книги из ГПНТБ / Ганин, М. П. Прикладные методы теории марковских случайных процессов учебное пособие
.pdfСледовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р ( Тож> t ) = |
п — ос е~+ (»—)‘ = Рп.з б' 11(п- а)*. |
(16.29) |
|||||
|
Искомая функция распределения времени ожидания начала об |
|||||||
служивания определяется формулой |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
О |
|
при, |
t < |
0; |
|
(16.30) |
|
1 |
— Рп.з&-^ <п -“)1 |
при |
t >• 0. |
|
|||
|
|
|
||||||
Данная функция непрерывна при t Ф 0, |
а в точке t = |
0 имеет раз |
||||||
рыв первого рода. Величина скачка, |
как следует из (16.30), |
равна |
||||||
1 - |
Рп.з • |
|
|
|
|
|
|
|
|
Дифференцируя функцию распределения, находим плотность |
|||||||
распределения времени ожидания начала обслуживания |
|
|||||||
f(t) |
= (1 — Рп.з) 8 (*) + (! ( ц - а)Рп.3е-:1(а-«>1 |
при |
f > 0. |
(16.31) |
||||
|
Начальный момент &-го порядка случайной величины Гож опре |
|||||||
деляется с помощью равенства |
|
со |
|
|
|
|||
|
со |
|
|
|
|
|
||
|
ГП\[Т0Ж) — J tkf (t) d t = ^ ( n — а) Р„.з j |
|
("-«) t dt. |
|
||||
|
—oo |
|
|
0 |
|
|
|
|
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j Pe-^dt |
|
|
1 |
Г (6 + |
1 ), |
|
|
|
|
|
ak+1 |
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
причем Г(& +• 1 ) = k\, to |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тк(Тож) = ' |
( * = 1 , 2 , . . . ) . |
|
(16.32) |
||||
|
|
И я - я )]11 |
|
|
|
|
|
|
При k = l из (16.32) получается выражение (16.22) для математи ческого ожидания времени ожидания начала обслуживания. Дис персия этой случайной величины
D ( Тож) — /я2 ( Тож) |
(^ож)2 = |
Рп.З (2 — Рп.з) |
(16.33) |
||
р2 |
(п — а)2 |
||||
|
|
|
|||
Математическое ожидание числа X требований в системе нахо дится с помощью равенства
x = y + z. |
(16.34) |
Отношение х к математическому ожиданию числа требований, по ступающих в систему в единицу времени, т. е. к X, равно математи ческому ожиданию времени Гс нахождения требования в системе, т. е.
и - |
х |
( 1 6 .3 5 ) |
|
Т ‘ |
|||
|
120
Обозначим через Т3№ случайное время непрерывной занятости прибора обслуживания, а через Точ — время наличия очереди, ко торое отсчитывается от момента образования очереди (переход си стемы из состояния Сп в Сп+1) до момента ликвидации очереди (при очередном переходе системы из состояния Сп+1 в Сп). Мате матическое ожидание случайной величины Тзаг определим с по мощью равенства
^заг = Р Ш1) М ( Т^/Н,) + Р (Я2) М,( T3J H 2), |
(16.36) |
|
где гипотеза Нл означает отсутствие очереди, а Н2— наличие ее. |
||
Имеем |
|
|
Р (Я 2) = РОЧ — —<7?n+S = ^П.З Рп ! |
|
|
|
S=1 |
|
т. е. |
|
|
Р0 |
п— а |
(16.37) |
04 |
|
|
При отсутствии очереди математическое ожидание времени занято
сти прибора обслуживания равно t^— — , поэтому М(ТЗаг/Я 1) = — . |
|
fi |
[i |
Если очередь есть, то математическое ожидание времени занятости
прибора равно сумме М(Тзаг/Н2) = ----- Ь t04, где t04— математичеIх
ское ожидание времени наличия очереди. Подставляя найденные выражения в (16.36), приходим к равенству
^заг — (1 |
Роч) — + Роч ^ ^ |
+ А)ч j . |
Т, е. |
|
|
♦ |
*эаг = ~ + Л * * о ч - |
(16-38) |
|
I1 |
|
Для математического ожидания времени наличия очереди справед лива следующая расчетная формула (см. § 17):
■ |
1 |
_ РоЧ |
|
(16.39) |
|
04 |
Р(я — а) |
1рп |
' |
||
|
Отношение математического ^ожидания времени занятости при
бора t3ar к сумме t33r -f tnр, где tnр — математическое ожидание вре мени простоя прибора обслуживания, равно коэффициенту за грузки &заг (вероятности занятости прибора), т. е.
1-заг — ь
--- —г ----
-пр
121
Т о гд а м а т е м а ти ч е с к о е о ж и д а н и е в р е м е н и п р о с т о я п р и б о р а
^пр = = I у |
1 |
/ |
^заг • |
(16.40) |
\^заг |
|
|
|
Пример 16.1. Неисправные изделия в ремонт поступают с ин тенсивностью одно изделие в сутки. Математическое ожидание вре мени ремонта каждого изделия одной бригадой составляет четверо суток.
Определить эффективность стационарного режима работы пяти одинаковых бригад по ремонту изделий, если изделия ремонти руются в порядке их поступления, причем каждое — одной брига дой.
Р е ш е н и е . Интенсивность поступления в ремонт неисправных изделий равна одному изделию в сутки, т. е. X = 1 1jcyr. Матема тическое ожидание времени ремонта каждого изделия одной брига
дой ^. = 4 сУт-1 поэтому (л = |
— = 0,25 1/сут, |
а — — = 4. Число |
|
^ |
I1 |
приборов обслуживания, т. е. количество бригад, |
п = 5. Число неис |
|
правных изделий, ожидающих начала ремонта, может быть любым. Следовательно, в данном случае имеется система массового обслу живания с ожиданием.
Вероятность р0 того, что все пять бригад свободны от ремонта, находим по формуле (16.7):
Вероятность рк того, что ремонтом заняты k бригад, согласно (16.3) записывается в виде
1? |
лк |
|
|
Рк— Ро ~ 0.013 |
(k = 1. |
2, 3, |
4, 5 ). |
При этом получается: р\ — 0,052; |
р2 = 0,104; |
Рз = |
0,138; Р4= 0,138; |
р5 — 0, 1 1 1 . |
|
|
|
Вероятность р3+5 того, что в очереди на ремонт находится s из делий, в соответствии с (16.4) получается следующей:
Математическое ожидание числа бригад, занятых ремонтом, у = <х= 4. Коэффициент загрузки, т. е. вероятность того, что
бригада занята ремонтом, £заг |
0,8. Коэффициент простоя |
knp= 1 — k3ar — 0,2. Следовательно, в среднем каждая бригада сво-
122
бодна от ремонта изделий 20% рабочего времени. Математическое
ожидание числа бригад, не занятых ремонтом, п — у = 1 . Вероятность полной загрузки бригад ремонтом изделий
Л,.з = " ^ - = 5/>6= 0,555.
П— я
При а = 4 и « = 5 для системы с отказами находим /?5 = 0,199.
Тогда согласно (16.17) математическое ожидание времени неполной загрузки бригад
t, |
1 |
= 3,22 сут. |
|
5-0,25 |
|||
|
0,199 |
Для рассматриваемой системы с ожиданием математическое ожида ние времени полной загрузки бригад по формуле (16.9) равно
*п.з= 3,22 |
= 4,02 сут. |
Математическое ожидание числа изделий, ожидающих начала ремонта,
2 = -“^ - = 4-0,555 = 2,22.
п, — а
Математическое ожидание времени Тож ожидания начала обслу-
_ |
2? |
|
|
живания tom |
2,22 сут. Дисперсия этой случайной величины |
||
согласно (16.33) |
|
|
|
|
О(Т0Ж) |
0,555-1,445 |
сут\ |
|
12,83 |
||
|
|
0,0625 |
|
Среднее квадратическое отклонение ot= yrD (tox) = 3,58 сут. Математическое ожидание числа изделий, находящихся в ре
монте, х = у + Z — 6,22. Математическое ожидание времени на-
—jc
хождения изделия в ремонте zfc = у - = 6,22 сут.
Вероятность наличия очереди
/>„, = ^ = 4 ^ = 0,444.
Математическое ожидание времени наличия очереди
1
-4 сут.
р. (п — а)
123
М а т е м а т и ч е с к о е о ж и д а н и е в р е м е н и з а н я т о с т и б р и га д ы
4аг = — + |
Pmtm= 4 -f 0,444-4 = 5,78 |
сут. |
Р |
|
|
Математическое ожидание времени простоя бригады |
||
tпр |
4 аг = 0,25 4 аг = 1 . 4 4 |
сут. |
§ 17. СИСТЕМА С ОГРАНИЧЕННЫМ ЧИСЛОМ МЕСТ ОЖИДАНИЯ
Система массового обслуживания с ограниченным числом мест ожидания отличается от рассмотренной в § 16 системы с ожида нием только тем, что количество мест ожидания m конечное. Об
щее число состояний такой системы ограничено и равно п |
m + 1 . |
||||||||||
Вероятности |
Pk |
(t) |
(k = |
0, 1, ... , |
п |
m) |
нахождения |
системы |
|||
в различных |
состояниях |
являются |
решением |
системы |
обыкновен |
||||||
ных дифференциальных уравнений |
(13.23) |
при v = 0, |
т. е. |
||||||||
Рк(0 = |
- |
(* + |
W |
Pk(t) + XPU_, {t) + |
p (k + |
1 ) Pk+1 (t) |
|
||||
|
|
|
(k = 1, 2 , . . - , n — 1 ); |
|
|
|
|
|
|||
P„+s №) = |
— (X -J- яр) Pn+S(4 + xPn+s-j (t) 4 - «pPn+s+1 (t) |
|
|||||||||
|
|
|
(s = 0, 1, . . ., m — 1); |
|
|
|
|
|
|||
Pn+m ( * ) = — «pPn+m (4 + XPn+m_! (t). |
|
|
|
|
|
||||||
Если при |
t = 0 |
все приборы обслуживания свободны, то |
началь |
||||||||
ные значения искомых функций следующие: |
|
|
|
|
|||||||
Л>(0) = |
1; |
Рк (0) = 0 |
( £ |
= |
1 |
, 2 |
от). |
(17.2) |
|||
Уравнения (17.1) образуют систему однородных линейных диф ференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, кото рая решается известными методами. Число уравнений с п -f- m -j- 1 можно сократить до п -\- пг, если исключить одну из искомых функ ций с помощью равенства
П+ Ш |
|
2 ^ ) = 1 - |
(17.3) |
к=0 |
|
Предельные вероятности р к= Нш Рк (t) |
(k = 0, 1, ..., п-\- m) |
t- * - во «
для рассматриваемой системы массового обслуживания существуют
124
и |
определяются |
формулами |
(13.39), (13.40), (13.42) при |
р == О, |
||||||||||
т. |
е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рк = |
-fiPo |
( k = i , |
2, |
.. ., |
га); |
|
|
(17.4) |
||
|
|
|
|
/ |
a Y |
|
an+s |
(s==1- 2> |
|
т ); |
(17-5) |
|||
|
|
|
Р ^ = [ ~ ^ ) ра~ ~ Ш 1 Ро |
|
||||||||||
|
|
|
|
Ро |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(17.6) |
|
Имеем |
|
|
|
/га -f- 1 |
|
при |
a = |
га; |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
^ |
^ a Nra+' |
|
|
|
|
(17.7) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
а ^ |
га. |
|
|
|
|
|
s— О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
- |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
Поэтому |
расчетная |
формула |
|
для |
вероятности |
Ро |
записывается |
|||||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
- 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 + |
|
|
|
|
a = га; |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
при |
|
|
|
||||||
|
|
|
гак |
гап-1 (/га -f- 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ро : |
к3=0 * ! |
|
(л “ |
!)! |
|
|
|
Ш+1 |
|
|
|
|||
п— 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
V |
l - f . |
_____ ?!_______fl |
|
|
|
|
при аф п. |
|||||
|
Й |
А| + |
(я— 1)1 (л- « ) |
L |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 7 .8 ) |
|
При |
стационарном |
режиме |
функционирования |
систе'мы |
отказ |
||||||||
в обслуживании любого требования происходит только в том слу чае, если в момент поступления требования заняты все /га мест ожидания. Вероятность такого исхода равна ра+т, поэтому вероят ность обслуживания любого требования
■^обсл = 1 |
Pn+m ; |
(17.9) |
где . |
|
|
/ а \ш |
|
|
Pn-Hn= = f “ |
) Рп 1 |
( 1 7 . 1 0 ) |
Р п = ^ у Р 0 . |
( 1 7 . П ) |
|
Согласно (12.17) вероятность обслуживания |
|
|
= |
|
0 7 .12) |
125
поэтому математическое ожидание числа У приборов, занятых об служиванием,
У — а (1 Рп+т)• |
(17.13) |
Коэффициент загрузки приборов, т. е. вероятность того, что при бор обслуживания занят,
|
Лзаг = - ^ |
= ^ - ( 1 - Л |
+ш)- |
|
(17-14) |
|
Вероятность полной загрузки приборов обслуживания |
|
|||||
|
m |
|
m / |
\s |
|
|
|
s=0 |
|
s=0 |
|
■ |
( 17Л5) |
|
|
|
|
|
||
что с учетом (17.7) |
можно записать'в виде |
|
|
|
||
|
|
при |
а == п; |
|
|
|
Рп.3 = |
п |
а >m-f1 ' |
при |
аФ п. |
(17.16) |
|
п — а 1 — |
т ) |
рп |
|
|||
|
|
|||||
^н.з и t„.з времени Тн.з неполной загрузки приборов обслуживания и времени Тп.з их полной загрузки рассчитываются по формулам (16.17) и (16.19), т. е.
(17.17)
|
1 1 ; |
|
|
^п.з — tн.з |
Рп.з |
(17.18) |
|
1 - Яп.3 |
|||
|
Математическое ожидание числа Z требований, ожидающих на чала обслуживания,
■ = 2 «/>п+ .= /> п 2 « ь Н •
8=1
Имеем:
1 тп
УS -- ------L----- m = ‘-С1 +1
Ш '
S - I
1 - ( m + \ ) x m+ tnxm+l
(1 — x f
126
Следовательно,
Prfira+l при я = л ;
z — |
mp |
ш+i |
|
|
при |
афп. |
|||
|
( Л — a) |
|||
|
|
|
(17.19)
Математическое ожидание tox времени ожидания начала об служивания (времени пребывания требования в очереди) нахо дится с помощью равенства
Z_ |
(17.20) |
tож — X |
Требование становится в очередь на обслуживание, если в мо мент его поступления в систему имеется очередь из х требований (s = 0, 1, .. ., т — 1). С учетом этого замечания по аналогии с (16.24) — (16.28) находим
|
m—1 |
|
т —1 |
s |
|
P(T0X> t ) = Ц / » п + . я . ( 7 ' о « > 0 = 2 1 P n + . S Q i W = |
|||||
|
s=0 |
|
s=0 |
(-0 |
|
ш-T |
га—1 |
|
ш—1 |
na |
|
= 2 |
Ql (t) — Pn+s = Pn«“ n,lt |
2 |
(17.21) |
||
i- 0 |
s=1 |
|
4 = 1 |
|
|
Функция распределения |
длительности ожидания |
Тож начала |
|||
обслуживания равна нулю при t < 0, а при ^ > 0 |
из |
(17.21) полу |
|||
чаем |
m—1 |
|
|
|
|
|
l) {apt)1 |
|
|
|
|
1 — pne~mt 2 |
при |
= n\ |
|||
F(t) = |
г-о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при Я ф п. |
|
|
|
|
|
|
(17.22) |
Данная функция, при ^ = 0 |
имеет скачок, |
причем величина скачка |
|||
равна 1 — трп, если а — л, |
и 1 — ПРп |
|
|
, когда я Ф п. |
|
|
|
п — я |
|
|
|
Зная функцию распределения F(t), можно найти любые ха |
|||||
рактеристики случайной величины Гож. |
В частности, |
для матема |
|||
тического ожидания этой случайной величины справедлива фор мула (17.20).
Математическое ожидание числа X требований в системе
х = у + г. |
(17.23) |
127
Математическое |
ожидание |
времени |
Тс |
нахождения требования |
|||
в системе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ = у |
• |
|
|
(17.24) |
Вероятность наличия очереди |
|
|
|
|
|||
|
|
^ОЧ ~ |
m |
|
|
|
(17.25) |
|
|
^1 Рп+3 -- Рп.З |
рп, |
||||
|
|
|
S=1 |
|
|
|
|
что с учетом (17.16) можно записать в виде |
|
|
|||||
|
|
|
mPn |
|
|
при |
а = й; |
р |
= |
*Рп |
|
|
|
|
(17.26) |
1 04 |
|
|
|
|
при |
аф п. |
|
|
|
П— осM i ) ' ] |
|||||
Обозначим через Тn+s ( s = l , 2, |
... , |
m) |
случайное время от мо |
||||
мента перехода системы в состояние C„+s |
(в очереди на обслужи |
||||||
вание имеется s |
требований) до момента |
первого перехода в со |
|||||
стояние Сп, соответствующее отсутствию очереди на обслужива
ние. При 1 < s •< m — 1 |
переход из состояния Cn+Sза малое время |
||||
At |
возможен |
только |
в |
состояние |
Cn+s+i или в Cn+S_ ! . Переход |
в |
состояние |
Cn+ S+1 |
происходит |
при поступлении требования, |
|
а в |
состояние Cn+S_! — при окончании |
обслуживания |
любого из |
||||||
п требований. Интенсивности указанных |
потоков равны |
К и |
|||||||
соответственно, поэтому согласно (10.29) |
математическое |
ожида-1 |
|||||||
ние времени пребывания системы в состоянии Cn+S |
(s — 1, 2, ... |
||||||||
..., |
m — 1 ) равно |
Вероятности |
перехода |
из |
состояния |
||||
|
А + fl\L ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
C „+ s |
В C n+S+1 И В C n + s -! |
п р и |
ЭТОМ |
рЭВНЫ |
^ |
^ |
И |
|
|
Тогда по аналогии с (10.30) |
получаем |
|
|
|
|
|
|
||
|
tn+s --- X ЩL 1 X —|—tl |
П+ S + l |
+ |
' + |
т |
|
|
(17.27) |
|
|
«ti п+8" 1 |
|
|||||||
( s = 1, 2, ... , m — 1),
где ta = 0. Из состояния Cn+m за мало.е время At практически воз можен переход только в состояние Сп+Ш! при окончании работы по обслуживанию требования любым из п приборов. Следова тельно, справедливо равенство
^n+m = |
+ ^п+ш-1 • |
(17.28) |
128
Представим соотношения (17.28) и (17.27) в виде:
Т |
т - |
‘■n+m ‘'п+т—1" |
|
^n+s ^n+s—I — |
^ “Ь ^ |
(s = 1 , |
2, . . . , |
Тогда
1 |
|
(17.29) |
Яр |
|
|
|
|
|
(^n+s+1 |
^n+s) |
(17.30) |
т — 1 ). |
|
|
|
1 - 1 - 2Я- |
|
^п+т—1 ^п+т—2 — ^ ^~Ь п I |
Яр |
j |
а |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
а |
1 |
- |
п |
|
|
|
\_ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
tn+m—2 |
^п+т—3 ^ |
|
1 + |
|
|
я |
|
|
яр |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
я |
|
|
|
1 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В общем случае справедливо равенство |
|
ш-к+1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
‘ |
|
—1 |
|
' - |
' Т |
|
|
|
(17.31) |
|
|
<-n+k |
|
|
Р (я — а) |
|
||||||
|
|
|
-^n+kп к- 1 — |
|
|
|||||||
|
|
|
|
(£ = |
1 , |
2, |
... , |
т). |
' |
|
|
|
Суммируя |
эти |
соотношения |
по |
k от |
1 |
до s, |
с |
учетом равенства |
||||
tn — 0 находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
m—k+i -1 |
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
^ / |
а |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
^n+s |
р (я — а) |
|
|
к=1 |
|
Я |
|
|
||
или, что то же самое, |
|
|
|
|
|
a \“ - s |
|
|
||||
г |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(17.32) |
|||
n+s |
р (я — a) YS — п — ч. |
я |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
( s = l , |
2, |
... , |
т) |
|
|
|
||
Для математического ожидания tQ4 случайного времени Тт на
личия очереди из (17.32) |
при s — 1 получаем |
|
|||
t — t |
— |
^ |
|
|
р |
1 - |
|
■* mi |
|||
Гоч-Гп+ i — |
|
Я |
(17.33) |
||
|
|
|
|
iPn ' |
|
При т — со и а < |
п из |
(17.33) следует равенство |
(16.39). |
||
129