книги из ГПНТБ / Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие

Р'0>0№ =

~~ (^i

+

Х2)Ро,о

"Ь Л

№ ~Ь РгЯад

>

(25.14)

p'lfi (t) =

-

у-а

» V) +

^

0,0 (0 + рх1ролw ;

^

(О =

-

( А +

1*2) р од (t) + i 2p 0,oV) *

причем согласно (25.2)

А,о (0) = 1 ;

А,о (0)

= Род (0) = 0.

(25.15)

Частное решение системы (25.14)

имеет вид:

Р0,о (t) =

Ае* ;

Pi,o(t) = Ве^ ; Я0д (* )=

Свт* .

(25.16)

Подставляя эти выражения в

(25.14) и сокращая на £7^

приходим

к равенствам:

(Xj -f- Х2-ф- 7) А — У\В

Р-2^ ~

-

М

+

(1*1

+ т )

в -Р \ С = ° ;

(25.17)

— Х 2Л 4 - (рХj

р 2 ~ Ь к) с

Данные

однородные

алгебраические

уравнения относительно А, В

Xj +

Х2 + 7

— jij

— Р2

1

1

1

д =

- X j Pi + T

- p X j

= 7 — Xj (*j+ 7

—рХ2

х2

0

pXj - f [*2 + т

— Х2

0

pXj+[*2+ 7

Раскрывая

определитель, получаем

характеристическое

уравнение

д = 7 1т2 + 7 (M i ~Ь ^ 1 + ^ 2 + {J-i + Р2 ) +

“Ь [Pi (M i +

P2) + M М +

рМ ~Ь

(Mi +

Р2)]} =

О.

Корни этого уравнения следующие:

Го =

0;

И,2 ~ 0,5 [—

( M l +^1 + ^2 + P i + Ра) ±

± V (M i — Х 1

— h —Pi +

Р2 ) 2 + 4^2 (р2

— Pi)]

•

Если Р — 1, то

Yi =

— (Л1 +

Ц1); Г г = — (?ц +

Лг + цг).

Решение системы дифференциальных уравнений (25.14) запи­

сывается в виде:

P0Q{t)=--A0 +

A ^ l +

A2e^,

Pl o ( O = 5 0+

5 1M t+

5 2M t ;

(25.18)

P0tl(t) =

C0 +

C1e"' +

C2e'*,

где A],

Bj,

Cj (j =

0,

1 ,

2 ) — произвольные постоянные.

Так

как Ti <

0 и Тг <

0, то из

(25.18) следует, что А0= рол

В0—р ] 0, С0= р 01. Учитывая начальные условия

(25.15),из (25.18)

получаем:

Л + Л ,=

1 — р0 0 ;

В{ + В2 = — рх0 ;

С\ +

С2

р 01 .

(25.19)

Используя

второе и третье уравнения из (25.17), находим:

^

=

+

Г1 ~г И >

(25.20)

Л2

Тогда

0 =

4, 2 ).

А\

Ао

—

[(M i +

Р2 ) (М +

С2 ) -f- (fiC , -f- Т2 С 2 )]

Art

=

у

[ ( T iQ

+

Т2С 2)'— (Ро

’

1М 1 + Р2 )] ■

Ло

Для определения постоянных

С\ и С2 получаем уравнения:

tM i + Т2 С2 =

^2 (1 — р 0<0) +

Mi (Mi +

Р2);

Q

+ с 2= — M i •

Следовательно,

С\ — ----------- [^2 (1 ---Pofi) + / 70,l(T2+

P s+Z^l)]’»

Tl — 12

(25.21)

С г — —-------—

P'2 (1 —

Po,o> +

/ ,o,l (Ti +

Н*2 I

P ^ i)] •

Tl -- T2

Тогда

A

_1_

4 ( p K + f-2 +

Ti) ^ i ;

^ 2

— Y~ (P^t “b P2 + Тг) C-i ;

(25.22)

*1

Вx

(A

+

p c i);

B2 =

Pi +

T2

(Л2

pC2).

P-1 +

Tl

Таким образом, для всех

постоянных

коэффициентов

из

(25.18)

получены расчетные формулы.

формулами:

Если Д = 1, то искомые вероятности определяются

роо (*) =

Роо+

Г

Cie-b+M*— С2е~^+^+^ ;

’

’

л2

(25.23)

p i.o(0 = /»i,0 [i

- в - ^ + ^ Ч ;

P0l

(t) =

р01 +

C1e-<Xi+|*‘H -f С2е - (Х1+Ха+11а)|;,

причем предельные

вероятности

p0fi,

plfi

и р01 находятся

с по­

мощью

(25.13), а для Ci

и С2 справедливы равенства:

С1

=

__________ 4^2_________

Он +

Pi) (^2

Рг

Pi)

(25.24)

I1!

*1

Ч +

Pi

1 ^i +

^2 +

Рг

Ч 4" Рг — Pi

Ро (t) =

Po'flV) + Рол (0

=

т - 1 1- -

+ -т~г— e-<x>+e,)t. (25.25)

А1+

Pi

А1 “Г Pi

Вероятность

Рi (t)

того, что

обслуживается требование

из первого

потока,

Рх (t) =

Рио (t) =

,

Х!_

(1 -

е~Р‘+ ^ 1).

(25.26)

Л1"ГPi

Pi (Хх +

ц2)

xt (Xt -j-

+

fe)

C e-Pi+m) t —

C0e~

(*1 +

fh) (^1 + ^ 2 +

^2)

(25.27)

Вероятность того, что поступающее в момент t требование из

первого потока получит отказ,

совпадает

с Pi,o(t),

а вероятность

обслуживания этого требования

^

( 0 =

1 - Л , о (t) =

p0{t).

(25.28)

^ « с л = “ т Я обсл(*)=

Hi

(25.29)

л

t-~

'^1Ч +

Hi

p:6c* = P (A) = $ P(AIT=x)f(?)dx,

(25.30)

о

тому Р (А/Т — х) —

•

Искомая вероятность

я :бсл =

^

.

(25.31)

О

1 “ Г Г2

13

193

Р* = 1

обсл

(25.32)

част

^1 +

1*2

= 0,05 1/мин и %2 = 0,2 1/мин.

Среднее время занятости линии

при междугородном переговоре

— 3 мин 20 сек, а при местном

телефонной линии при установившемся режиме.

Xi =

0,05 1/сек;

Р е ш е н и е .

В данном

случае я = 1 ;

р = 1;

Хг = 0,2 1/сек;

[Xj =

=

0,3 1/лшк; р,2 =

-

= 0,2

1/мин. Вос-

ty.,

^2

телефонная

линия

свободна, р00 =

; вероятность того, что про-

исходит междугородный переговор,

р 10= у1 ; вероятность местного

переговора

8

рол = ^

•

*

,

1

13

Ро

Р0,0 + P i ,О

^ Род

21 ’

Р* —

Р2

=--0,8.

обсл ' ^1 +

(*2

Po,o(t)— — (^i +

Х2) Р0,0 (t) “I- V-iP1,0(^) + ^ о д {t)',

Р к,О ( 0 =

—

(^1 +

^2 "Ь lb ) Р к,о (t) "Ь ^1Р к—1,0 {t)

!Ч Р к+ 1,0 {t)

(А = 1 ,

2

Р04 (t) =

-

(X, +

+ to) Po,i ( t) +

X2P0iJ_, (t) +

+ V-2Po.j+i

( 0 + 14^i,i(0

(26.1)

(/ = 1 .

2 , . .

.);

Pk,j (0 — — (Xi +

^2 + ^1) P k,j (0 +

XjPk—1,] (t) +

Ро,о (0) = 1; Рк,; (0) = 0 ■(£ + / = 1, 2, . . . ).

(26.2)

ствующими предельными вероятностями

Ркд (со) = lim Pk.j (0 •

t—оо

(>ч -j- Х2) p0fi —

-j- Р2Р0.1 ;

(X ] -(-Х , + pi)/?k,o =

^i/?k-i,o

+

PiPk+1,0

( k = l ,

2, . . . ) ;

(Xj -f

Х2 -)-p2)/J0,j =

X2/?oij_ 1 -f-p^o.j +i +

V-iPia

(j — 1 , 2, . . . ) ; (26.3)

(*•1 +

^2 + Pj/^k.j

+

PiPk+\,i -f-^Pk.j-l

(k, / =

1,

2, . . . ).

.

причем рк является вероятностью

того, что в системе

находится

/г требований из первого потока, а

р* — вероятность того,

что в си­

j=o

00 00

оо оо

4 2 2 Pk-uuW 4 4 2 2 Pk.i-iu^ +

к=1 J-0

' k-OJ-1

+ i*i 2 2 Pk+ijaV 4 р22 po.i+ivfy

к=0 i=0

i=0

что можно переписать в виде

(4 + 4 4 1*т) G {и, v)+ (р2—Pi)G(0, v) —ji.2G(О, 0) =

= 4«G (и, v)+ ).tvG(и, v) +

[О(«, v) ~ G(0, г;)] 4

Г,(и

-Л-

KPi

—

+

G(0, v) + y*2ti{v -

1)G(0, 0)

’

^

(4-f-\2+ p-j)

ни—XjM2i;—\2av2—y-iV

(26.10)

Приравнивая знаменатель ' этой функции к нулю, получаем

квадратное уравнение относительно и:

и2----14 4"4 (1 —v)4 P-i3иН—5“

= 0.

(26.11)

Корни этого уравнения

м1,2 —

1

4 ( 1 —

+ P-i] + V [4 4 4 0

— ,^)H-Pi]2 — 4Х1р-1} .

2 4 " |[4 +

Тогда

(26.12)

[(IV—Рг)uv—Pi^ 4-р2«] G{0, v) 4-р2и (v—1) О(О, 0)

G (и, v)

4^ (w — Щ)(и — и2)

(26.13)

Hi

< 1 .

(26.14)

И2

Когда 0

наименьшего значения

функция ui = u1(v)

н 2 (1) =

[(^1 ~Ь Hi) — (Hi

М ]

=

1 •

Наименьшее значение функции u2(v)

принимает при о =

0, причем

«2 (0) ~

[

Л

+

^2 + Hi) -

/

(К +

Ъ +

Ъ)3-

^

]

^

< 1.

Производящая

функция

G(h, v )

при

и= и2 не может обра­

щаться

в

бесконечность.

Следовательно,

при

и = и2

числитель

в (26.13)

должен обращаться в нуль. Исходя из этого,

находим

G (0

v ) =

Н2«2(1 — ®) G(0, 0)

(26.15)

(Hi

Иг) «г® — Hi® + Нг«2

G (и,

v ) ~

___________И1И2 (1 — v ) G

(0, 0)__________

(26.16)

— X, (а — Й1)[(!!■! — р2) «г® — Hi® + |12й,]

При

п = 1

производящая функция не может равняться нулю.

Следовательно,

знаменатель

в

(26.16) обращается в нуль при

w = l. Чтобы убедиться в этом,

воспользуемся уравнением

(26.11),

с помощью которого находим

(и2— 1 )([!■! — Aj и2) =

JJ-1и, — 1^ + >пм2 — Xj«22 =

—

HiM2

Hi ~ XjM2 -ф { [Xj -f- Х2 (1

v) 4- ;xj ] к 2 — P i) =

Тогда

=

—

Х.щ, (1 —

v).

(Hi —

И2) ^2® — Hi® +

H2«2 = И2«2 (1 — ®) + Hi® («2 — 1) —

= Н2И2 (1

И1Х2тш2 (1 — у)

— ®) —

Hi

H2(l

— ®)«2(1 — ai«2 " - g 2t>)

(26.17)

1

o^itV2

5

«1

к .

■

«2

^2

(26.18)

IV

'

Pi

ГЦ

Так как согласно (26.11) U\U2 =

=

1

то

т—

—

/м

,

at

(и — их) щ — ии2

----- (1 — алии2)

(26.19)

а 1

С учетом (26.17) и (26.19) выражение

(26.16)

можно

представить

в виде

(1

-

адИ2) G (0,

0)______

G(u,

v)

(1 — ajMW2) ( l — atu2— o.2v)

Полагая в этом равенстве и=

v =

1, получаем

0 (1 , 1 ) = 1

=

О (0,

0)

_

1 — «! — а2

Следовательно, искомая производящая функция

Гт(„

-л

(1 — а, -

a2)[l — o-jU2{v)\

(26.20)

' ’

'

[1 — а,ми2(г))] [1

— а2п — а{и2(г»)]

’

где

«г(®) =

- 2ХГ ^

+

l°- (1 “

v ) +

~

-

/

К + ^ ( 1 - ^

)

+

Р1]2 - 4 Х 1ц1

1.

(26.21)

Зная производящую функцию, вероятность рk.j нахождения си­

стемы в состоянии

Ck.j можно

определить по

формуле

__

1

<?k+jG («,

v)

(k,j =

0,

1 , . . . ) .

(26.22)

■^k,i

k\\\

du^dv1

Расчеты

упрощаются,

если

кроме (26.22) использовать соотно­

шения (26.3). Действительно, согласно (26.3) имеем

Рк+1,0 —

(^1 ~Ь ^2 “Г Pi) Рк,0

а1/?к—1,0

(&= 1,

2, ...).

(26.23)

Pi

При известных Ро,о и р\,о

с помощью

рекуррентного соотношения

(26.23)

можно

найти

вероятности

/?ti+i,o

при

любых

значениях

k ^ 1,

Для

вероятностей ро,о

и рi,o

согласно

(26.22)

справедливы

выражения:

Ро,о =

0(0,

0 )=

1 — ai

« 2;

(26.24)

Р\,о

dG{u,

0)

(1

«1

а2)®1^2 (0)-

(26.25)

du

=

и — О