книги из ГПНТБ / Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие

Если начальная ордината х является случайной величиной с из­ вестной плотностью распределения / х (х ), то математическое ожи­ дание z времени Z достижения процессом границы области D K1. на­ ходится но формуле

Пусть, например, при броуновском движении начальная орди­ ната х имрет равномерное распределение в интервале от К до ц, т. е.

Кроме математического ожидания времени пребывания процесса в области £>Х|м без решения дифференциального уравнения в част­ ных производных (31.22) при выполнении тех же условий можно найти моменты более высокого порядка. Для этого необходимо со­ ставить соответствующее дифференциальное уравнение для иско­

Когда коэффициенты сноса и диффузии не зависят от времени, условная плотность распределения fz (t, х; z) не зависит от t, при­ чем

240

Обозначим через Ez (х, и) условную характеристическую функ­ цию, связанную с fz (х, z) равенством

рой начальный момент времени достижения процессом границы об­

Зная решение т2(х) уравнения (31.46), которое находится так же, как (31.33), можно определить условную дисперсию D(Z/x) времени достижения процессом границы области Dip, используя для этого равенство

безусловная дисперсия случайной величины Z находится по фор­ муле

§32. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

ИДИФФУЗИОННЫЙ МАРКОВСКИЙ ПРОЦЕСС

Теория непрерывных марковских процессов широко исполь­ зуется в приложениях потому, что она тесно связана с так назы­ ваемыми стохастическими дифференциальными уравнениями, с по­ мощью которых описывается большое число физических явлений и функционирование различных нелинейных систем автоматического регулирования. В одномерном случае стохастическое дифференци­ альное уравнение имеет вид

белый шум, т. е. l(t) является первой производной от процесса броуновского движения (см. § 28). Математическое ожидание этой

случайной функции равно нулю, т. е. g(/) = 0. Без ограничения общности можно считать, что интенсивность белого шума равна

242

Вместо дифференциального уравнения (32.1) можно рассматри­ вать интегральное уравнение, получающееся из (32.1) в резуль­ тате интегрирования от t0 до t:

Из (32.3) следует, что случайный процесс X(t) марковский. Действительно, так как ординаты нормального белого шума |(^) независимы, то при известном X(t0) их значения до произвольного фиксированного момента to никак не влияют на поведение про­

t > t0 и заданном значении X(t0) не зависит от того, как изменялся этот процесс до любого фиксированного момента t0. Выполнение указанного условия и означает, что X(t) — марковский случайный процесс.

t

Подставляя (32.4) в (30.1) и (30.2), приходим к следующим выра­ жениям:

По условию ф(х, t) является непрерывной функцией аргумен­ тов х и t. Так как марковский процесс X(t) также непрерывный, то при 0 случайную функцию AZ^t) можно представить в виде

Для случайной функции AZ2(t), в зависимости от определения сто­ хастического интеграла (32.6), могут быть получены два различ­ ных выражения. Вследствие этого для коэффициента сноса a(t, х) также получаются два различных выражения, которые называются

хкоэффициентами сноса для стохастического дифференциального уравнения по определению К. Ито и Р. Л. Стратоновича соответ-

243

ственно. Если по аналогии с (32.9) непрерывную случайную функ­ цию г|)[^(Г), П из-под знака интеграла в (32.6) вынести началь­ ным значением при t' — t, то

t

Подставляя (32.9) и (32.10) в (32.7) и (32.8), приходим к следую­ щим равенствам:

24 4

С учетом (32.13) и (32.15) из (32.11) и (32.12) получаем следую­ щие выражения для коэффициентов сноса и диффузии стохастиче­ ского дифференциального уравнения (32.1):

Данные выражения называются коэффициентами сноса и диффу­ зии по Ито.

Равенства (32.16) получены при замене функции ф[Х(^), t'] из

по Ито. Указанный стохастический интеграл содержит недифференцируемую случайную функцию (процесс броуновского движе­ ния), а потому правила преобразования и вычисления этого ин­ теграла отличаются от соответствующих правил для дифференци­ руемых функций. Например, если w(t) — дифференцируемая функ­ ция, то

Реальные случайные процессы, близкие к процессу броуновского движения, в большинстве случаев дифференцируемые. Поэтому сто­ хастический интеграл желательно определять так, чтобы соблюда­ лась устойчивость по отношению к предельному переходу от диф­ ференцируемого случайного процесса к процессу броуновского дви­

245

Следовательно, для коэффициента сноса справедливо следующее выражение:

Нетрудно убедиться, что дополнительные члены в правой части

и диффузии для стохастического дифференциального уравнения

Таким образом, если марковский случайный процесс X(t) опре­ делен стохастическим дифференциальным уравнением (32.1), то ко­ эффициенты сноса и диффузии по Стратоповичу находятся с по­ мощью соотношений (32.23) и (32.24). Если a(t, х) и b(t, х) — коэффициенты сноса и диффузии марковского случайного процесса X(t), то коэффициенты <р(х, t) и ф(х, t) стохастического дифферен­ циального уравнения (32.1) определяются формулами (32.25).

Из сравнения (32.16) с (32.23) и (32.24) следует, что в обоих рассмотренных выше случаях определения стохастического инте­ грала коэффициенты диффузии одни и те же, а коэффициенты

246

Рассмотрим систему автоматического регулирования с запазды­ ванием, функционирование которой описывается следующим диф­ ференциальным уравнением:

гдй AZi(t) и AZ3(t) определяются равенствами (32.5) и (32.6). Положим:

247

Таким образом, если в системе, функционирование которой опи­ сывается стохастическим дифференциальным уравнением (32.27), время запаздывания ц -> 0, то коэффициенты сноса и диффузии оп­ ределяются формулами (32.16); при этом справедливы обратные равенства (32.26)

Следует отметить, что к одному и тому же уравнению Колмо­ горова с коэффициентами сноса a(t, х) и диффузии b(t, х) сво­ дится не только стохастическое дифференциальное уравнение (32.1), а и более общие дифференциальные уравнения. Поэтому обратная задача имеет не единственное решение, т. е. по заданным коэффи­ циентам сноса и диффузии могут быть построены различные сто­ хастические дифференциальные уравнения. Любому из указанных уравнений может быть поставлено в соответствие стохастическое дифференциальное уравнение (32.1), коэффициенты которого по a(t, х) и b(t, х) определяются рассмотренными выше способами. Стохастические дифференциальные уравнения, сводящиеся к од­ ному и тому же уравнению Колмогорова, называются стохастически эквивалентами. При решении практических задач сложное стоха­ стическое дифференциальное уравнение может быть заменено бо­ лее простым стохастически эквивалентным дифференциальным уравнением вида (32.1).

248

§ 33. С Т А Ц И О Н А Р Н А Я П Л О Т Н О С Т Ь Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Я

Одномерная, плотность распределения f\(y, т) марковского слу­ чайного процесса является решением дифференциального уравне­ ния Колмогорова (30.24), или, что то же самое, уравнения (30.26), т. е.

В общем случае функция f\(y; т) зависит от обоих аргументов, т. е. от ординаты у и от времени т. Если с увеличением т одномерная плотность распределения f\(y, т) стремится к определенному пре­ делу f(y), то говорят, что существует стационарное решенпе урав­ нения (33.1). Функция f(y) называется стационарной плотностью распределения, причем

всегда. Необходимым условием существования такого решения яв­

f(t, х ; т, у), являющаяся решением дифференциального уравнения (30.23), по прошествии большого промежутка времени т — t обычно не зависит не только от t и т, но и от начального состояния х. Пре­ дельное значение этой условной плотности распределения назы­ вается стационарным решением уравнения (30.23). Так как коэф­ фициенты уравнений (30.23) и (30.24) совпадают, то стационарным решением уравнения (30.23) является та же стационарная плот­ ность распределения f(y). Следовательно, если стационарное реше­ ние существует, то

От начального условия стационарная плотность распределения не зависит, а от вида граничных условий зависит.

Дифференциальное уравнение для [(у) получается из (33.1) и (33.2) при замене функций fi (у; т), а (г, у) и Ь (т, у) соответственно

на f(y), а(у) и Ь(у). Так как ^ ^ = 0, то из (33.1) следует, что

dSj

f~= 0, а потому ноток вероятности Si (у; т) постоянный, т. е. один dy

249