книги из ГПНТБ / Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие

Подставляя результат интегрирования этого выражения в (37.10), получаем решение дифференциального уравнения (37.3) при из­ вестной функции S (у, т) в виде

Ь(Ъ У)

ЧЧ

Для определения неизвестной функции С(т) воспользуемся гра­ ничным условием (37.4) при г /= ц (т ). Из (37.16) при этом на­ ходим

Исключая из (37.16) функцию С(т) с помощью (37.17), приходим

кследующему интегро-дифференциальному уравнению относи­

тельно искомой функции да {у, т):

У V

290

Если граничные условия записываются в виде (37.5), то из (37.1) в результате интегрирования по у от текущего значения у до оэ вместо (37.9) находим

Подставляя это выражение в (37.14), получаем интегро-дифферен- циальное уравнение для w(y, т) в виде

у

Подставляя в. правую часть последнего равенства поток вероятности S(y, т) из (37.21), приходим к следующему интегро-дифференци- альному уравнению:

291

в соответствии с (37.13) приходим к следующему интегро-диффе- ренциальному уравнению:

где уо — любое фиксированное значение ординаты у. Чтобы найти входящую в. (37.25) функцию 0(т), нужно воспользоваться равен­ ством (37.7). В результате интегрирования (37.25) по всем возмож­ ным значениям у получаем

нозначно определяется из (37.26). С помощью этого равенства функцию 0(т) можно исключить из (37.25). Можно также 6(т) рассматривать как неизвестную функцию и решать уравнения (37.25) и (37.26) совместно относительно w(y, т) и 0(т).

Пример 37.1. Записать интегро-дифференциальные уравнения для плотности распределения непоглощенной части процесса w(y, т) при различных граничных условиях, если коэффициент

ствии с (37.18) получаем следующее интегро-дифференциальное уравнение:

уV

292

где

им

g (x )= f e ^ d -ц.

X(t)

Если граничные условия записываются в виде (37.5), то согласно

(37.20)

При граничных условиях (37.6) из (37.24) получаем следующее интегро-дифференциальное уравнение:

Так как

то равенство (37.26) записывается в виде

Точное решение последнего интегро-дифференциального уравнения найдено в § 34, так что

293

S 38 п р и б л и ж е н н ы е м е т о д ы о п р е д е л е н и я

ваются в виде (38.3).

Рассмотрим некоторые методы, применяемые для отыскания приближенного решения уравнения (38.1) при указанных началь­ ном и граничных условиях.

,Метод коллокации

При численном решении граничных задач для дифференциаль­ ных уравнений методом аппроксимирующих функций искомое ре шение ищется в виде функции, точно удовлетворяющей исходному дифференциальному уравнению и содержащей п неизвестных пара метров. Для определения этих параметров используется метод кол­ локации (размещения, расположения), суть которого состоит в под­ боре неизвестных параметров аппроксимирующей функции так, чтобы точно выполнялись граничные условия в п заданных точках. Подобный метод с некоторыми изменениями иногда может быть применен для нахождения приближенного решения w(y, т )--

— w(t, х; г, у) уравнения (38.1) при начальном условии

294

Так как значения Х\ и х2 лежат вне области определения начальной

т. е. функция '0(1/, т) удовлетворяет такому же начальному усло­ вию, что и w(y, т). Заменяя в (38.7) у на Л(т) и на ц(т), находим:

Предположим, что для некоторых значений параметров Сь С2,

Это означает, что для функции 0 (у, т) выполняются граничные условия (38.3). Так как, кроме того, эта функция удовлетворяет ис­ ходному уравнению (38.1) и выполняется начальное условие (38.9), то д(у, х) совпадает с искомой плотностью распределения w (y, т).

295

Обеспечить точное выполнение граничных условий (38.11) за счет выбора постоянных параметров Си С2, Х\ и х2 удается только в частных случаях. Как правило, поглощающие границы для функ­

точно близкими, причем всегда их можно сделать пересекающимися по крайней мере в двух точках. В этих точках выполняются гра­ ничные условия (38.3) для функции w(y, т). Согласно методу коллокации искомую плотность распределения w(y, т) можно аппрок­ симировать функцией, которая удовлетворяет граничным условиям (38.3) не всюду, а только в отдельных точках. В качество такой аппроксимирующей функции иногда можно взять 0(г/, т), т. е. при­ нять

Чтобы проверить возможность указанной приближенной за­ мены, нужно сравнить заданные поглощающие границы у = Х(т) и 1 /- ц (т ) с аналогичными границами для функции 0(г/, г). При фиксированных значениях параметров Си С2, х{ и х2 уравнение поглощающей границы для в (у, т) записывается в виде 0(1/, т) = 0, т. е.

■0(г/, т) в виде г/ = ф(т; Сi, хл). Параметрами С; и Х\ можно распо­ рядиться так, чтобы кривая г/ = ф с границей поглощения У ~ Х(х) пересекалась в точках с заданными абсциссами x = t' и т — 1". Значения f и t" выбираются из условия наилучшего приближения кривых. В простейшем случае можно принять t' = t, t" = tu где / и t\— начальный и конечный моменты в рассматриваемом интер вале. Аналогично выбираются параметры С2 и х2, когда ограничена

С2, Xj и х2 находятся из условий пересечения кривой У = ^h с ниж­ ней поглощающей границей у = Х(х) и кривой г/ = фг — с верхней поглощающей границей у = р(т) при x — t' и при x — t"\ значения t' и t" выбираются из условия наилучшего приближения кривых.

Если между заданными поглощающими границами и аналогии ными границами для функции 0 (у, т) получаются большие расхож­ дения, то интервал от t до т следует разбить на части. Условная плотность распределения w(t, х; th у) ординаты процесса в мо­ мент 11, конечный для первой части, находится изложенным выше способом. Если f\(x; t) — плотность распределения начальной орди­

296

наты, то плотность распределения W\(yi\ t{) ординаты непоглощен­ ного процесса в момент t\ находится по формуле

X (t)

причем эта ордината может принимать любые значения от X{t\) до p(/i). Дальнейший расчет ведется, как для первого участка, когда начальный момент равен t\, а начальная ордината процесса У\.

Пример 38.1. Определить приближенные выражения для услов­ ной плотности распределения w{t, х\ т, у) непоглощенной части случайного процесса и для условной вероятности P(t, X; т) суще­ ствования процесса в момент т, если коэффициент сноса а (г, х) = = — ар2г/, а коэффициент диффузии Ь(т, у ) = (52, где а и р — за­ данные положительные постоянные. Граничные условия записы­

Мт ) = - и М ,

Реш ен и е . При заданных коэффициентах сноса и диффузии

решением уравнения (38.1) с начальным условием (38.5) и гра­ ничными условиями (38.6) является функция

С помощью этого равенства получаем уравнение поглощающей гра­ ницы для функции '0(у, т) в виде

297

ная граница совпадает с исходной поглощающей границей, а по­ тому искомая плотность распределения точно совпадает с функ­ цией В (у, т), т. е.

w{t, х; х, y) = f(t, х; т, y) — f(t, — X; х, у).

В общем случае, полагая t ' = t и t " = t u где ^ — конечное зна­

298

Если данная граница близка к у — р (т), то искомая плотность рас­ пределения непоглощенной части процесса

Решение этих уравнений записывается в виде:

Так как Л(т) = — р(т), то уравнения поглощающих границ для функции Q(y, т) можно записать в виде p = pi(t) и у = — pi(x).

299