книги из ГПНТБ / Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие

frjk= ~r~=i+1--------

(* = Л i + u .... /; / = о, 1,

/ - 1 ) . (8.23)

В данном процессе за малое

время Дt из любого состояния

Cj

практически

возможен переход

только в

соседнее

состояние, т. е.

в Cj+1 (/ =

0, 1, ..., N: — 1)

или в Cj_j

(/ =

1, 2,

... , N). Обозна­

чим через

^j(^) временную плотность вероятности перехода из со­

стояния Cj в Cj+1, а через

jij(/) — временную плотность вероятно­

сти перехода из состояния Cj в Cj_j . Тогда

вероятность того,

что

в интервале (t, ^-f- At) произойдет переход:

— и з с о с т о я н и я C j в с о с т о я н и е C j + !

Р>,Ш(t, t +

At) = Xj (t) At +

0 (\t)

(9.1)

(/ = 0, 1,

..., N , -

1);

— из Cj в состояние Cj_j

Л.Ы (t, t +

\t) = pj (t) At +

0 (At)

(9-2)

(/ =

1,

2.........

— из Cj

в любое состояние Ck, отличное от CjH от двух соседних

состояний

Лк (*, * +

Д0 =0(Д<)

(9.3)

(k =

0,

1, ... , / - 2 , / +

2,

/ + 3, ...,

N;

/ = 0,

1, . . . , N).

Вероятность того, что в интервале

(t, t + At)

исходное

состоя­

ние Сj

не изменится,

Рц (Л ■/+ д*) = 1 -

[X, (0 +

h (01 д* +

о (ДО

(9.4)

причем

(/ — О, 1,

...,

А),

XN(t) =

0;

р0 (О == 0.

(9.5)

Подставляя

(9.4)

в (4.1), находим

Ъ(*) =

*1 (*) +

Pj (0

(/ -

0, 1, .. ., IV).

(9.6)

Аналогично по формуле (4.2) с помощью

(9.1) — (9.3)

получаем:

Tj,j+i (0 = M *)

(/ — 0, 1, ...,

А — 1);

7 i , i - i ( 0 = M 0

( / = 1 , 2,

т (0 = 0 (6 =

0, 1,

— 2, / + 2 , / +

3, ..., А ; / =

0,

1,

... , А).]

Система

дифференциальных уравнений

(4.8)

для

(9.7)

вероятностей

Р j (0

( / =

0;

1, . .. , А)

нахождения физической системы в различ­

ных состояниях при найденных коэффициентах Tj (0

и

Tjk (О при-

нимает вид:

П (0 = - М 0 Л , ( 0 + Pi ( № ( 0 ;

w

-

-

[ ч ( о +

Рк (01 ^к ( о +

к -i

(о

(о

+

+

Pk+i W ^

+ i ( 0

(9-8 )

( * =

1, 2 , . . . ,

/V— 1);

А м ( 0 = — P n ( О Р N ( 0 " b ^ ’N - l ( О ^ N - 1 (О -

Начальными условиями для этой системы служат значения

Pj (t0)

(/ = 0,

1, . . . ,

А) искомых функций в'начальный

момент времени

t — to.

определить вероятность

перехода

системы

за время от t

до t -f At

в состояние

Ck (k = 0,

1, . .. ,

А),

когда

гипотезой

А,-

является

факт нахождения системы в момент t в состоянии С)

(/ = 0, 1, ...

... , А). Так

как вероятность

перехода из

состояния

Сj

в Ск при

j ф k равна

Tjk (t) At -f- 0(Af)i

а при

} — k эта вероятность равна

1 — Yj(0A^+0(A0, to при известных

временных плотностях пе­

рехода приходим к следующим равенствам:

Р0(t +

Д*) = P 0(t)[ 1 - К V) М\ +

Р, (t) р*, (t) Lt +

О (Д*);

Pk {t +

&t) — P k ( t )

[1

( 0

M

—

Pk (t) Д^] +

(9.9)

4" Pk-1 (0

^k—1 (^) ^

+

^k+l (^) (J-k+l it)

+ 0 (Д£)

( * = 1 ,

2........ ЛЛ— 1);

dt

...=

- b

if) + h (t)] Pkj (*o, t) +

+ X j-i it) Pk.j-i fw

t) +

Pj+i (t) Pk,j+i (t0, t)

(9.10)

где

{k,

/==0, 1, .... Щ,

Pk, - l (^o. t) =

P*. N+i (^o. t) — 0;

1

(9

11)

X-, if) =

if)

0;

p0 {t) = pN+1 {t) =

0. I

В соответствии с (4.7)

начальные условия для системы (9.10)

сле­

дующие: Р ы(*0, *0) = skj

ik, j =

0, 1,

N).

..., N) постоян­

Если процесс однородный, то А,,-

и pj (j = 0 , 1,

ные. При этом система

(9.10)

упрощается и принимает вид

Ki it) = -

i'4 +

ft) PWit) + V

A , j-1 it) + pj+1Pk, 1+1it)

(9.12)

iK / = o, l , . . . , щ ,

причем Pkj(O) =

Skj •

Вторая система дифференциальных уравнений Колмогорова (4.9)

для процесса гибели и размножения записывается в виде

дРкj it,

х)

[Xk it) +

PU it)] Pw it, x)

-

----- Tt------ =

-

pk WPk-x.j it, x) -

Xk it) Pk+uit,

x)

(9.13)

ik,

/ =

0, 1,

.... N).

^kj (О =

—•(^к + he) Рki (t) 4- l*k^k-l,j (t) -f- XkPk+1)j (£)

(9.14)

(k,j = 0,

1, ...,

N),

причем Pkj(0) =

6kj •

Лк(/)

и цк (/) полученные

выше

При произвольных функциях

стояний, т. е. при N ==со,

когда

Xk — kX,

цк = А:р

(k — 0, 1, ...),

(9.15)

где Я и ц — положительные постоянные.

(9.8) при­

В этом случае система дифференциальных уравнений

нимает вид

Рк (t) = - k (X +

Р) Рк (t) +

(к - 1) ХРк_, (t) +

Л(0) = 8« =

1

при

j — I;

0

при

(9.17)

J Ф I.

О (и; t ) = 2 « J> j(0 .

(9.18)

j-o

2

« Ч

(*) = - 0- +

?)

2

« к^ к т +

к-0

к=1

+ х 2 ик (k -

1) Рк_! ( 0 +

^

и

к( Н 1 ) Рк-н (*).

(9.19)

к=1

к=0

k-0

Ft

;

2

UkkPk(t) = U

dG(u;

t)

k=l

&a

i «

k( ^ - l ) Лс- i

C) = 2

ui+-jPi (t) — V?д- { и’ ^ ;

k=l

j-0

k-0

j-1

Следовательно, (9.19)

эквивалентно равенству

[ХЦ2 _ (Х +

[1)Ц + 11] ^ М .

(9.20)

Начальным условием

для этого

дифференциального

уравнения

функции G(u; t)

при ^ = 0. С учетом начальных условий

(9.17) из

(9.18) получаем

G(ц; 0) =

(9.21)

Уравнение (9.20) относится к классу линейных дифференциаль­

ных уравнений в частных производных следующего вида:

^

+ /(•«, У> z ) ^

= g(x ,

у, z).

'

(9.22)

Требуется найти

такое решение

2 ==х(х,

у) этого

уравнения (за­

дача Коши), что при известном значении | аргумента

х

будет

%(g, y ) — ®{H)i гДе и (У) — заданная функция. Из

теории

диффе­

У = Ф(*1 £, Л, £), 2 = -ф(х; g, г|, £)

(9.23)

^ = / (х , У ,2); 4gz=g{x, у, г),

(9.24)

z = y[x\ I, г|. со(л)1; # = <[>[*; I, П, ®(т))],

(9.25)

где £ — известное значение, а г) — параметр. Исключив из

(9.25) па­

раметр т), получим искомую функцию z — %(x, у).

для (9.20) являются соответственно

/, и и

G,

а | = 0.

При этом

Х(1> y ) ~ G ( u - 0) — и1, т.

е.

оз( и ) — и1. Так

как

g(t,

и,

G ) = 0,

a f(t, и, G) — —[А«2 — (Я + р)н +

р],

то

уравнения

(9.24)'

записы­

ваются в виде:

^

^ (А. +

р) и f

pj;

~

- =

0.

(9.26)

Решение второго из этих уравнений имеет вид

G =

£,

поэтому

согласно (9.25) для искомой производящей функции получаем

G(«; t) = ы(г)) = г|г.

(9.27)

При к ф р имеем

________ I________ =

_ ! _ / _ ! __________!___ \

hi2 — {i.+ tfu +

p

1. — Л и — 1

a _ J L

Поэтому первое уравнение из

(9.26)

преобразуется к виду

(р — l)dt

du

du.

р ■ =

0 .

и — 1

и ~ т

В результате интегрирования получаем

(р — X) t — In (й — 1) + In [ и — у-1 = In D,

т. е.

и — 1

е&-1) ‘ = Д

(9.28)

К

/V

ТО D =

j - • Тогда Г) =

Подставляя в это выражение D

{ —д ■

5

65

u.

ii

“ -

t

g(ij.->.) t

[x [1

— eO—x) t] — ic [p. — Хе^~9 f]

к

ii -

l

(9.29)

■*i =

[X —

f i e t e - - *)

t j

—

Хц

l ]

“ - Г

. ^(!-i— X) t

Введем следующие обозначения:

6(t)

=

a 11 __ о(9—Ц t ]

, (t)

4

1

- ^ 4

(9.30)

1 1

_____I ’

Так как

|х —

б (t) +

т'(0

- 1

1

к —

f i g d 1— М 1

’

то (9.29)

можно представить в виде

b(t) +

u [ \ - b ( t )

-

T(fl|

(9.31)

V:

1 — щ (t)

Подставляя это выражение в

(9.27),

получаем искомую производя­

щую функцию

у

G (и; t) —

6(^) +

ц[1

- 6 ( Q

- T(Q]

(9.32)

1 —

щ

(t)

I

Если % = р, то первое уравнение из (9.26) будет

dll =

— ). (и

I)2.

dt

При этом вместо

(9.28) получаем

1

— U = D — - -Ц-

и,— 1

7]—

1

так что

1 .

и — 1

,

'п~ 1 + \ ~ } 1 { и - Т ) '

Данное выражение также можно представить в

виде (9.31), если

положить

(9.33)

Последние выражения следуют из (9.30) при р

Поэтому фор­

мула (9.32) справедлива при любых параметрах К и р.

(О (о + Я [1 - е (t) - т (*)]}' =

£ с?я»[1 - Ш ) - т (t)Y [0 W ] ' - s.

s=0

При |v |< 1 справедливо разложение

(1 - * ) - ' =

2

(9.34)

к=0

поэтому при

|Щ {t) I < 1 будет

[1 — «Т (* )] - '=

[«г W ]k.

к=0

Тогда

О (я;

s=0

к=0

~

Для искомой вероятности P\(t),

которая совпадает с коэффициен­

том при и3 в последнем разложении, находим

Pi (t) =

2

С В Д _ 8_, [ 1 - 6 (* ) - T (t))s [6 (t)]‘- s [T (t)V~s

(9.35)

s=0

(/ = 0, 1, . . . ) ,

где Cs; =

0 при s > l.

можно найти матема­

С помощью производящей функции (9.32)

тическое

ожидание х (i) и дисперсию D[X(t)]

числа индивидуумов

в любой момент времени t, используя для этого

формулы

(2.19) и

G(«; t) да — \ 6(t) + и [1 — 0(t) - Т (/)Г

-1 - Щ V) ( '

1

;

Так как G(l; t ) = 1, то математическое ожидание случайной

функции X(t)

будет

\{{t) ==leQ'^ )t ■

(9-37)

Дифференцируя

(9.36)

по и и полагая ы =

1, находим

- / [т(0 ]2 - [ 1 -

6 ( ^ ) - т (^)]2

д“ 2

\ д и )

Jlu-i

[ 1 - 7 W P

дЮ

Id G \ 2

да2

^

ди J

для дисперсии случайной функции X(t) получаем

D\X{t)\

, I1 — 6 WJ te g ) + T W 1

4 t ) +

T(t)

[1

1 — т (t)

или, что то же самое,

D \Х(0] =

i

е2 ^

1 [1 -

‘ ].

(9.38)

При X— риз (9.37)

и (9.38) следуют равенства

л ( / ) = / ,

D[X{t)]^2lKl.

(9.39)

0

при

X <

р;

1

X =

р;

(9.40)

I

при

со

при

а >

р;

H m D [ * ( 0 ] =

,

0

при

7 <

р;

(9.41)

а. ; > р .

t - ~

( с о п р и

Согласно (9.30) и (9.33)

имеем:

Пт 6(t)

l1

при

X >

р;

X

1

при

Х < р ;

lim f (t) ■

■

1

при

X

р;

X

при

X <

р,

.

9

поэтому

при

х < р ;

11m G (гг; t) —

\1

l ( i '

при

Х >

Р,

(9.42)

в то время как G(l; t) — 1

при любом ограниченном t.

не зависит

Так как предельное

значение

функции

G(«;oo)

от и, то

lim P j ( 0

=

0

( / =

1 ,

2 , .

.

. ) .

( 9 . 4 3 )

t - * со

1

при

Х < ; р ;

lim Р0(t) =

при

(9.44)

■y-'j

Х > р .

сравнению

с (9.15) зависимостях постоянных

коэффициентов Ак и

рк от

k.

Эти уравнения

проинтегрированы и

для нестационарного

процесса

в

случае, когда лк (t) =

k\(t)

и Рк( 0—

гДе МО

11

ц(^)— заданные положительные

функции. Применительно

к

си­

стеме

(9.8)

при М = о о

производящая

функция G(u;

t) вероятно­

стей

Рj

(t)

в этом случае также определяется формулой

(9.32),

только функции 9(^) и т (0 записываются в виде:

•\

0(*) =

i —

= т(1------0

г г г ,

(9.45)

w(t)

w(t)

0

(9.46)

t

(?)e~w& dX

w (t) — ev(l) 1 -)- J p

(9.47)

и

Формулы (9.35)

для вероятностей

Р\ (t) (/ =

(), 1, ...)

справед­

’x(t) = le'>®,

(9-48)

t

j

D\X{t)\ =

le*®

f

[4 £) + M 0 k

-

^ .

(9-49)

6

Если >.j (t)-j'k(t)

и iJ-j. (/)

—- jn(t)

(/ =

0,

1, ...),

то при Ы— со

и k —-l система дифференциальных уравнений

(9.10)

относительно

функций Рц (t)

Pl} (t0, t)

записывается в виде

Р\о (t) = рЛ, (t) ;

р 'ч (0 =

~ J >■( + I1)

р ч (0 + (/ -

1)Р ц - i (t) +

(9-о0)

+

а +

1 ) рРц+i (t)

( / = 1, 2 , . . . ).