аг,	а"].	Тогда если	а	а",
то ни для какой пары (ж, у) ЕЕ Z						не выполняется	соотно

шение у >	ах; если же а < а ' , то, используя лемму 6 . 1,
можно указать такой процесс (жа , г/а) ЕЕ Z, что г/а ^> аха.
Кроме того, для		любого р ^> 0 выполняется неравенство
Р (Уа) > а Р	(ха)-
Предложение		доказано.

Вопрос о существовании и числе состояний равновесия можно еще рассматривать со следующей точки зрения. Поскольку любой выпуклый конус Z можно сколь угодно точно «приблизить» многогранным, а для многогранного конуса, с одной стороны, выполнена теорема существова ния состояния равновесия, а с другой стороны, проекция на любое подпространство всегда многогранна, то вместо состояний равновесия исходного конуса Z можно рассма тривать последовательности состояний равновесия при ближающих Z многогранных конусов. Эти последователь ности и принимаются, по определению, за состояние рав новесия исходной модели. Известное преимущество такой точки зрения состоит в том, что теорема существования и теорема о числе и расположении состояний равновесия имеют место для произвольной модели. Отметим, что такой подход к экстремальным задачам последовательно про водится Голынтейном [1] и др., а применительно к модели Z — Мовшовичем [11.

6. Экономический темп роста. Рассмотрим модель Ней мана — Гейла Z. Обозначим через а производственное отображение этой модели. Неймановский темп роста а модели Z часто называют технологическим темпом роста

этой модели. Наряду с технологическим рассматривают и

экономический темп роста	\|3. По	определению,
р = m i n	max	-p*f\
p>o(x,V)e=z		P(x)

126 М О Д Е Л Ь Н Е Й М А Н А — Г Е Й Л А [ Г Л . II

(как обычно, считаем, что -~Ц- =			оо, если	р (х) = 0). За-
4	'	р(х)
метим, что S < + оо. Пусть р ЕЕ Л+, Г > ЧтМ Д л я					в	с е х
				р \xi
(х,	у) EEZ. Предположим, что		у <С оо.	Тогда р (у)		^
^ V P (ж) {(х, у) E E Z ) , т. е. р ЕЕуа'			{р) или, что то же самое,
1			1
—р	ЕЕ а' (р). Если у = оо, то формула — р ЕЕа' (р)				так
же верна. Из сказанного следует, что
	р = m i n min \r\-^-p^a'(р)\			•
	Переходя	к обратным величинам, запишем получен
ную формулу		в виде
		•4- = max max {б \| бр ЕЕ а' (р)}.			(6.22)

Из (6.22) вытекает, что число 1/В совпадает с нейманов ским темпом роста а' отображения а', двойственного к а. Рассуждая так же, как при доказательстве предложения 6 . 1 , нетрудно убедиться в том, что число а является обоб щенным темпом роста отображения а тогда и только то гда, когда 1/а — обобщенный темп роста отображения а'. Поскольку, кроме того, а ' — наибольший обобщенный темп роста отображения а', то В — наименьший обоб щенный темп роста отображения а. Из сказанного сле дует, что справедливо

П р е д л о ж е н и е			6.6. Экономический		темп	роста
модели	Неймана	— Гейла	Z	совпадает с	технологическим
темпом	роста	этой модели		в том и только том		случае,
когда Z	имеет	единственный		обобщенный	темп	роста.

Привлекая предложение 6.5, получим, что В =		m i n csv
	v = l N
(где a v	— неймановские темпы роста моделей Zv,	опреде
ленных	в п. 4).

§ 7. С П Е К Т Р А Л Ь Н А Я ТЕОРИЯ С У П Е Р Л И Н Е Й Н Ы Х

ОТОБРАЖЕНИЙ

1. Собственные числа и собственные множества. Из вестная теорема Перрона — Фробениуса (см., например, Гантмахер [11) утверждает, в частности, что всякий положительный оператор A: Rn ->- Rn обладает неотри-

С П Е К Т Р А Л Ь Н АЯ ТЕОРИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ		127
дательным собственным числом; при этом А		имеет лишь
конечное число неотрицательных	собственных чисел;
если, кроме того, А неразложим,	то у этого	оператора

существует единственное положительное собственное чис ло X и отвечающий этому числу собственный вектор является внутренней точкой конуса

Оказывается, что аналоги приведенных выше ут верждений имеют место и для нормальных суперлинейных

отображений.	В этом смысле спектральная теория	су
перлинейных	отображений может рассматриваться	как

обобщение спектральной теории положительных опера торов.

Введем некоторые определения и обозначения. Всюду в этом параграфе, простоты ради, будем рассматривать лишь нормальные суперлинейные отображения R+ в П(Л+), хотя многие из приведенных результатов справед ливы и в более общей ситуации. Совокупность всех таких отображений обозначим через Ап.

Через Щ (соответственно, Пп ) обозначим совокупность всех нормальных (соответственно, непустых выпуклых) подмножеств конуса R+. Неотрицательное число X назы вается собственным числом отображения а Е=Ап на Пп, если найдется выпуклый компакт |, отличный от нуля и такой, что

а (|) = XI

(7.1)

Множество |, удовлетворяющее соотношению (7.1), будем называть собственным компактом отображения а. Из нор

мальности а вытекает, что I ЕЕ П„.
Число X !> О называется собственным числом	отобра
жения а ЕЕ. А п на П„, если найдется множество	£ ЕЕ Пп,

отличное от грани конуса R+ и такое, что а (|) = Это множество £ будем называть собственным множеством отображения а,

Собственное число отображения а на П„ является соб ственным числом этого отображения на Пп. Это позволяет, в частности, называть собственный компакт собственным множеством.

2. Собственные числа отображения а на Щ . Для того, чтобы доказать существование собственного компакта

128	М О Д Е Л Ь	Н Е Й М А Н А — Г Е Й Л А	[ГЛ . I I
у отображения а ЕЕ Ап,		воспользуемся принципом непо

движной точки Щаудера, который формзмгаруется следую щим образом.

П р и н ц и п Ш а у д е р а . Оператор Ъ, определен ный на выпуклом компакте Я в нормированном простран'

стве X, отображающий		Я в себя и непрерывный, имеет
неподвижную	точку (т. е. найдется элемент я ЕЕ Я,		для
которогох =	Ъ (х).)
Доказательство см. Канторович и Акплов [1].
Кроме того, нам понадобится
П р е д л о ж е н и е		7 . 1 . Отображение а ЕЕ Ап	не
прерывно.

Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу предложения 3.10 достаточно показать, что а полунепрерывно снизу. Пусть

х ЕЕ R+, у ЕЕ а (х). Не умаляя общности, считаем, что х =j=0 (ъ противном случае наше утверждение очевидно).

Возьмем последовательность (xh)			элементов		конуса	R+,
стремящуюся к х, и положим
				4
	и* = шах {(х \| \лх ^ хк}			= пцп — - .
Так как xh	->• х, то jx^- —> 1. Поскольку отображение а нор
мально, то	оно возрастает, и потому а (\1кх) = и^а (х)					CZ
CZ а (хк). Положим ук =		\.1ку. Из сказанного следует, что
Ук 6ЕЕ а (хк)	и г//с-> у. Тем самым полунепрерывность снизу
отображения а, а с ней и непрерывность доказаны.
Т е о р е м а 7.1. Отображение				а ЕЕ Ап	имеет соб
ственный компакт.
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Через	Л£	обозначим	полулинейное

пространство всех монотонных сублинейных функционалов, опре деленных на конусе ( Л " ) * . (Иными словами, Р^ = Рт ((Л")*) . )

• В дальнейшем мы отождествляем функционал р £= Р£ с его следом на

множество	= ( Л " ) * f) S*,	где	S * — единичная сфера	про
странства ( Л п )	*. (По поводу такого отождествления см. стр. 69.)
Полулинейное	пространство	всех следов на iS* функционалов р g=
6= Р^ обозначим тем же символом			что и исходное пространство.
Множество Рсп	можно рассматривать как выпуклый конус в прост
ранстве С (i1 *)	всех непрерывных		функций, определенных на	5 * .
Нетрудно проверить, что конус Р °			замкнут в С (iS1*). Из теоремы 2.6

С П Е К Т Р А Л Ь Н А Я Т Е О Р И Я	О Т О Б Р А Ж Е Н И Й	129
следует, что отображение %: U —> ри	(где р„ : / —> max	/ (х)) явля-

ется алгебраическим и порядковым изоморфизмом полулинейного пространства П£ и конуса в силу предложения 3.9' отображение % является изометрией. (Мы считаем, что в пространстве ц£ введена

метрика Хаусдорфа.) Отметим еще, что отображение				сопоставля
ет функционалу р ЕЕ Рп	множество	U*	всех его положительных
опорных.
Рассмотрим отображение а, фигурирующее в условии теоремы.
Так как а суперлпнейно	и нормально,		то а (£) ЕЕ П° для любого
компакта £ (и, в частности, для I; Е : П ° ) . Через а обозначим отобра
жение конуса Р£ в	определенное формулой а. =			Х а Х - 1 - Иными
словами, для p E ? J
	а{р) = р	+	•

Так как % является линейной изометрией, то для доказательства теоремы достаточно проверить, что оператор а имеет неотрицатель

ное собственное число.

Пусть / ЕЕ •S'+i / ^> 0. Положим

Q={PePn\P (/) = !)•

Множество Q выпукло и замкнуто. Покажем, что это множество

ограничено. Так как / ^> 0, то найдется столь большое положитель ное число X, что конусный отрезок <0, Xfy = (Xf — (/?")*) |~] (-Я+)* содержит множество >У*. Для р ЕЕ ® имеем (учитывая, что р — мо нотонный функционал)

||/>||=supi>(g)< sup p(g) = р (Xf) — Хр (/) = Я,

откуда и следует ограниченность £2.

Множество х - 1 (&) ограничено в П° ; в силу теоремы Бляшке это

множество компактно. Отсюда следует,			что и множество	Q	=
= Х(Х- 1 W )	компактно.
Для р Е= £2 положим
	Ъ (р) =	р + а (р),	ч .	(7.2)
	W	1 + а ( ? ) ( / )		V	;
Так как Ъ (р)	(/) = 1 (р ЕЕ	то оператор Ь, определенный формулой

(7.2), переводит й в себя. Из предложения 7.1 следует, что оператор а непрерывен, а потому и Ь непрерывен. Применяя принцип непо движной точки Шаудера, найдем неподвижную точку оператора Ъ, т. е. элемент р ЕЕ й, для которого Ь (р) = р. Из определения b

5 В. Л . Макаров, А.\М. Рубинов

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3413 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20233.42 Mб7Макареня, А. А. Александр Александрович Байков.pdf
#
23.10.20238.39 Mб67Макаров Г.В. Уплотнительные устройства.pdf
#
25.10.202316.68 Mб32Макаров Е.С. Изоморфизм атомов в кристаллах.pdf
#
23.10.202327.11 Mб18Макаров, А. Д. Износ инструмента, качество и долговечность деталей из авиационных материалов учебное пособие.pdf
#
22.10.202314.98 Mб12Макаров, В. А. Теоретические основы телемеханики.pdf
#
22.10.202311.97 Mб13Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия.pdf
#
29.10.20231.69 Mб34Макеев Ф.Я. В помощь маляру.pdf
#
22.10.202310.52 Mб59Макиенко, Н. И. Производственное обучение слесарей механосборочных работ метод. пособие.pdf
#
23.10.202319.57 Mб603Макиенко, Н. И. Слесарное дело с основами материаловедения учебник.pdf
#
29.10.20234.92 Mб26Маковецкий П.В. Радиотехнические методы измерения скорости учебное пособие.pdf
#
20.10.20238.14 Mб89Макогон, Ю. Ф. Гидраты природных газов.pdf