книги из ГПНТБ / Макаров, В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия

непосредственно следует, что функционал я|), определяющий ото­

=Л + ,

«2^ +

Г Л А В А I I

МОДЕЛЬ НЕЙМАНА - ГЕЙЛА

В настоящей главе вводится в рассмотрение и изучается основная модель экономической динамики, частный случай которой был предложен Дж. фон Нейма­ ном еще в 1937 году (см. Нейман [1]). Мы называем эту модель моделью Неймана — Гейла, поскольку Гейл [2] сделал естественное и, в некотором смысле, максимально возможное обобщение первоначальной конструкции Ней­ мана.

Модель Неймана — Гейла изучается также в последую­ щих главах, кроме того, она является важной составной частью более общих моделей экономической динамики, и результаты, полученные для нее, используются для иссле­ дования других моделей.

§5. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ Н Е Й М А Н А — Г Е Й Л А

1.Определение модели Неймана — Гейла. В этом па­ раграфе строится модель Неймана — Гейла, в частности, указываются основные экономические предпосылки, за­ ложенные в эту модель, и обосновывается стандартная фор­ ма модели.

Будем предполагать на протяжении всего параграфа, что число «продуктов» в экономической системе, а также число «районов», в которых эти продукты могут находить­ ся, конечно. Время, в котором действует система, дискрет­ но, т. е. временная переменная t может принимать лишь значения 0, 1, 2, ...

Слово «.продукт» взято в кавычки, потому что продукты понимаются в математических моделях экономики в обоб­ щенном смысле. В множество «продуктов» входят не толь­ ко продукты в обычном смысле слова, но и виды трудовых и природных ресурсов, виды фондов, услуги, разного рода условные «продукты» (например, «продукт», количество

которого измеряет эффект от потребления какого-нибудь другого продукта) и т. д.

Втеории моделей экономической динамики изучаются

восновном траектории движения экономики в фазовом пространстве, иногда называемом пространством «про­ дуктов».

Состояние экономической системы в некоторый момент времени описывается количествами всех «продуктов», имеющихся в этот момент времени в системе, с указанием,

тами, размерность которого равна произведению числа «продуктов» на число районов.

Очевидно, что, вообще говоря, технологически возмож­ ны различные траектории движения экономической систе- / мы, начинающиеся в одном и том же состоянии. Иначе говоря, последующее состояние экономики неоднозначно определяется предыдущим с помощью технологических возможностей. Это означает, что возможности перехода из состояния в состояние в моделях экономической дина­ мики задаются с помощью некоторого точечно-множест­ венного отображения а. А именно, если в некоторый мо­ мент времени состояние экономики есть х, то а (х) пред­ ставляет собой множество состояний, в которые экономика может («способна») перейти в следующий момент времени; иными словами, отображение а определяется всеми «про­ изводственными» возможностями экономической системы. Слово «производственные» взято в кавычки, так как здесь имеются в виду, естественно, не только чисто производ­ ственные, но и потребительские, транспортные возможно­ сти, а также возможности сферы услуг, воспроизводство трудовых ресурсов и т. п. При рассмотрении экономики, функционирующей в непрерывном времени, интерпрета­

допустимых траекторий, определяемых отображением а, также являются объектом изучения (см. гл. I l l , I V ) .

Как правило, точечно-множественное отображение а, задающее «производственные» возможности экономиче­ ской системы, предполагается суперлииейиым. (Точнее говоря, а ЕЕ А (К, R"), где К с R+.) Это обстоятельство является, в основном, оправданным; иными словами, мож­ но считать, особенно для крупноагрегированных моделей, что суперлинейность приближенно выполняется в реаль­ ных экономических ситуациях. Действительно, суперадди­ тивность означает, что от объединения ресурсов можно только выиграть в смысле богатства «производственных» возможностей. Требование а (0) = {0} выражает закоп сохранения, согласно которому «из ничего нельзя полу­ чить нечто». Полунепрерывность сверху, т. е. замкнутость графика Z отображения а, также представляется вполне естественным требованием, ибо точки (х, у) ЕЕ Z интер­ претируются как возможные «производственные» процессы по переработке наборов «продуктов» х в наборы у. По­ этому замкнутость множества всех имеющихся в эконо­ мике процессов выступает как чисто математическое тре­ бование, не противоречащее экономической сути дела.

Условие а (К) f] i n t R+фф имеет простой экономи­ ческий смысл; оно означает, что в нашей экономической системе каждый «продукт» может быть «произведен».

Единственное требование, которое может вызывать и вызывает серьезные возражения, это положительная одно­ родность первой степени отображения а. Экономически оно формулируется как требование независимости от мас­ штаба.

Требование однородности достаточно хорошо исследо­ вано в чисто экономической литературе. Описаны эконо­ мические условия, при которых оно может не выполнять­ ся, и т. д. С точки зрения математического анализа моде­ лей экономической динамики требования однородности и супераддитивности в некоторых случаях могут быть заме­ нены требованием вогнутости. Дело в том, что вогнутым отображениям а можно сопоставить суперлинейные ото­ бражения а так, что основные свойства отображений а и а совпадают. Подробно см. об этом в § 11 .

Требование вогнутости вытекает из известного в эконо­ мической науке закона о «падении эффективности с увели­ чением объема». Этот закон и различные его следствия

матрицу порядка п, можно сказать, что модель Леонтьева совпадает с моделью Неймана, определяемой парой ма­ триц А и /. Модель Леонтьева описывает экономическую систему, в которой число «продуктов» совпадает с числом базисных процессов, причем каждый из этих процессов выпускает только один «продукт».

Некоторым обобщением модели Леонтьева является так называемая модель Неймана — Леонтьева (см. Моришима [2]), которая определяется парой прямоугольных ма­ триц А и Б, причем В имеет вид

Вэтой модели, как и в модели Леонтьева, каждый ба­ зисный процесс производит только один «продукт», одна­ ко, вообще говоря, один и тот-же «продукт» может произ­ водиться разными процессами.

Влитературе рассматриваются и другие частные слу­ чаи модели Неймана — Гейла; мы, однако, не останавли­ ваемся на их описании.

Модель Неймана — Гейла естественным образом обоб­ щается на случай, когда отображения, описывающие «производственные» возможности, изменяются со време­ нем и изменяется также номенклатура продуктов, т. е. размерность пространства, на котором определено отображение и соответственно в которое оно действует. Получающаяся при этом модель называется моделью типа Неймана — Гейла. (В случае когда соответствующие ото-

Подробнее об этом см. Морипшма [2].