книги из ГПНТБ / Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие

рекуррентное соотношение (26.26) можно использовать для вычис­

(1 — я^г) - 1 = 2 (aiK)k , k=0

то для вероятности рк нахождения в системе k требований из пер­ вого потока справедливо равенство

Математическое ожидание числа требований из первого потока, ожидающих начала обслуживания,

Математическое ожидание времени пребывания требования в си­ стеме

200

М а т е м а т и ч е с к о е о ж и д а н и е вр е м е н и о ж и д а н и я н а ч а л а о б с л у ж и в а ­

Математическое ожидание числа Х2 находящихся в системе требо­ ваний из второго потока можно определить с помощью равенства

Математическое ожидание времени нахождения требования из вто­ рого потока в системе

Так как математическое ожидание времени обслуживания требова-

1

ния из второго потока равно---- , то математическое ожидание вре-

\Н

201

Математическое ожидание числа обслуживаемых требований из второго потока

Чтобы найти математические ожидания tc и t0K времени пре­ бывания требования в системе и времени ожидания начала обслу­ живания (независимо от номера потока), воспользуемся формулой

и передаются так, будто линия связи существует только для их передачи. Обычные сообщения передаются при освобождении ли­ нии, причем если передача обычного сообщения была прервана, то это сообщение передается вновь сразу после освобождения линии связи. Потоки срочных и обычных сообщений независимые с ин­ тенсивностями А.1 = 0,04 l/мин и %2 = 0,09 1/мин соответственно. Среднее время передачи срочного сообщения 5 мин, а обычного —

3 мин 20 сек.

202

ГЛАВА 3

ПРИКЛАДНЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ НЕПРЕРЫВНЫХ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

Непрерывные марковские случайные процессы, т. е. марковские процессы с непрерывными ординатами и непрерывным временем, широко используются в приложениях к различным областям науки и техники. Эти процессы тесно связаны со стохастическими диф­ ференциальными уравнениями, с помощью которых описывается функционирование различных физических систем. Основная слож­ ность применения теории непрерывных марковских процессов со­ стоит в возможности получения решения соответствующего диф­ ференциального уравнения в частных производных при заданных начальном и граничных условиях.

В данной главе излагаются прикладные методы теории непре­ рывных марковских случайных процессов. Дается вывод уравнений Колмогорова, которым удовлетворяет плотность распределения про­ цесса, и устанавливается связь этих уравнений со стохастическими дифференциальными уравнениями. Рассматриваются начальные и граничные условия, которым удовлетворяет искомая плотность рас­ пределения. Природятся некоторые точные и приближенные методы решения уравнений Колмогорова, исследуются выбросы одномер­ ных марковских процессов. Теория одномерных процессов обоб­ щается для многомерных марковских случайных процессов. Рас­ сматривается возможность замены реального случайного процесса непрерывным марковским процессом.

§27. ТИПЫ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ

СНЕПРЕРЫВНЫМИ ОРДИНАТАМИ

При любом фиксированном значении неслучайного аргумента t

ные значения аргумента t, который будем называть временем, при­

204

рактеристикой этой системы является /-мерная функция распреде­ ления

ференцируемая по всем аргументам. Вместо этой функции часто удобнее использовать /-мерную плотность распределения, которая определяется формулой

В общем случае для случайной функции X (/) необходимо знать законы распределения различных порядков, т. е. функции распре­ деления (27.1) или плотности распределения (27.2) при любых значениях / ( / = 1 , 2, ...). Для приближенного описания случайной функции X(t) часто вместо законов распределения используются

только математическое ожидание x(t), дисперсия D[X(/)] и корре­ ляционная функция Для их определения достаточно знать законы распределения первого и второго порядка, так как

205

В ч а с т н о с т и , есл и п р и н я т ь io = t\, то

t . e. одномерная плотность распределения стационарной случайной функции X(t) не зависит от времени /, а двумерная плотность рас­

(27.10) и (27.11) можно получить также другие свойства различ­ ных вероятностных характеристик. Ясно, что при выполнении (27.10) и (27.11) условия стационарности (27.7) случайной функ­ ции X(t) могут не выполняться, а потому при этом X(t) может быть и нестационарной случайной функцией.

В приложениях наиболее часто используется так называемая корреляционная теория случайный функций, когда необходимо

знать только математическое ожидание x(t) случайной функции X(t) и ее корреляционную функцию Кк (¥, ¥'). Применительно к этой теории понятие стационарности расширено. Случайная функ­ ция X(t) называется стационарной в широком смысле, если ее ма­

тематическое ожидание x(t) постоянно, а корреляционная функ­ ция Кт. {¥, ¥') от ¥ и t" зависит как от разности, т. е. выполняются условия (27.10) и (27.11). Любая стационарная функция является стационарной и в широком смысле. Если же случайная функция X(t) стационарна в широком смысле, то она не обязательно яв­ ляется стационарной.

Случайная функция X{t) называется нормальной, если при лю­ бом I система случайных величин X(ti), X(t2), .. ., X{tt) нормаль­ ная. Известно, что /-мерная плотность распределения нормальной

206

Следовательно, /-мерная плотность распределения нормальной случайной функции X(t) полностью определяется через математи­

ческое ожидание x(t) этой случайной функции в произвольный мо­ мент времени / и через корреляционную функцию Кх(/', t") для любых f и t".

Если нормальная случайная функция X(t) стационарная в ши­ роком смысле, то х(^) = const, a Kx(t', t") = / ( х(т), где %= ?' — t'. В этом случае /-мерная плотность распределения полностью опре­

деляется постоянной х и функцией Кх (т) одного аргумента т. При этом законы распределения любого порядка от начала отсчета па­ раметра / не зависят. Следовательно, стационарная в широком смысле нормальная случайная функция X(t) является и стацио­ нарной, а потому для нормальной случайной функции понятия стационарности и стационарности в широком смысле совпадают.

Одномерная плотность распределения нормальной случайной функции X(t) записывается в виде

Если нормальная случайная функция X(t) стационарная, то (27.12) принимает вид

Двумерная плотность распределения стационарной нормальной слу­

Случайная функция X(t) называется процессом с независимыми ординатами или чисто случайным процессом, если /-мерная плот­ ность распределения при любом / равна произведению одномерных плотностей распределения, т. е.

207

ординатами полностью определяется одномерной плотностью рас­ пределения / i(x; t).

Стационарный чисто случайный процесс X(t) с бесконечной дисперсией П[Х(()] называется белым шумом. Корреляционная

где с — положительная постоянная, называемая интенсивностью бе­ лого шума, а 6 (т) — дельта-функция Дирака, т. е.

Если математическое ожидание случайной функции X{t) по­ стоянно, а корреляционная функция выражается формулой (27.17), то X[t) называется стационарным в широком смысле белым шу­ мом. Ординаты этого случайного процесса некоррелированные, но в отличие от чисто случайного процесса могут быть зависимыми. Спектральная плотность белого шума (стационарного п стационар­ ного в широком смысле)

Название «белый шум» для стационарной случайной функции с по­ стоянной спектральной плотностью объясняется аналогией с белым светом, который представляет собой сумму (суперпозицию) всех спектральных составляющих с одинаковыми интенсивностями. Бе­ лый шум можно представить в виде суммы гармонических колеба­ ний всех частот с одной и той же дисперсией амплитуды.

Случайная функция X(t) называется случайным процессом с независимыми приращениями, если для любой совокупности мо­

/-мерную характеристическую функцию для X(t), воспользуемся равенством

208

Используя определение характеристической функции для системы [^ (/1), X{t2), ... , X{tt)\ случайных величин, получаем /-мерную ха­ рактеристическую функцию случайной функции X{t) в виде

Так как одномерная характеристическая функция £i(o; t) по­ лучается из двумерной характеристической функции E2(v, v t , t') с помощью равенства

то /-мерная характеристическая функция случайного процесса с не­ зависимыми приращениями при любом / определяется через дву­ мерную характеристическую функцию. В свою очередь, характери­ стическая функция E2(v, v'\ t, t') и двумерная плотность распре­ деления f2(x, х'; /, Е) связаны равенствами:

Следовательно, случайный процесс с независимыми приращениями полностью определяется двумерной характеристической функцией или двумерной плотностью распределения.

Для любой случайной функции /-мерную плотность распределе­ ния можно представить в виде