книги из ГПНТБ / Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие

§36. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ КОЛМОГОРОВА

СИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

Внекоторых случаях удается относительно просто получить ре­ шение уравнения Колмогорова 'при заданных начальных и гранич­

ных условиях, если воспользоваться преобразованием Лапласа. Суть этого метода состоит в уменьшении числа переменных с двух до одной, в результате чего дифференциальное уравнение в част­ ных производных переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка. Метод применим в случае, когда коэф­ фициенты сноса а(т, у) и диффузии Ь(т, у) не зависят от вре­

Без ограничения общности начальный момент t можно считать рав­

Чтобы получить уравнение относительно <р(у, s), умножим обе ча­ сти равенства (36.1) на е -s'- и проинтегрируем результат умно­ жения по т от 0 до оо. Тогда получим

со

Считая s параметром и обозначая череп ц>' производную от ф((/, s) по у, запишем равенство (36.3) в виде

Полученное выражение является обыкновенным неоднородным ли­ нейным дифференциальным уравнением второго порядка относи-

280

только функции ф— ф(*/, s) в зависимости от у. Начальное усло­ вие, которому должна удовлетворять искомая плотность распреде­ ления f(y, т), входит в это уравнение в виде функции f(y, 0) из правок части. Граничные условия для f(y, т) с помощью равенства (36.2) можно перевести в соответствующие также граничные усло­ вия для функции ф(г/, s). Пусть ордината случайного процесса мо­ жет принимать любые значения, а потому граничные условия при

Из (36.2) следует, что в этом случае граничные условия для ф(у, s) при любом s следующие:

Если прямая у = Х— поглощающая граница, то ордината слу­ чайного процесса всегда не меньше (или не больше) X, а плотность распределения w(y, т) непоглощенной части процесса при любом т > 0 удовлетворяет граничному условию

0

Данная функция •также является решением дифференциального уравнения (36.5), причем согласно (36.8) граничное условие для ф (у, s) при любом х записывается в виде

Пусть прямая У ~ Х — отражающая граница, а потому ордината случайного процесса всегда больше (или меньше) X, а граничное условие для искомой плотности распределения f(y, т) при любом т Д> 0 имеет вид

Согласно (36.2)

д<р

(36.12)

dy

о

Поэтому граничное условие для ф (у, s) нрц любом s следующее:

и

281

При наличии двух границ у = %и у — р, где к и ц — заданные по­ стоянные, pi Я, ордината случайного процесса всегда не меньше X и не больше ц. Граничные условия для искомой плотности распре­ деления f(y, т) [или w(у, т)] при т > 0 в общем случае записы­ ваются в виде:

где ах, Ь\, dy. и bv. — известные постоянные. Применительно к функ­ ции ф (у, s) граничные условия при любом's в этом случае следую­ щие:

ахо (К s) - f bx щ' (к, s) = 0 ;'

(36.15)

«иТО*. s) + ^ ?'(!*> s) = 0.

Решение дифференциального уравнения (36.5) с граничными условиями (36.15) определяется по формуле

где Г (у, z) — функция Грина. Чтобы найти эту функцию, нужно сначала определить независимые интегралы цп(у) и ф2(У) однород­ ного дифференциального уравнения

282

Для функции Грина справедливо следующее выражение:

Зная функцию ср (г/, s), искомую плотность распределения f(y, s) можно найти с помощью обратного преобразования Лапласа, со­ гласно которому

у— loo

Впростейших случаях оригинал f(y, т) по изображению ф(у, s)

может быть определен без интегрирования с помощью таблицы

. преобразования Лапласа.

Пример 36.1. Определить плотность распределения да (О, х; т, у) непоглощенной части процесса броуновского движения, для кото­

Рассмотреть следующие случаи:

а) а = р = 1, А = — оо, у = с о ;

б ) а = р = 1, к = 0, ц = оо ;

в) а = р = 1 , к = 0, р = /;

г) а = 0 , р = 1 , % — 0 , р = оо;

д) а = р — 0 , к = 0 , р = /.

иПри наличии поглощающих границ [случаи б) и в)] определить условную вероятность Р(0, х; т) существования процесса в мо­ мент т.

283

Р еш ен и е . Так как начальное условие имеет вид (36.22), то преобразование Лапласа искомой плотности распределения опреде­

284

ная плотность распределения процесса броуновского движения без ограничения определяется формулой

Г (у, г ) = — ;= [ e - 7C s ! y - z | . _ g - 7 / S (y+ z)

2} / s

В данном случае прямая у = 0 является границей поглощения про­ цесса. Поэтому по функции <р(у, s)=-T(y, х ) для условной плот­

2 / к т

В соответствии с (31.25) для условной вероятности существования процесса в момент т находим

Р(0, х; *) — j w(0, х; т, y)dy —

285

k = 0

Тогда

__g-T(y+x+2Zk)Vs _J_ g--f [— |y— X|+2 (k+1) Z]Cs _ g-T[--y-x+2(k+l)Z) Cs

Воспользовавшись обратным преобразованием, для условной плот­ ности распределения w0j (О, X; т, у) непоглощенной части процесса при поглощающих границах у = 0 и у = I получаем следующее вы­ ражение:

286

Полученный ряд сходится быстро при малом т. Если время т ве­ лико, то для расчета этой вероятности удобнее использовать фор­

т. е. отличается только одним знаком от соответствующей функции из б). Так как <р(г/, я) — Г(у, х), то условная плотность распреде­ ления

Другое выражение для этой функции получено при решении при­ мера 35.2.

287

§ 37. ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Рассмотренные выше методы интегрирования уравнений Колмо­ горова позволяют относительно просто находить плотности распре­ деления и другие характеристики марковского случайного процесса только в частных случаях. Часто точные методы интегрирования непригодны вследствие того, что практически невозможно получить решение той или иной частной задачи. При использовании метода Фурье обычно очень сложно найти собственные числа и собствен­ ные функции обыкновенного дифференциального уравнения (35.6). Решение такой задачи известно для относительно небольшого числа уравнений. Использование преобразования Лапласа связано с оп­ ределением функции Грина, для чего необходимо знать оба реше­ ния дифференциального уравнения (36.5), и с нахождением ориги­ нала по известному изображению. Обе указанные задачи в боль­ шинстве случаев решаются весьма сложно, что и ограничивает практическое применение данного метода.

В некоторых приближенных методах решения уравнений Кол­ могорова используется возможность сведения дифференциального уравнения в частных производных с заданными граничными усло­ виями к эквивалентному интегро-дифференциалыгому уравнению относительно той же искомой функции. Рассмотрим, как осуществ­ ляется такой переход на примере второго уравнения Колмогорова для плотности распределения непоглощенной части процесса w {y, г), которое запишем в виде

Пусть равенства у — к(х) и у = у ( х ) , где Я(т) и р(т) — ограни­ ченные функции времени т, причем Я (т) < р (т), являются уравне­ ниями границ поглощения на плоскости Оху. Тогда граничные усло­ вия для функции w(y, т) при любом х > t записываются в виде:

В частности, когда Я(т) и р(т) не зависят от т, поглощающими границами являются прямые линии у = Я и у = р. Если функция

288

Я(т) ограничена, а р = с о , то имеется только одна поглощающая граница. Так как поток вероятности на бесконечности равен нулю, то в этом случае граничные условия следующие:

Аналогично получаем, что при Х= — со и ограниченной функ­ ции р(т) при любом т > t граничные условия имеют вид:

При X — — оои р — со поглощающих границ нет, а потому функ­ ция w(y, т) совпадает с плотностью распределения f(y, т) марков­ ского случайного процесса, который может принимать любые ве­ щественные значения. В этом случае при любом т имеет место ра­ венство

а граничные условия записываются в виде:

Чтобы получить интегро-дифференциальное уравнение относи­ тельно функции w(y, т), проинтегрируем равенства (37.1) п- (37.3) сначала при граничных условиях (37.4). Из ' (37.1) в результате интегрирования по у от л(т) до текущего значения у находим

Х(т)

где С(т) — произвольная функция времени т. Рассматривая в (37.3) время 1 как параметр, из однородного дифференциального урав­ нения