книги из ГПНТБ / Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие

Так как G(w; 0)— 1, то в результате интегрирования получаем

Исключая из этого равенства параметр rj с помрщью (20.31), для искомой производящей функции получаем следующее выражение:

i

Зная производящую функцию, вероятность Pk(t) нахождения системы в момент t в состоянии Ск можно определить по формуле

Последнее выражение можно также получить с помощью первого уравнения системы (20.39), которое при известной функции Р0 (t) записывается в виде

(2 0 .5 1 )

Г1

150

Аналогично можно получить явные выражения для вероятно­ стей Pk(t) при любых значениях k. Для математического ожида­

ния у (t) числа приборов, занятых обслуживанием требований, с по­ мощью (20.49) находим

(20.52)

где

Система дифференциальных уравнений (20.16) может быть ре­ шена в явном виде и в некоторых других частных случаях. Имея аналитические выражения для вероятностей Рк(£) (^ = 0, 1, ...

..., п -(- от), можно исследовать характер изменения различных показателей эффективности при неустановившемся режиме функ­

жиме ее функционирования, если только такой режим существует, определяются как решение следующей системы алгебраических уравнений:

k

где

Искомые вероятности связаны равенством

П+Ш

(20.56)

151

=(1 — Р п ) .

Сучетом (20.56) из (20.57) находим:

Из (20.35) и (20.36) для этих вероятностей получаются другие выражения в виде

гими системами можно определить различные показатели эффек­ тивности установившегося режима функционирования рассматри­ ваемой системы массового обслуживания. Вероятность полной за­ грузки приборов обслуживания и вероятность наличия очереди оп­ ределяются формулами:

m n — 1

Математическое ожидание числа приборов, занятых обслужива­ нием,

П

152

В частных случаях выражения для у могут быть получены с по­ мощью формул вида (20.38) и (20.52) при t оо. Коэффициент загрузки приборов, т. е. вероятность того, что прибор обслужива­ ния занят,

Математическое ожидание числа требований, ожидающих начала

обслуживания,

m

Произведение г/ц равно математическому ожиданию числа тре­ бований, обслуживаемых системой в единицу времени, поэтому от­

ношение Уу к совпадает с вероятностью полного обслуживания любого требования, т. е.

153

Для расчета этой вероятности можно также использовать равен­ ство

ваний. При указанном условии в систему одновременно может по­ ступить не более k требований, а остальные требования из группы получают отказ. Следовательно,

Пример 20.1. Предназначенная для обработки групповых сооб­ щений информационная логическая машина имеет пять одинако­ вых приборов обслуживания. Поток групп сообщений простейший с интенсивностью 2,5 группы в секунду. Каждая группа содержит три сообщения. Если все приборы заняты, то сообщение теряемся. Математическое ожидание времени обработки каждого сообщения равно 0,2 сек.

Определить показатели эффективности установившегося ре­ жима функционирования данной информационной логической ма­

154

Математическое ожидание числа сообщений из группы, не попа­ дающих в систему в единицу времени,

г) = Я (Зр5 -f- 2Ра-f- Рз) = 0,8890.

§21. СМЕШАННЫЕ СИСТЕМЫ

СГРУППОВЫМ ОБСЛУЖИВАНИЕМ КАЖДОГО ТРЕБОВАНИЯ

При анализе функционирования различных систем массового обслуживания предполагалось, что обслуживание любого требова­ ния производится только одним прибором. Существуют также си­ стемы, в которых каждое принятое требование обслуживается сразу несколькими приборами. В зависимости от организации об­ служивание одного требования могут производить сразу все при­ боры пли часть из них. Когда число требований в системе меньше числа приборов, но все приборы заняты, на обслуживание вновь поступающего требования может переключаться часть приборов или оно становится в очередь на обслуживание. Как и в рассмот­ ренных выше сметанных системах, требование остается необслуженным, если в момент его поступления в систему очередь содер-

155

»

жит максимально возможное число т требовании. В одних систе­ мах момент окончания обслуживания любого требования совпадает с моментом завершения его обслуживания каким-либо одним при­ бором, а в других системах требование до конца обслуживает каж­ дый прибор независимо от других приборов. Освобождающиеся приборы могут участвовать в дообслуживании требований или ожидать поступления очередных требований.

Рассмотрим некоторые системы массового обслуживания указан­ ного типа, в которых при наличии хотя бы одного требования за­ няты все п приборов.

Система с полной информацией о результатах обслуживания

Данная система массового обслуживания имеет п не обяза­ тельно одинаковых приборов обслуживания и т мест ожидания. Время Гц. обслуживания любого требования /-м прибором имеет

показательное распределение с параметром pj ( / = 1 , 2,-..., п). Пусть работа системы организована так, что при поступлении в си­ стему одного требования все приборы приступают к его обслужи­ ванию независимо один от другого, причем обслуживание счи­ тается законченным при окончании обслуживания требования любым одним прибором (имеется полная информация о результа­ тах обслуживания каждым прибором). Если в момент поступления требования приборы обслуживания заняты, то требование стано­ вится в очередь. Время Т-, ожидания начала обслуживания слу­ чайное, имеющее показательное распределение с параметром v. Когда время ожидания больше 7\, требование покидает очередь н

Обозначим через Гр случайное время обслуживания любого тре­ бования. При указанной организации работы системы справедливо

Следовательно, время Гр обслуживания каждого требования яв­ ляется случайной величиной, имеющей показательное распределе­ ние с параметром р. Но тогда система массового обслуживания

156

с полной информацией о результатах обслуживания эквивалентна рассмотренной в § 18 смешанной системе с одним прибором обслу­ живания, производительность р. которого находится с помощью ра­ венства (21.3). Состояние Ск при этом означает, что в системе на­ ходится к требований (к— 0, 1, ... , т + 1), Предельные вероят ности рк (k~0, 1, ..., т -{- 1) состояний системы определяются формулами (18.1) — (18.3) при п = 1, т. е.

па + т

1 =0

где

V

ние числа требований, обслуживаемых: в произвольный момент вре­

Математическое ожидание числа требований, ожидающих начала обслуживания,

Справедливы также формулы (18.14) — (18.19).

Пример 21.1. Для отражения нападения воздушных целей на корабле имеется пять зенитных комплексов двух типов. Математи­ ческое ожидание времени обстрела каждой цели любым из трех комплексов первого типа равно 0,3 мин, а каждым комплексом второго типа — 0,2 мин. Вероятность поражения цели за стрельбу любым комплексом равна 0,5. Управление огнем организовано так, что все зенитные комплексы начинают обстрел одной цели в мо­ мент ее входа в зону обстрела. Если в указанный момент хотя бы один комплекс занят обстрелом, то очередная воздушная цель остается необстрелянной.

157

Определить вероятность поражения каждой воздушной цели при

стрельбу

/>= Л,бслП-(1 — Р)5] = 0,8(1 - 0 ,5 5) = 0,8 -0,6875 = 0,55.

Система с отсутствием информации о результатах обслуживания

имеется п одинаковых приборов и т мест ожидания. Время 7\L обслуживания каждым прибором любого требования является слу­ чайной величиной, распределенной по показательному закону с па­ раметром р. При этом вероятность успешного обслуживания каж­ дого требования равна р. Информация о том, успешно или без­ успешно закончилось обслуживание того или иного требования, в систему не поступает, а потому дообслужпванпе требований не производится. При занятых k приборах (Р = 0, 1, ... , п — 1)

вновь поступающее в систему требование начинают обслуживать независимо один от другого сразу п — k свободных приборов. Когда все приборы заняты, вновь поступающее требование стано­ вится в очередь на обслуживание, где одновременно может нахо­ диться не более т требований. Время Т» ожидания начала обслу­ живания является случайной величиной, имеющей показательное распределение с параметром v.

живанием заняты все п приборов, а в очереди на обслуживание находится s требований. Общее число требований в системе при

158

заканчивает обслуживание, или одно из s требований покидает очередь, не дождавшись начала обслуживания. Поэтому

Поступление в систему одного требования при исходном состоянии

С учетом полученных выражений для отличных от нуля коэф­ фициентов Yk и Ykj система дифференциальных уравнений (13.1) для искомых вероятностей записывается в виде:

+ [n-Y- + (S+ 1) v] Pn+s+1 (*")

(s = 1, 2 ,. . . , /га — 1);

159