Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.10.2023

Размер:

12.12 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 3719 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

§ 24. СИСТЕМА С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПОТОКАМИ ТРЕБОВАНИЙ

Во всех рассмотренных системах массового обслуживания вход ной поток требований простейший с интенсивностью К. Существуют также системы, на вход каждой из которых поступает не один, а несколько простейших потоков требований. Если параметры об служивания этих требований совпадают, то входные потоки можно заменить одним потоком с суммарной интенсивностью. В некото рых случаях такое сложение произвести нельзя, так как суще ствуют различия в обслуживании требований из различных потоков.

Рассмотрим одну из таких систем с п одинаковыми приборами

обслуживания п е т местами	ожидания. Пусть		на вход системы
поступают два простейших потока требований		с	интенсивностями
и /.2 соответственно. Время	обслуживания	любого требования

случайное, имеющее показательное распределение с параметром р. Когда все приборы обслуживания заняты, требования из первого потока встают в очередь на обслуживание. Если в очереди т тре бований, то очередное требование получает отказ в обслуживании. Время ожидания начала обслуживания, т. е. время нахождения требования из первого потока в очереди, является случайной вели чиной, имеющей показательное распределение с параметром v. Требования из второго потока в очередь на обслуживание не встают и покидают систему, оставшись необслуженными, если обслужива нием заняты все п приборов.

В зависимости					от числа требований в					системе	можно ввести
n - f m - f - 1 состояний						Ck (k =		0,	1, ... , n-f-m), причем состояние
Ск	(Л = 0, ' 1 ,	... ,		п)		означает,		что обслуживанием занято k прибо
ров,	a Cn+S (s =		1, 2,			..., m) — в очереди на обслуживание имеется
требований из первого потока.									Вероятности Рк (£)		(k — 0, 1, ,.«■
... ,	п + т) нахождения системы в различных состояниях являются
решением следующей системы дифференциальных уравнений:
P o ( t ) = - 0 ' i			+		>'2)PoV)'+				(П;
Рк (t) =		(>ч +		А2 +			6р) ?к (t) + {k + 1 )			(t) +
				+ (>м + h)					(О
		(6 =			1 , 2 .............. п — 1 );
	р 'п [ t ) =	—	(>>1		+	лр) Р а (t) - f			(яр + v) Pn+1 (*) +		j ,
				+		Оч	h)P n- 1		(t) ;
	P'n+S (t) =		-	(x, +			Щ + sv)pa+t (t) -Н я р +
	+	( s +		1)4			т		- v ? n+s—1 it)
			( s = 1 , 2, . . . , tn — 1 );
	P„+m(0 =		— inV-+				my) P’n+m (0 + ^iPn+m-l (0-

180

Если при t = 0 требований в	системе	нет,	то начальные	условия
для искомых функций записываются в виде
Р0(0) = 1; М 0) =	0 (А =	1, 2,	п + т).	(24.2)

Система (24.1) линейных однородных дифференциальных урав нений с постоянными коэффициентами решается известными ме тодами. Предельные вероятности pk — \\mPk{t) (& = 0, 1, ...

.... п -f- т) для рассматриваемой системы массового обслуживания

при ограниченном т существуют

всегда,

при

т = со

они от-

личны от нуля, если

Находятся

предельные

вероятности

— < п.

из следующей системы алгебраических уравнений:

Pi — (ai Н~

Pni

(k 4- \)рк+{ — (al +

а2-f- k) рк— (otj -f- a2)/?k-i

(&=-l,

2 , .

. , / г - 1);

(«■ +

P) Pn+i = (*i +

n) pa— (at + a2)Рп—! ;

(24.3)

[« +

(s +

1 ) P ] pn+5+l = («! +

/! + «?)/>„+, -

( s = 1, 2, . . . , m — 1 );

(/г-f m$)pn+m=a,/7n+m_n

где

(24.4)

Для решения уравнений (24.3) положим:

“ к = ( л +

1)^+1 — («1 + * г )Л

{ k -

О , 1,

. .

. , / г —

1);1

^n+s~

“Ь {рД" 1) Р] Pn+s+1

al/^n+s (^ = 0,

1, . . ., ffl— 1).

Тогда соотношения (24.3) можно записать в виде:

а0 = 0;

ак — ak_ t

(k =

1, 2 ............. я +

т -

1 );

ап+т_ г = 0.

Следовательно, ак = 0

(k — 0,

1, .

. , п -f т — 1),

а потому

Рк+i =

(А =

1, . .

. ,

1);

(24.6)

(s— 0,

1, .

т— 1).

(24.7)

Pn+s+ 1 = п

jf ^n+s

181

Из полученных выражений следует, что

А =	(<Ч +		аг)к	( k = 1, 2, . . . , ft);
А =	k\		Ро	( k = 1, 2, . . . , ft);
	k\
Pn+s:		а\Рп		«l(al +	а2)П Ро
Pn+s:				«l(al +	а2)П Ро
	П ( я + /Р )			«! П (я + /Р)
	i=i			i-i
			(s =	l, 2, ... ,	m).

Чтобы найти вероятность р0, воспользуемся			равенством
		л+т
		2 Рк = 1 .
		к=0
С учетом (24.8)	и (24.9)	получаем
v	К + «2)к	, (ч + «2)п v ,	а‘
Ро =	й!	ft!	(« + /?)
к - 0		8=1 П	(« + /?)
к - 0
		3 = 1

(24.8)

(24.9)

(24.10)

(24.11)

Таким образом, для всех вероятностей Рк (& = 0, 1, .. ., ft + т) состояний при установившемся режиме функционирования системы получены расчетные формулы. В частных случаях выражение

(24.11)	для вероятности Ро может быть упрощено.							Если, например,
число	мест ожидания	не ограничено, т. е.				т = со,		а требования
очереди не покидают,		т. е. р — 0, то при —				<	п получаем
					!А
	У	ai_______ —		"V	I
	У	(я +№	~	^	V ft	ft	— ос,
	1 П	(я +№			8=1
	3 = 1
Тогда
	(а,-\|-а2)к				(ai 4~ аа)П			(24.12)
	Ро-	/г!	+ ( « — « ! ) ( « — 1)!					(24.12)
	к=0

Зная вероятности рк (& = 0, 1, ... , п-\-т), можно определить показатели эффективности рассматриваемой системы массового об служивания. Вероятность полной загрузки приборов

	П—1
Льз — 2 Ро+ъ — 1	(24.13)
s=0	к=0

182

Вероятность наличия очереди
m	п
Роч = 2 ^ n+s==:^ —	(24.14)
s=l	к=0

Если т = со, а р = 0, то формулы (24.13), (24.14) упрощаются и принимают вид:

Р —	ПРп	(«1 +	а2)°Ро ,	(24.15)
п'3	п — ах	(/г — аА) (л. — 1 ) ! 1		(24.15)
п'3	п — ах	(/г — аА) (л. — 1 ) ! 1
		__ °Ч (а1 +	а2)пРо	(24.16)
	п — aj	(га— аJra!		(24.16)
	п — aj	(га— аJra!

Любое требование из второго потока будет обслужено, если при его поступлении свободен хотя бы один прибор обслуживания. Сле

довательно, вероятность Р 0бел обслуживания любого требования из второго потока определяется формулой

я ”бсл =			1 - Яп . з -			(24.17)
Математическое ожидание числа приборов, занятых обслужива
нием требований,		П
		П		пРоч-		(24.18)
У =		h	kPk +	пРоч-		(24.18)
Так как		k-1
Так как
П				П— 1
2	kpy =		(=Ч -f- а2) 2		Ръ
к=1				к=0
то
У = (*i +		«а) ( I ~Рч.з) +			пРоч.	(24.19)
Коэффициент загрузки	приборов			k3ar =	коэффициент	простоя

Ь ~— 1 — ъ «-пр— А Л'заг*

Математическое ожидание числа требований из первого потока, находящихся в очереди на обслуживание,

га

2 = 2 Sft+s.

(24.20)

В частных случаях для z можно получить удобную расчетную фор мулу. Если т—оо , а р — 0, то

S = 1 ' г

( Я - « l)2 ’

183

т. е.

г — п — аг~Рп'3'

(24'21)

Математическое ожидание времени ожидания начала обслужива ния требования из первого потока определяется с помощью равен ства

*« = £■ •

(24.22)

Функция распределения времени ожидания начала обслуживания Тожопределяется формулой

F(t) = l — Pn.3e - (n»~hn при * > 0 .

(24.23)

Произведение y\i равно математическому ожиданию числа тре бований, обслуживаемых системой в единицу времени. За это

время	в систему	поступает	А,] +	Аг требований. Отношение		У\1
к Ai +	Аг равно вероятности обслуживания любого требования,					т. е.
		р 0 бсл =	—	■	(24.24)
			а 1 I а 2
Математическое		ожидание	ч ю а	требований,	покидающих	оче

редь в единицу времени, равно zv. Так как в очереди могут нахо диться только требования из первого потока, а математическое ожидание числа таких требований, поступающих в систему в еди ницу времени, равно А], то вероятность того, что требование из первого потока покинет очередь,

Ри.04 = T L =	\| £ -	(24.25)
Л1	а\

Вероятность непопадания в систему требования пз первого по тока равна Рп+т- Поэтому вероятность обслуживания любого тре

бования из первого потока

Робел= 1 (Рп+т“Ь Рп.оч).

(24.26)

Для проверки правильности вычисления вероятностей Яо6сл, Р'обсл

и Робел можно воспользоваться соотношением

Робел ~ ~ I „ '(а1 робсл ~Ь «2РОбсл )>

(24.27)

а 1 “Г а 2

184

которое следует из формулы полной вероятности. Последнее ра венство может быть также использовано для определения какоголибо показателя эффективности, через который выражаются ве роятности обслуживания. Из (24.27) следует, что

Р'оься — -7- [(«1 + а2) Ро6сл — а2Робсл].	(24.28)
ai

Если, например, р ф 0, то при известной вероятности Л'.бсл для определения z можно использовать равенство

Z—-р-(1

Робел Pti+m)-

(24.29)

Пример 24.1. Рассчитать основные показатели эффективности функционирования системы массового обслуживания при устано вившемся режиме, если число приборов обслуживания п = 3, число мест ожидания т — 1. В сис4ему поступают два независимых по тока требований с интенсивностями Я] = 2 и Я2= 1 соответственно. Математическое ожидание времени обслуживания любого требова

ния = 1. Требования из второго потока в очередь на обслужи вание не, встают. Требования из первого потока в очереди нахо дятся случайное время Г», распределенное по показательному

закону с параметром v = 1,5.		п — 3;	т = 1; Ач = 2; Яг =1; р —
Р е ше н и е .	По условию	п — 3;	т = 1; Ач = 2; Яг =1; р —
= 4т = 1; v =	1,5. Тогда
	— = 2 ;	^ =	1 ; \|3= - - = 1 , 5 .
	I1	Р	Р

Используя формулы (24.8) и (24.9), находим:

Pi = 3p0; р2 = 4,5Ро; рз = 4,5р0;

Pi = 4^5 Рз = 2р0-

Согласно (24.11) получаем

Ро - (1 +

3 +

4,5 + 4,5 +

2)-> =

0,067.

Тогда

P i--0,200;

Р2 =

Рз == 0,300;

^ 0,133.

Вероятность

Р4~т-р

полной

загрузки

Р п.з=

Рз + Р4= 0,433.

приборов обслуживания

Вероятность

наличия

очереди

Л>ч — Р4=

0,133.

Вероятность

об

служивания

Л ю бого

Т р е б о в а н и я

ИЗ

ВТОРОГО ПОТОКа

Робел = 1

—

— Рп . з - 0,567.

185

Математическое ожидание числа приборов, занятых обслужива нием требований, согласно (24.19)

простоя &Пр = 0,3.	требований	из первого		потока
Математическое ожидание^ числа
в очереди на обслуживание z = p± =	0,133. Математическое ожида-
	—	Z	\	0,067.
ние времени ожидания начала обслуживания ^оЖ= — =			--- ~
		л,	1о

Вероятность обслуживания любого требования

Вероятность того, что требование из первого потока покинет оче-

редь, Рп.оч = — = 0 ,1 . Вероятность обслуживания любого требоваaf

ния из первого потока

§ 25. СИСТЕМА С ОТКАЗАМИ ПРИ НАЛИЧИИ ПРИОРИТЕТНОГО ПОТОКА ТРЕБОВАНИЙ

В системе с отказами имеется п одинаковых приборов обслужи вания; мест ожидания нет. Пусть на вход этой системы поступают1 два независимых простейших потока требований с интенсивно стями Я] и Яг соответственно. Время обслуживания любого требо вания случайное, имеющее показательное распределение, причем для первого потока — с параметром pi, а для каждого требования из второго потока — с параметром ргЕсли свободен хотя бы один прибор обслуживания, то любое поступающее в систему требование начинает обслуживаться сразу. Когда все приборы заняты, очеред ное требование из второго потока получает отказ и потому остается необслужеиным. Если обслуживается п требований из первого по тока, то поступающее требование из этого потока также получает отказ в обслуживании. Когда среди обслуживаемых п требований имеется хотя бы одно требование из второго потока, поступающее требование из первого потока с вероятностью р начинает сразу об служиваться вместо одного из требований из второго потока, кото рое уходит из системы недообслуженным. При р = 1 требования

186

из первого потока имеют над требованиями из второго потока «аб солютный приоритет». В этом случае требования из первого потока обслуживаются системой с отказами так, как будто требований из второго потока не существует. Если р — О, то потоки требований равноправные, и потому все попадающие в систему требования вы ходят из нее полностью обслуженными.

Пусть состояние Ck,j означает, что системой обслуживается k требований из первого потока и j требований из второго потока.

При этом	О k +	j п,	а общее число состояний равно	С'2п ■ Ве
роятности	Pk,j [t)	(0 < ^ +	j п) нахождения системы	в указан

ных состояниях являются решением следующей системы дифферен циальных уравнений:

Ро,о (0 =

(>ч +

h) Ро»(0 +

!*1 Л,О (t) +

1(ty,

К . О(0 =

- - (К + Ъ +

къ) рк,0 (t) +

^Pk-1,0 (t) +

-j-

( k

-|- 1) 'Aj Р k+1,0 (t ) 4" !a2 P k. 1 (t)

Р'п,0 (t) =

r t [ i, P n,o (^)

+ 0

P n— 1,0 ( t )

4 " P ^ 1 P

П - 1,1

(ty,

р 0 ,

{ t ) ~ =

—

(),J

- j -

X2 4 "

/Р 2 )

P o ,j

( t )

~ b

^ 0 , j - l

( t )

T '

( /

1) P -a ^ o j+ i ( t )

-f-

i,j

( t )

( / -

1, 2 , . .

. , n — 1 ) ;

Р'о,п (t) =

—

(P ^ t

4 \ h )

( t )

X2 P o,n— i ( t ) \

Р 'ьа - k (* )

‘— —

- f -

—

k ) |X2]

P k,n— k ( 0

+ Р~>чРк-- l , n — k-t-1 (t) 4 “ X jP k — l,n—k ( t)

“ Г

X2P k,n -- k - 1

(t)

( k =

1 , 2 , . .

. , n -

1 ) ;

Р 'Н

( t ) =

—

- f -

X2 4 - & P ;

4 -

j \ l2)

P k ,j (t) +

4"^l^>k-l,j (t)

^'2 Pkj—l (t) +

{k + 1) Pi^k+I.j (t) 4~'

(/ +

1 ) P2^k.i+l (0

( £ > 1 ; j > 1 ; k + j < n - 1 ).

Общее число уравнений в этой системе равно С2а. Решается данная

система линейных однородных дифференциальных уравнений с по стоянными коэффициентами известными методами. Если при t — О система массового обслуживания находится в состоянии С о , о , т. е. требований в системе нет, то начальные значения искомых функ ций следующие:

Р о , о ( 0 ) = 1 ;

P k , j ( 0 ) = 0

( 1 < £ + / < « ) .

( 2 5 . 2 )

187

Зная вероятности P^(t), можно найти вероятность Рк (t) того, что в момент времени t обслуживается k требований из первого по тока. При этом используется равенство

	(Л=		0,	1..............я).		(25.3)
	j=o
Если Р* (t) — вероятность того,		что	в	момент t		обслуживается
/ требований второго потока, то
P*(t) =	ni>Pk,j(t) 0 =	0,	1, .	.	п).	(25.4)
J	k=0

Поступающее в момент времени t требование из второго потока получает отказ в обслуживании, если при этом заняты все п при боров обслуживания, т. е. если система находится в состоянии Ск,п-к (к — 0, 1, .. ., п). Поэтому вероятность принятия к обслу живанию требования из второго потока

	Робсл(0 =	1 - 2	Р м -k W .	(25.5)
		k=0
При р =	0 вероятность Робел(t) обслуживания поступающего
в момент t	требования из	первого	потока	совпадает с Робел (£)■
Если р — 1,	то требование из первого потока			получает отказ в об

служивании только при наличии в системе п требований из пер вого потока. Следовательно, вероятность обслуживания требования из первого потока (при р — 1 )

Робел (*) = 1 — Pn.O (t).

(25.6)

Когда Р — 1, одно требование из второго потока останется недообслуженным, если в систему поступит требование из первого потока при наличии там хотя бы одного требования из второго потока. Вероятность Рчаст (t) частичного обслуживания одного требования из второго потока вследствие поступления в систему в момент t требования из первого потока находится с помощью равенства

П—1
Рчаст ( 0 = 2 Ркп -А*).	(25.7)
к=0

В общем случае для рассматриваемой системы массового обслу живания предельные вероятности pK,j различных состояний си стемы находятся как решение системы алгебраических уравнений, которая получается из (25.1) при замене функций Pk,j (t) на по стоянные /?k,j (0 к -f- j < п). Эти уравнения записываются в виде:

188

(kj -f- ^2)Po.o= V-iPw + V-iPo.x>

(^1 + X2 4~ £^1) Pk.Q — ^lpk—1,0 4" (£ -f- 1)V-iPk+Xfi 4" V"2pk,\

(£ = 1 , 2 , . . . , n — 1 );

ПРхРпА — ^\Pn—1,0“l- p"^\Po.—\,l ’

Q'l + ^2 + /V2) P0.i = ^2^0,j-1 4" (/ 4” 1) У-гР^Л+Х 4“ fAl/,l.j

(/ = 1 , 2, .	.	. , л — l);
			(25.8)
(jPX1 4~ ^^2) P0,o ~ ^2^0,n-l j
\p\-\-kp\ 4- (n —£) £i2]/? k ,n - k =			/ ^ i / 7 k - - l, n - k + l +
4 - \ р к —l, n - k 4 ~ ^ г / 7к ,п - к — 1
( £ = 1 , 2 , .	.	. , П —	1 ) ;

(A] 4-X 24- £jJ-! 4- /«•■j) Pk,i — Xi/^k—l,j 4“ ^2Pk,j-l 4“

-(- (£4-1) н-i/’k+i.j 4" (/ 4-1)

( £>■1 ; / > 1 ; £ + / ^ я — 1 )•

К данным соотношениям добавляется условие нормировки, кото рое имеет вид

2 2 / > n j = l .	(25.9)
k=0 j-0
Решение алгебраических уравнений (25.8) и	(25.9) при лю

бом п очень громоздко. Ограничимся получением явных выраже ний для предельных вероятностей применительно к одноканальной системе, т. е. при наличии в системе только одного прибора обслу живания. В этом случае равенства (25.8) принимают вид:

(Xi +	PiPi,o4" НРол ;
l1!Р\,0 ~	"^lPofl 4” Р\Р0Л >	(25.10).
{р\ 4- р2)Рол = ^zPo,o •
Из этих соотношений находим:


		п — ^ ^		4- Х2) 4- р2\| „			(25.11)
Р°Л~ рК + ?2	Ро’°	Рг'°	Р-х ( А +		14)	Ро’°
							‘
Так как согласно	(25.9)	Po,o^rPo,i~^Pi,o— 1» то			расчетные		формулы
для предельных вероятностей следующие:

189

<<< < Предыдущая 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 3719 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ