книги из ГПНТБ / Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия

110

М О Д Е Л Ь

Н Е Й М А Н А

— Г Е Й Л А

[ГЛ .

И

П р и м е р

2. Рассмотрим модель

Неймана Z, где Z —

конус

в ^ Х

R*,

являющийся конической

оболочкой

следующих

про­

цессов:

Vi)

—

( 2 e i

+

е2,

9в! +

6е3 ),

(х2 ,

у2)

==

(е2

+

2е3 , ех +

6е2 ),

(*з. Уз) =

(2 ез

+

2 e i +

4ес , 4ех

+

е2 +

4е3

+

4е* +

2е5),

(х4 ,

i/j) =

(е2

- f

4е3

+

4е4

2е5 > ех

+

4е3

+

2ец

+

4е5 ),

(*5>

Уь)

=

( 2 «i

+

2«4, в4 +

е6 ),

(го,

уй)

—

(е2

+

2е6 ,

е3).

(Здесь

е\ обозначает i-й орт пространства

R5

(i =

1,

2, . . .,

5).)

Опишем все состояния равновесия этой модели. Для этого

найдем ее темпы роста. Если а — темп роста модели Z, то неравенсг-

во ах

<

у

должно иметь решение хотя бы при одном (х,

у)

(Е

Z\

\

{0}. Поскольку

элементы

(х,

у)

конуса

Z

имеют

вид

(х,

у)

=

6

=

2

(XU

Vi)

(г Де

^

0 (£ =

1, 2,

. . .,

6)),

то векторное нера-

i=l

венство ах <

у

записывается в координатном виде как

следующая

система

(А)

скалярных

линейных

неравенств:

(h

+

а ( 2 ^ +

2ХЪ)

<

6A,2

+К

+

4А3

+

%i,

(Ах)

а

h

+ hi

+

h)

<

- f Xs,

(A

)

2

a

{2X2

+

2X3

+

4X4) <

GXj,

+

4Я.3

+

4X4

+

XB,

(A3)

a

(2X3

+

4Я4 +

2ХЪ)

<

4Я3

+

2Xi + X5,

(A4)

а

(4Я3 +

2Xi

+

2Xa)

<

2X3

+

4X4

+

Хъ.

(Аъ)

Таким образом, если а

— темп роста модели, то система нера­

венств (А)

должна

иметь хотя бы одно ненулевое

положительное

решение.

С другой стороны, число а

должно

обладать

тем

свойством,

что при некотором р i> 0

неравенство' р

(у)

^

а

р

(х)

имеет

место

для всех (х,

у)

£Е Z. Справедливость

этого неравенства

достаточно

проверить

лишь

на образующих

((х{, !/{))|=1

конуса Z . Итак,

если

а

— темп роста модели Z, то имеет ненулевое положительное реше­

ние следующая

система

(В):

9р* +

6 ^ <

a

(2pi +

р2),

(Вг)

р* +

Ър2

<

а

(р2

+ 2рЗ),

(В2)

i f

+

Р 2

+

4

р

з

+

i p i

+

2

р\

< « ( 2 ^ +

2 ^ + 4 ^ ) ,

(В

)

3

pi

+

i p

s

+

2р*

+

кр\

<

а

(р2

+

Ар»

+

bp*

+

2р%

(Д4 )

pi

+

p*^a

(2?

+

2 У ) ,

( Д . )

р3

<

а (р2

+

2f).

(Д0 )

Нетрудно убедиться в том, что система (В)

не имеет решения

*)

при а <

1 (для этого достаточно сложить неравенства

(Д3 )

и

(Bi)).

Обратимся теперь к системе (А).

Непосредственным подсчетом про-

§ 6]

Т Е М П Ы

РОСТА

М О Д Е Л И

Н Е Й М А Н А —

Г Е Й Л А

111

вернется, что эта система имеет решение при а

=

1. (Ниже приве­

дены все решения этой системы в данном случае.)

Предположим

теперь,

что

эта система имеет решение [Х1:

Xj, Я.3, Xt,

Х5, Хв)

при

а >

1.

Складывая

неравенства

(At)

и

( Л 5 )

, убедимся, что в этом

случае

Х3

=

Х4 =

%ъ

=

Х$ =

0.

Используя

это обстоятельство,

преобразуем

систему (А)

в следующую систему (А')

(относительно

переменных

Ях и Я.2):

2аХг

<

9 ^ +

%2,

(А[)

аХх

-f-

aXj, <

6 ^ ,

( 4 2 )

2 c d 2

<

6ХХ.

Ид)

Заметим,

что

A,j ф

0.

(В

противном

случае

из

(Аа)

следует,

что

г,

Я2 =

0, а

это

невозможно, поскольку

^

>

0-) Тагам же овра­

г у

зом, привлекая (А2),

можно показать, что Х2

Ф

0- Разделив неравен­

ства (AJ,

(А'2)

И (А3)

на Я-! и исключая отношение A,2/^i из получен­

ной

системы,

придем к следующей системе неравенств относитель­

но а:

а ( 2 а - 9 ) < 3 ,

" б Т Г 7 < 3 .

(6.9)

Решая

систему

(6.9),

получим,

что среди чисел,

больших

еди­

Пусть Ш Е ( 1 , 3). Предположим, что это число является тем­

пом роста модели, и пусть а —

(а, (Я,

у),

~р) —

состояние

равнове­

сия

с темпом роста

а. Напомним,

что по

определению

состояния

равновесия р

(у)

> 0. (Иными словами,

найдется

хотя

бы

один

индекс

£ (1 <

i

<;

5), при

котором р{

>

0, у1

>

0.) Пусть

(ж,

у) =

с

=

^

^1 ixU

у\)-

Так

как

a >

1,

то

Х3

=

А"4

=

Хй

=

~Хв

=

0, и

H a l o ­

i

d

му

у

=

Хм

+

~Х2

у2

= (9\

-f- Х2)

ег

+

бХ2е2

+

6Х\е3.

Таким

обра­

зом,

г/4

=

jf* =

0. С другой стороны, складывая неравенства

(Вг)

и (6 2 ) и учитывая, что a <

3, убедимся в справедливости

равенств

Pj

=

р 2

=

р3

=

0. Мы показали, что £ (£) =

0;

стало быть,

наше

предположение

было неверным, т. е. среди

чисел

из

интервала

(1,

3) нет

темпов роста.

Покажем теперь, что числа a =

1 и a

=

3 являются темпами

роста модели, и опишем все состояния равновесия,

отвечающие

этим темпам.

1) Пусть

a

=

1.

Нетрудно

проверить,

что при

a

=

1 система

Рассмотрим теперь систему (А).

Из неравенств (At) ж (Аъ) при a = 1

следует, что Ха = 0; 2XS = 2Х&

+ Х§; используя это обстоятельство,

112

М О Д Е Л Ь

Н Е Й М А Н А

— Г Е Й Л А

[ГЛ .

I I

систему

(А)

можно

переписать в рассматриваемом

случае

следу­

ющим образом:

1

Я1 ^

5Яг +

~~2~ Яв,

А

Я2 <

ЗЯ1 +

Xi + —

Я5,

J>

(6.10)

2Я., +

Я5

=

2Хз,

Яв =

0.

в

Система

(6.10)

имеет

решения. Пусть

(.г, у)

=

^

(xii

т),

где

i=l

(Я^

Я2 ,

. . .,

Яй) —

решение

системы (6.10). Тогда

если Я3

- f Я4 +

+

Я5

>

0, то р

(у)

>

0; в противном случае р

(у)

=

0. Таким обра­

зом,

число а

=

1 является темпом роста модели; состояния

равно­

б =

(1. (*, ~А

р),

5

где

р =

(0,

0,

0, р.,

\\)

(и. >

0);

(S,

у)

=

^

Я* (г{ , де),

где

числа

Ях ,

Я2,

. . .,

Я5

являются решением

системы

Я1 ^

5Яа -|- —Я5,

1

Яг <Г, ЗЯ1 +

Я< -(- ~~2~Xs,

2Xt +

Я5

=

2Яз,

0 <

Яз +

Я4 +

Яб.

2) а =

3. Как было показало выше, решение (Ях ,

Я0) системы

(А)

в случае, если а >

1, обладает тем свойством, что Я3

=

Я4

=

Я5

=

= Я а = 0 ; при этом числа Х1 и Я, удовлетворяют системе (А'),

решения­

ми которой

в нашем

случае "(а =

3) являются пары чисел (Я1 ; Я2 )

такие, что Ях

=

Я2 . Таким образом, если а

=

3 —

темп роста

и про­

цесс (х,

у)

входит в состояние равновесия, отвечающее этому темпу,

то

(г,

у)

=

Я (2ex +

2е2 +

2е3 ,

1 0 в 1

+

6е2

+

6е3 )

(где

Я >

0).

Рассмотрим теперь систему (В)

при а =

3. Из неравенств (В{)

и

(В2)

сразу следует, что р1

=

0; р"1

=

2 />3. Используя это обстоятельство,

ми системы (В)

при а

= 3 тогда и только тогда, когда

= 0, £ г

=

= 2р3,

ръ

^ 5pi;

при

этом

(у)

> 0 в том и только том случае, ког­

да р3

>

0.

Таким образом, число а

=

3 является темпом роста модели

Z .

а =

(3, Я ( 2 в 1 +

2е2 + 2е3 ,

Юг,. + 6е2 +

6«3 ),

(0,

2 v, v, х ,

со)),

(6.11)

где Я > 0, v >

0, 0 < со <

5 х .

§ 6]

Т Е М П Ы РОСТА М О Д Е Л И Н Е Й М А Н А — Г Е Й Л А

ИЗ

Мы описали все состояния равновесия модели Z . Заметим, что

когда а — состояние равновесия модели Z,

где Z

— конус, натяну­

тый иа пары (xit i/i) (£ =

1, 2, 3, 4, 5).)

Отметим еще, что темп роста а = 3 модели Z

является и нейма­

новским темпом роста а

(2) этой модели. В

самом деле, три — это

мановский процесс модели Z

единствен

(с точностью до множите­

ля)

и

совпадает

с парой (хг

-\- х2,

уг

-\-

у2).

. П р и м е р

3. Пусть / —

строго вогнутая функция, определен­

ная

на

[0, -f- оо) и такая, что / (0)

=

0,

l i m

/ (х)

= 1.

В конусе

R^XR\

К-*+оа

(u-\-i,X)),

рассмотрим множество Й, состоящее из пар ((u.,1),

где

м ^ О , А , < / ( ц ) . Очевидно, что

Q

выпукло.

Конус Z, совпа­

дающий с замыканием конической

оболочки

Со (£2) множества Q,

посредственно проверяется, что кроме

лучей

(u.z)^> 0 ,

где

z €= Q,

конус Z

содержит лишь луч, проходящий через точку ((1, 0), (1, 0)).

Найдем

неймановский темп роста модели Z.

Пусть

(х,

у) €Е Z,

(х, у) =

((и, 1), ( и +

1, %)). Тогда

а(х,

/ " +

1

\

y) = m i n \ — —

,

%] = %.

потому Я . < / ( и ) < 1 . Если же (х,

у)

=

((1, 0), (1, 0)), то а (х, у) = 1.

Итак,

a (Z) = max а (х,

у)

= 1.

При этом модель Z имеет единственный (с точиостыо до множителя)

неймановский процесс

((1, 0), (1, 0)).

Предположим, что а =

(а, {х,

у),

р)

является состоянием равно­

весия модели Z . Рассмотрим отдельно два случая, в зависимости от

того, совпадает

(х, у)

с

неймановским

процессом или нет.

1) Я У) =

( ( й , 1 ) . ( «

+

1,

U )

(где

5 > 0 , 0 < £ < / ( « ) ) .

ности, следующие

неравенства:

ай <

й +

1,

а < 1 ;

(6.12)

р1

(и +

1) +

p"-f (и)

<

ори

+

ар-

(и >

0).

(6.13

Из (6.12)

следует,

что

а <

1,

н

потому

/ (ц) ;> а

при

достаточно

больших

и.

Переписывая

(G.13)

в виде

(1 - a)

phi

+

JP- <

f-

(а -

}

(и))

( и >

0),

,

убедимся в том, что это неравенство возможно лишь при р1

= р = 0,

114

М О Д Е Л Ь Н Е Й М А Н А — Г Е Й Л А

[ Г Л . I I

« <

1,

(1 -

а) рЧ +

p i < p z ( a - f

(и))

(и > 0),

(6.14)

Р (V) = Р1 >

0.

(6.15)

Выше уже отмечалось, что случай а <

1 невозможен. Пусть а = 1.

Тогда, в силу

(6.14),

Р1 < Г (1 - / М )

( и > 0 ) .

Переходя в этом неравенстве к проделу, получим, что р1

= 0, а это

противоречит (6.15).

модель Z

не

имеет

темпов

роста.

Мы показали, что

3. Неймановское

состояние

равновесия.

Из

результа­

мановского

темпа роста.

П р е д л о ж е н и е

6.3. Пусть Z — модель Нейма­

на — Гейла

(Z CZ R+

X

R+).

Тогда найдется функционал

р ] > 0 такой, что для всех (х, у) ЕЕ Z

р

(у)

^ a

(Z)

р (х)

(6.16)

(где a (Z) — неймановский темп

роста модели

Z).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим

в пространстве

Rn

множество

С =

[у

— a

(Z)x \ (х,

у)

ЕЕ Z).

Так

как

Z — выпуклый конус, то и С является выпуклым конусом.

Из

определения

неймановского темпа

роста следует, что

С f j i n t i?+ = 0 ,

и

потому

существует

функционал

р

такой, что ~рф0

и

max p(z)

= 0 =

m i n р

(и).

z ec

u e

R n

1)

конус

Z

многогранен

(;?г.

е. Z — модель

Неймана),

2)

существует неймановский процесс (х,

у) такой, что

у^>0.

Тогда

модель Z обладает неймановским состоянием

равновесия.

Пусть а — a, (Z), (£, у) —

Д о к а з а т е л ь с т в о .

неймановский

процесс, у которого Тх

ZD Ix, Iy

ZD Iv

для

любого неймановского процесса (х, у).

Рассмотрим множе­

ство

Vt CZ Rn

X Rn

X R1,

состоящее

из

всех

векторов

вида

(—ах,

у, 0)

(где (х,

у) £= Z), всех

векторов

вида

(у, —ах, 0) ((х, г/)е=2) и вектора (Q,—aZ,

1). Через V обозна­

X R+ X Rl).

Нетрудно

проверить

что

(и,

v,

u.) £Е V

тогда

и только тогда, когда

(и,

v, р) =

(ии

г>1,

ц3 )

+

(и2,

гл>, р2 )

+

X (и3,

v3, p,3 ),

где

иг

<

—ахг,

vx <

уи

рх <

0,

и3

<

у», v2 <

— ах2,

и2

<

0. и3

^

0, vh

<

—ах,

и3

<

1, X >

0 (здесь (хи

г/0

и

(ж«, г/о) — процессы модели

Z).

Сформулируем

теперь задачу

(Д) выпуклого програм­

мироваиия:

максимизировать

а при условии

(—as,

0, и,) Е= V.

Найдем решение этой задачи. Если

(—ах,

0, p.) ЕЕ V,

то, как следует из сказанного выше,

—аЖ =

щ -f- u 2

+

k u 3 ,

0 = г>! +

г;2

+

Xv3,

Р> =

И-1 +

u.a

+

Xii3,

причем для некоторых

процессов

(х1 т у0 и (х2 , у2 ) из Z

выполняются

неравенства

^

—ахи

щ <^ г/г,

ий ^

0,

иг

^

уи

гл, ^

— ах2,

vs

^

—aS;

кроме

того,

|д,х

0,

р 2

р,3

^

1, ?>« >

0. Таким образом, процессы (хг,

ух),

(х2,

у2)

и числа X, [л удовлетворяют неравенствам

—as

—axj. -f- у2 , Лая ^ ?/i — аж2,

p, ^

X.

(6.17)

тем

свойством, что

при

некоторых

(хи

ух),

(ж,, у2 ) ЕЕ Z

имеют место неравенства

(6.17).

Если X = 1, то эти неравенства

справедливы (напри­

мер,

для процессов

(хх,

yr) = (s, у),

(х2,

у2) — (0, 0)).

а (хх +

ж2) ^ а

(А, — 1)5 + а

(жх +

ж2) ^

ух -\-.у2.

(G.18)

откуда

следует,

что процесс

(хх

ж,, у2

-f- у2 ) —

нейма­

S>v(x1

+ xl).

(6.19)

Объединяя (6.19) и (6.18), имеем

Ух + У» > а (1 +

v (А, — 1)) (жх +

ж2 ),

равно 1. Это означает, что точка

г>0 = {—as, 0, 1) лежит

на границе выпуклого телесного

конуса V.

Последовательность

({xh, ук))

элементов конуса

Z

назовем неймановской,

'Л

Введем

в

pac­

если min—:—>а.

ker

х\

к-

смотрение множество

индексов

Iz

CZ

Номер

i ЕЕ Iz

довательность ((xh,

yh))

такая, что у\ ^> 0 (k

=

1, 2, . . .).

Пусть Z — модель Неймана — Гейла-

Конус

Z поро­

ждает конечную

последовательность

конусов

Zu

Z 2 , . . .

. . ., ZJV следующим образом. Положим

Zx

— Z,

обозна­

чим

Д + =

1\.

Таким

образом,

Zx

C Z Га

X Гх ;

если

Iх

=

Izt

=

I,

то процесс окончен; если I1

=j= I,

то рассмо­

трим грань Г2 конуса R+, натянутую

на орты с номерами

из 1\Г1,

и определим Z 2

как проекцию конуса Zx

на грань

Г2

X Г2

конуса

R+ X

Если

П

=

Iz,=

то

процесс окончен; в противном случае рассмотрим

грань

Г 3

конуса

R+,

натянутую

на

орты

с

номерами

из

U

-^2)> и

обозначим через Z 3

проекцию Z 2 на грань

Г3

X Г 3

конуса Rl

X i??. Если

Р

=

IZi

ф

U

'2 )>

то строим конус Z 4 и т. д. Этот процесс закончится на не­

котором шаге

N.

В результате у

нас построены конусы Z v

и множества

индексов

Iv

[у

= 1, 2, . . .,

N),

причем

I"

== 7z„,

N

7V

П

7 V ' =

ф (v =f= v'),

U I"

=

I-

Через

ccv

обозначим

v=l

ук ^> 0 для

V

если v = N, то у1 ] > 0

scea; i Е U

для

есех i ЕЕ I.

ii=i

Д о к а з а т е л ь с т в о .

1) Пусть ((xf t ,

— ней­

мановская

последовательность элементов

конуса

Z v