книги из ГПНТБ / Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие

Г Л А В А 2

ПРИКЛАДНЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Теория марковских процессов с дискретными ординатами и не ­ прерывным временем является теоретической основой для исследо­ вания функционирования большого класса систем массового обслу живания. Каждая из таких систем имеет определенное число п (л > 1) приборов обслуживания и т (т ^ 0) мест ожидания. Тре­ бования в систему поступают в произвольные моменты времени, образуя один или несколько входных потоков. Иногда требования поступают группами определенного или случайного состава. В боль­ шинстве систем любое требование обслуживается одним прибором, но существуют также системы, в которых каждое требование обслу­ живается группой приборов. При наличии нескольких входных по­ токов возможна различная организация обслуживания требований из отдельных потоков. В общем случае требование остается необслуженным вследствие непопадания в систему из-за ее занятости, а также при уходе из очереди, не дождавшись начала обслужива­ ния. Могут быть и недообслуженные требования, если работа си­ стемы организована так, что требования могут покидать систему

впроцессе их обслуживания.

Внастоящей главе рассматривается функционирование различ­

ных систем массового обслуживания. Предполагается, что все по­ токи требований простейшие стационарные, а время обслуживания любого требования является случайной величиной,- имеющей пока­ зательное распределение. При таких условиях применительно к каждой системе массового обслуживания получается система дифференциальных уравнений для вероятностей различных состоя­ ний. Производится интегрирование некоторых систем дифференци­ альных уравнений. Определены предельные вероятности состояний каждой системы. Для различных показателей эффективности функ­ ционирования систем массового обслуживания получены расчетные формулы. Теоретический материал иллюстрируется примерами.

80

{, II. ТИПЫ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ. ВРЕМЯ ОБСЛУЖИВАНИЯ ТРЕБОВАНИЯ

Каждая система массового обслуживания состоит из определен­ ного числа п обслуживающих единиц, которые принято называть приборами или каналами обслуживания. Если п = 1, то система на­ зывается одноканальной, а при п > 1 — многоканальной. Обычно количество п обслуживающих приборов в системах массового обслу живания ограничено. Однако в некоторых случаях их число на­ столько велико, что при теоретических исследованиях можно счи­ тать п — со . В этом случае говорят о системе массового обслужива­ ния с неограниченным числом обслуживающих приборов (каналов).

Любая система массового обслуживания предназначена для об­ служивания поступающих в нее требований (заявок), последова­ тельность которых принято называть входным потоком. В дальней­ шем будем предполагать, что в систему массового обслуживания поступает простейший стационарный поток требований (см. § 6). При этом случайные промежутки Тх (у— 1, 2, ...) между поступ­ лениями отдельных требований являются независимыми случай­ ными величинами, имеющими одно и то же показательное распре­ деление с параметром X. Данный параметр, называемый интенсив­

ностью потока требований, связан с математическим ожиданием tx случайного промежутка Тх между поступлениями отдельных требо­

ваний равенством Х = — и совпадает с математическим ожиданием tx

числа требований, поступающих в систему 'массового обслуживания в единицу времени.

Анализ функционирования систем массового обслуживания про­ изводится в предположении, что при наличии хотя бы одного сво­ бодного прибора обслуживания соответствующего типа очередное поступающее в систему трЬбование сразу начинает обслуживаться. Если требование поступает в систему при наличии нескольких сво­

должительность обслуживания требования в общем случае зависит от числа уже обслуженных требований, от времени обслуживания каждого из них, от интенсивности поступающего потока п от дру­ гих факторов.

Обозначим через Т{ время обслуживания /-го из поступивших на обслуживание требований ( / = 1 , 2, ...) и будем предполагать, что продолжительность обслуживания каждого требования не зави­ сит от интенсивности их поступления. Тогда обслуживание в целом считается заданным, если заданы законы распределения систем слу­

независимы в совокупности и имеют один и тот же закон распреде­ ления. При этом полной характеристикой обслуживания в целом является функция распределения F(t) = P( Т. < t ) случайной ве­

личины Т\ . Независимость данной функции от индекса / означает,

что все приборы обслуживания однотипные, т. е. имеют одинаковые характеристики.

Время Ту. обслуживания любого требования может быть распре­ делено по различным законам. В частности, оно может быть неслу­ чайным,. тогда функция распределения для Ту. записывается в виде

Иногда время обслуживания не может быть меньше некоторого неслучайного значения ^о- Например, при обслуживании потока те­ леграмм всегда затрачивается определенное время на передачу за­ головка. В этом случае время обслуживания можно представить в виде суммы неслучайной и случайной составляющих. Наиболее часто время обслуживания является случайным. Закон распределе­ ния случайной величины Ту. может быть, например, равномерным, усеченным нормальным, показательным, эрланговским или какимлибо другим. В приложениях наиболее часто принимается, что слу­ чайное время обслуживания любого требования имеет показательное распределение с параметром р, когда

Математическое ожидание времени обслуживания каждого требова­ ния при этом связано с параметром р равенством

убывает тем быстрее, чем больше параметр р. Это говорит о том, что основная масса требований обслуживается быстро. Данное свой­ ство используется как гипотеза для проверки возможности аппро­ ксимации действительного закона распределения времени обслужи­ вания каждого требования показательным законом.

В некоторых случаях время обслуживания каждого требования распределено по закону, сильно отличающемуся от показательного. Однако расчеты показывают, что вероятностные характеристики функционирования систем массового обслуживания относительно

82

слабо зависят от вида закона распределения случайной величины 7'11 и определяются в основном через математическое ожидание вре­

мени обслуживания 7^ ). Вследствие этого время обслужи­ вания любого требования принимается распределенным по показа­ тельному закону с параметром р,, значение которого находится

времени обслуживания любого требования.

Широкое использование показательного закона распределения для времени обслуживания каждого требования и для промежутков времени между поступлениями отдельных требований в простейшем потоке объясняется тем, что при этом существенно упрощается аппарат исследования, так как для анализа функционирования си­ стемы массового обслуживания используется теория марковских процессов с дискретными ординатами и непрерывным временем. Искомые вероятностные характеристики находятся как решение си­ стемы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициен тами, а вероятностные характеристики для установившегося ре­ жима — из алгебраических уравнений.

Известно, что при показательном законе распределения проме­ жутков времени между поступлениями отдельных требований закон распределения случайного времени ожидания поступления очеред­ ного требования не зависит от того, сколько времени прошло после поступления предыдущего требования, т. е. нет зависимости от предыстории. Закон распределения оставшегося времени обслужи­ вания при показательном законе распределения не зависит от того, сколько времени обслуживание уже продолжалось. Использование этих свойств часто упрощает исследование функционирования си­ стемы массового обслуживания.

Обслуживание требования в системе может быть однофазным или многофазным. Если требование проходит последовательно все фазы, то продолжительность обслуживания каждого требования по­ лучается в результате суммирования времени обслуживания на каждой фазе; Имеются системы, в которых многофазное обслужива­ ние состоит в том, что требование проходит лишь одну фазу обслу­ живания, выбираемую случайным образом.

Каждый обслуживающий прибор может функционировать на­ дежно или ненадежно. После выхода из строя прибор обслужива­ ния восстанавливается. Длительность его восстановления также яв­ ляется случайной величиной. Если требование обслуживается только одним прибором, то продолжительность его обслуживания совпа­ дает с временем пребывания в системе. При иной организации дообслуживание требования может производиться другим прибором. Имеются системы, в которых одно требование одновременно обслу­ живается не одним, а несколькими приборами. Примером является работа нескольких вычислителей, которые для страховки выполняют один и тот же расчет независимо друг от друга.

83

Если в момент поступления требования в систему все п прибо­ ров заняты, то это требование может покинуть систему, оставшись необслужеиным, или встать в очередь на обслуживание. В зависи­

с ожиданием и смешанные системы. В системе с отказами очереди па обслуживание нет. Любое требование, застав все приборы запя тымн, покидает систему и потому остается необслужеиным. Приме­ ром такой системы является система противовоздушной обороны объекта, в которой время пребывания цели в зоне обстрела мало или соизмеримо со временем, необходимым для ее обстрела. При этом воздушная цель остается «необслуженной», т. е. проходит зону ПВО беспрепятственно, если а момент ее появления в этой зоне все зенитные комплексы заняты обстрелом других целей. Система с ожиданием имеет неограниченное число мест ожидания. Любое поступившее в такую систему требование, застав все приборы заЯя тыми, встает в очередь на обслуживание. Промежуточное положе­ ние между системой с отказами и системой с ожиданием занимает смешанная система с ограниченным числом т мест ожидания. В та­ кой систем .имеется п обслуживающих приборов и ш мест ожида ­ ния. Если все приборы заняты, то вновь поступившее требование встает в очередь на обслуживание, когда есть свободные места, т. о. когда в очереди меньше т требований. В противном случае требо­ вание покидает систему и потому остается необслужеиным. При т — 0 эта система переходит в систему с отказами, а при т — оо — в систему с ожиданием.

Если требование не получает отказа сразу в момент поступле­ ния в систему, то из большинства систем выходят только обслужен­ ные требования. Однако имеются системы массового обслуживания, в которых время ожидания начала обслуживания Т.„ т. е. нахожде­ ние любого требования в очереди, ограничено. Если за это время не начато обслуживание, то требование покидает систему и остается необслужеиным. Как и время обслуживания, время 7\ ожидания начала обслуживания обычно считается случайным. Существуют также системы массового обслуживания, для которых ограничено время Т-f ожидания окончания обслуживания требования. Это время также считается случайным. В большинстве случаев принимается, что случайные величины 7\ и 7\ имеют показательное распределе­ ние с параметрами v n y соответственно.

Существуют системы массового обслуживания с определенной последовательностью обслуживания требований. Наиболее часто тре­ бования к обслуживанию принимаются в порядке их поступления в систему. Имеются системы, в которых требования к обслужива­ нию принимаются в случайном порядке. Существуют так называе­ мые системы с приоритетами, когда в первую очередь принимаются к обслуживанию требования из первого «приоритетного» потока, затем из второго и т. д. Требования из приоритетного потока вые-

84

шего ранга могут дожидаться окончания обслуживания требований из других потоков или прерывать их обслуживание. Если обслужи­ вание прерывается, то требования из потоков низшего ранга могут покидать систему, оставшись недообслуженнымп, или ожидать осво­ бождения прибора для продолжения обслуживания. Существуют и другие разновидности возможных систем массового обслуживания.

Требования на выходе системы массового обслуживания обра­ зуют выходной поток. В этом потоке в общем случае могут быть обслуженные требования, не обслуженные полностью н недообслуженные. В многофазных системах, которые состоят из последова­ тельно расположенных отдельных систем массового обслуживания, выходной поток для одной системы является входным для следую­ щей системы. Выходной поток, как правило, не простейший. Ве­ роятностные характеристики выходного потока требований для любой системы отличны от вероятностных характеристик входного потока. Для их определения необходимо знать вероятностные харак­ теристики, с помощью которых описывается функционирование си­ стемы.

§ 12. п о к а з а т е л и э ф ф е к т и в н о с т и ф у н к ц и о н и р о в а н и я

СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Полной характеристикой простейшего стационарного потока тре­

бований является его интенсивность Я = — , т. е. математическое

4

ожидание числа требований, поступающих в систему массового об­ служивания в единицу времени. При показательном законе распре­ деления времени обслуживания каждого требования полной харак­ теристикой обслуживания является параметр р, связанный с мате­

матическим ожиданием времени обслуживания 4 равенством

р = — . Численное значение времени 4) а потому и параметра р,

4

определяется с учетом качества обслуживания. Поэтому вопрос о качестве обслуживания требований в дальнейшем не рассматри­ вается. Эффективность функционирования любой системы массового обслуживания определяется не качеством, а организацией обслужи­ вания поступающих требований. Любой показатель эффективности должен каким-либо образом характеризовать уровень выполнения системой массового обслуживания тех функций, для которых эта си­ стема предназначена. Выбор показателя эффективности произво­ дится исходя из оценки качества организации процесса обслужива­ ния, надежности обслуживания любого требования, степени загрузки приборов, времени ожидания начала обслуживания и т. и. Могут использоваться также и экономические показатели эффективности. В большинстве случаев нельзя указать единого показателя, который бы полностью характеризовал функционирование системы массового

85

обслуживания. Поэтому для сравнения различных систем исполь­ зуется несколько показателен.

Введем некоторые из показателей эффективности применительно к системе массового обслуживания с п одинаковыми обслуживаю­ щими приборами. Число мест ожидания пусть равно т, причем т — 0 для системы с отказами и т = °о для системы с ожиданием. В зависимости от числа требований в системе такая система массо­

вается k требований, т. е. занято k из п приборов обслуживания. Состояние Cn+S означает, что все п приборов заняты обслуживанием и еще s требований (s = 0, 1 , ... , т) находятся в очереди, дожи­ даясь начала обслуживания.

Во входном стационарном простейшем потоке с интенсивностью X промежутки времени между поступлениями отдельных требова­ ний случайные. Время обслуживания любого требования также слу­ чайное. Поэтому функционирование системы массового обслужива­

к= 0

иполностью характеризуют функционирование системы массового обслуживания. Более полных характеристик указать нельзя. Любой показатель эффективности, характеризующий функционирование системы массового обслуживания с той или иной стороны, выра­ жается через эти вероятности и потому характеризует систему все­ гда менее полно, но, правда, иногда более наглядно.

Рассмотрим несколько показателей эффективности, которые

можно ввести при известных вероятностях Pk(t) (k — 0, 1, ...

.. ., п-\-т). Простейшими показателями эффективности являются вероятности Рo{t) и P„+m(t). Вероятность Po(t) характеризует пол-' ный простой системы, т. е. се нахождение в состоянии С0, когда свободны все п приборов обслуживания. Если требования не поки­ дают очередь на обслуживание, то при ограниченном т вероятность Рп+m (0 нахождения системы в состоянии Cn+m совпадает с вероят­ ностью отказа в обслуживании. Находящиеся в системе требования при указанных условиях будут обслужены, но вновь поступающее требование получает отказ, так как система занята полностью.

86

Зная ряд распределения, можно определить различные числовые характеристики случайной функции X{t). В частности, математи­

ческое ожидание х (t) этой случайной функции, т. е. среднее число требований в системе массового обслуживания в момент t, нахо­ дится с помощью равенства

в момент t. Ряд распределения данной случайной функции следую­ щий:

Математическое ожидание числа приборов, занятых в момент t об­ служиванием требований, рассчитывается с помощью равенства

п—1 m

среднего числа занятых обслуживанием приборов к общему их числу п называется коэффициентом загрузки приборов.

среднего числа простаивающих приборов обслуживания к их об­ щему числу п называется коэффициентом простоя, так что *np (t) =

= \ - к 3,г(0 .

87

Пусть Z(t) — число требований, ожидающих в момент t начала обслуживания, т. е. Z(t) — длина очереди. Ряд распределения этой случайной функции записывается в виде

Математическое ожидание числа требований, ожидающих в мо­ мент t начала обслуживания, находится по формуле

Так как X{t)=Y(t)-\- Z(t), то x(t) = y(t)'-\- z(t).

При анализе функционирования систем массового обслуживания наиболее часто рассматривается установившийся режим, который имеет место после затухания переходного процесса. При этом ве­

Следует отметить, что при п-\-т= со , т. е. при бесконечном числе состояний системы, равенство (12 .12 ) может не выполняться, если только коэффициенты соответствующих уравнений не удовлетво­ ряют дополнительным условиям, которые будут определены ниже.

При установившемся режиме функционирования системы массо­ вого обслуживания вероятности рк (k — 0, 1 , ... , п + т) постоянны, а потому не зависят от времени и введенные выше числовые ха­ рактеристики. Расчетные формулы (12.3), (12.5) и (12.10) для ма­ тематических ожиданий лт, у и z числа X требований в системе, числа Y приборов, занятых обслуживанием, и числа Z требований, ожидающих начала обслуживания, принимают вид:

88

Коэффициенты загрузки и простоя для установившегося режима функционирования системы

Введем дополнительные показатели эффективности систем мас­ сового обслуживания, справедливые при установившемся режиме их функционирования.

Когда время обслуживания 7ц каждого требования распределено

нии, обслуживаемых системой в единицу времени. При простейшем стационарном потоке математическое ожидание числа требований,

поступающих в систему в единицу времени, равно л. Отношение £/ц к X является вероятностью того, что любое требование будет обслу­ жено. Следовательно, вероятность обслуживания требования

где

_ X

(12.18)

~ Iх '

Пусть необслужСнные требования из системы не уходят. Тогда вероятность отказа в обслуживании

Если числа п и т ограничены, то вероятность отказа в обслужива­

все требования обслуживаются, т. е. отказа в обслуживании быть не может, а потому Р06сл = 1, /J0TK= (). Из (12.17) следует, что при этом математическое ожидание числа приборов, занятых обслужи­ ванием при установившемся режиме функционирования системы,

При этом также сп1>аведливо равенство (12.21), если только в оче­ реди на обслуживание находится ограниченное число требований; последнее условие выполняется при определенном соотношении между параметрами X н р.

89